Dimostrazioni di Algebra lineare e geometria

Teoremi dimostrazioni e Riccardo Caset 2021

Premessa

È È intersezione sottospazi di uno spazio vettoriale stesso di uno sottospazio. Vettoriali f- WzV spazi di Wispazio sotto 1k vettoriale esuunoa / AnzW è vettoriale sottospazio.

Dimostrazione

Fanntu voglio 42WL 1k E EunV2 che e, , Nz1µs WWinn E si ✗ ha + ,aw , ,A Nz Nn Se V2E >W NaV1 E Eva V2 va v2e, , , ,it → ✓ ✗ In perché ME spazio è → W dizwz un sotto+ ,NzE ✗ di zwz WzWa t ↳ vi Adavi nwz Wzda spazio E WV2 W vettoriale è > sotto+ = , ,

Proprietà

V sia 1k di vettoriale wi sottospazi di famiglia se uno spazio è su una [l' I Wiallora è sottospazio vettoriale: un formula Grassmann di fintamente. Sia 1k Siamo V su WzWn di vettoriale spazio V sottogenerato speuno .. Allora : )(Aim ndim WnWn dim Wn dimmi N2Wz+ = + - dimostrazione seguirea >

Dimostrazione (Grassmann)

Dimmi dimostrare chiamiamo vogliamo baser Wntwzdiunache= ha t Clim Valtonrwz S Lils += - ,tdimmi =] D={ } {=/ } dell'Wan intersezione Na1 ov base newn .. . Per completo base BASE il teorema del completamento aa ,{ }W Vttn dimmi Vrwn we r=,=, . . . . . . VÓ{ 5Vttn di WzWL =}Wt mwn= .. .... , Wr WZ consideriamo N2 di ogni Nnvettore si+a scrive come ve + somma, vettore WZ Undiun e ossia di lineare combinazione come, ftp. V5 generatori ✓ Vr di WzWn Ny tutto e> Wt =. -. . ., .. ,.

Aggiunta

Abbiamo rts t-? I.L Sono b* - cit VÈ da Ctrwr cittaWt VSWtt+ Altri+ tWa ✗ t it Ovt Rts+= ++7- =... . . -. ... KXicon ea ÷ÉÉÉÉù=←ÉÉÉì = ne aWanWzWn WzE WEse ne W >=e] .tt ttwtKdi E AnW +t1 wa= ..... 1Allora In ✗ At twtWnt Wtma- Nur+Wnt Atti= Wt t+ +... - . -.. . Vis ✗ An ArtsWttat atti Artur Wtt 1- twt 7 twa - -= - -.- -. -.-. .. .. 2V' Vis Da ✗✗ Artitwt t2 tti+ Artsnwnt t=> t+ -.. -.. . di combinazione essendo vettori lineare base di vvz una di una V'Vitti Ov rispettata l'LI uguaglianza è Wt Sun Sono =, ... . ... da ttSSE Altri O= art== S e ==. . -.(1) Vttn Wi OrArtdtwttdt.tt tMwr =+ sostituendo +n -.- ... di vettori base uguaglianza l'di e- lineare Wr Ouuna combinazione =e rispettata è SSE A- Attidi ✗ = dr= 0= =2 == =. . .. ..

Nuluità e coefficienti

* coefficienti tutti sono in ovvero Utti V' V5 generatori LWt> Ws VR= e1 Sono c- +7._. .. .., ,. .. _, ,, idim BASE PER WrtvvzWzW tRts+ = -, )( ( N2WL ndimdi) Nn Aim dim Wa dimwWn Una >< wa +t m== -, { }( wrnwz2 Wnnwz ) ouo dim <se =={ } Noidi Base Un un= ... }{ Wz V'V4= S... Consideriamo W Wz > Wz Uun <+ =, È } wzewz Wi{ wie ewntwz : ogni combinazione quindi vettore WE si W Wz discrive lineare come+,'V1 V'Vs Va s,. .. .., . { vi quindi } V' Un vr S Wi generano,. . .... vi?L Vnt di I. Vr Arts 'ssono an Ov SUt + an+ t + =. -. . . -. ti di EK VI 's Muri t Nur ArtsW + Arts v= = ---. .....{ } nwz Ov NE W =, Arvn Al Ov di O=== ipotesi W Or 1- =+anwn= . per .... . V'V4 OV Arti OS ✗ = Arts arti rts = ==--- .. ... . A ✗ AL O== - rts =.. } vivi{ L' insieme vr Wntwz è diva base. .. , . . .

Dimostrazione finale

nwz) dim dimmi dimmi( ☒ Wn + dim Wi + Wit = ↳ O= Sia V fintamente 1k su vettoriale spazio generato 'VV ' WTOW V sottospazio esiste di di netto W vettoriale W sottospazio =: un . VV didice )( Sottospazi Tale sottospazio complementare si diretto complemento o{ } di è base wn un W una. _. { } Un Urti Wr VdiV wr base di n completi mo .a m-> ,. =... N' di è WUrti Un > Compl< sotto sp= ... . .V dell' dominio applicazione lineare W dell' lineare applicazione codominio Idv in stesso identità identico se applicazione porta elemento o un →: Q nulla applicazione: isomorfismo V3 un' dice Isomorfismo W Lineare si è se lineare app: app@ →:. . idu idw& ff W9 ✓ W✓ ✓ > W >> > Fog idwIdvf = po =

Endomorfismo e autoisomorfismo

Endomorfismo V Vf dominio codominio coincidono - e: l' euolomorfismo applicazione è nulla un Morfismo auto VVf isomorfismo: +→ morfismo ludo } Ettività IN dominio/ (f) dim ker OSSE ad dell'elemento ogni: = inattiva dim w è elemento V dim è solo corrisposto non se un> è iniettiva e-dimmi suriettiva ✓ se dim del >⇐ codominio= V finflvnf- inattiva =/E =/è V2 )V2<) va V, ,, ad ogni codominio} dell'elemento (f) Suriettività dimmi dimlm S se =: è corrisposto un elemento è suriettiva Clim non WV se dim dominio del < V (f)3- fcv W dimmi E Im dimtwf è <) suriettiva < wve ==:(f) klr dominio è del vettoriale sottospazio un ""(f) 1m codominio MÉLO DIMOSTRAZIONE è il vettoriale (sottospazio) del che dominio v e neutrale del sottospazio è immagine che l' ( ) codominio vv2 Ker (f) Siano 1 V1 ipotesi EV2 per, (f) In Ker finda KV2 E ✗ EUn + 2,f f(0 WKer Vai )(f) EV2 ( ) v2= Vr> ==) tzf Flint +42f +12 1 0W( An