Analisi 1 Dimostrazioni

Teoria di:

ANALISI 1

1.1

• Proposizione: frase che può essere vera o falsa.
• Connettivi:
  • ¬ negazione
  • V congiunzione
  • V disgiunzione

  • => implicazione V ? => ?

  • =1

• Coeff. binomiale: siano m-k ∈ N con m ≥ k:

  (_k^m) m! = m(m-1)...(m-k+1)

  _k(k-1)..._1^k!

• Proprietà:
  • (₁^m)=1
  • (_m⁰)=1
  • (_mⁿ)=(_m-nⁿ)
  • (_k^m)=(_k^m-k)
  • (_k-1^k)=(_k^m+1)=k
• Formula Newton: (a+b)ⁿ = Σ_k=0ⁿ (_k^m)*a^k*b^n-k

Definizione |z|

|z| è il modulo di un numero complesso così definito :

|z| = √x²+y²

Essendo noto che nel grafico rappresenterebbe la distanza z - origine

Proprietà :

1. |z| ≥ 0
2. |z| = 0 ⇔ z = 0
3. | - z | = |z|
4. |z1 z2| = |z1| |z2|
5. | z₁z₂ | = |z₁||z₂|

Dimostrazione della proprietà :

1. Avvio non più essere negativo una distanza
2. |z| = √x²+( - y )² √x²+y² = |z|dunque le distanze sono quei, solo che |z||z|
3. Basta elevare alla seconda entrambi i membri e poi sostituire x e yz₁ = z₁ i (z₂ = z₁ i) |z1| = |z1|
4. |z₁z₂| = z₁ = 1 2 = |z₁z₂||z₁||z₂|

Disuguaglianza triangolare su C :

|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|

|z1 - z2| ≥ | |z1| - |z2| |

Forma trigonometrica :

Il punto del piano z_c può essere descritto da una coppia di ordinate polari(p;Θ perf) doppio p è raggio quindi z₁ e Θ è l’angolo(x,y) e (p; Θ perf) sono un relazione tale da potersi scrivere per forma trigonometrica di :

cos : z = ρ (cos Θ + i senΘ )

Definizione argomento Θ :

è un angolo individuato a meno di multipli interi di 2π

Proprietà :

1. arg (z₁ z₂) = arg z₁ + arg z₂
2. - arg ( z₂z₁ ) = arg (z₁) - arg (z₂)

Dimostrazione proprietà :

1. z₁ z₂ p = p₁p₂[cos (Θ₅ + Θ₇) i + i sen (Θ₅ + Θ₇)]In questo forma tragico : p : p1 + p2argomento = Θ + Θ’ - arg (z₁ z₂)
2. - arg ( z₇z₃ ) lo stesso cos arg (z₇ z₂ - 1z₂)Per la proprietà 1 arg z1 + arg (z₂z₁) ---> adopo che - arg ( z₇z₂) +-- arg z - arg₂ + arg (z₇z₂) - arg z1 - arg₂

Definizione di limite

Sia f: X ⊆ R → R una funzione reale.

Sia x₀ ∈ R un punto di accumulazione del dominio f: X.

Il numero L è detto "limite di f per x che tende a x₀" se

∀V intorno di L esiste U intorno di x₀ tale che f(x) ∈ V per qualsiasi

x ∈ (U ∩ X) \ {x₀}

Scriviamo: lim_x→x0 f(x) = L

f(x) ∉ V perché x₀ è punto di accumulazione, mentre f(x₀) ∈ V.

Altre definizioni di limite

1. lim_x→x0 f(x) = L dove x₀ ∈ R, L ∈ R ed f: X ⊆ R → R

   1. ∀V intorno di L, ∃ U intorno di x₀ tale che f((U ∩ domf) \ {x₀}) ⊆ V

   2. ∀V intorno di L esiste U tale che x ∈ (U ∩ domf) \ {x₀} ⇒ f(x) ∈ V

   Possiamo riscrivere queste definizioni esplicitando gli intorni di x₀ (δ) e di L (ε) distinguendo i vari casi.

   1. Se x₀ ∈ R, L ∈ R

      ∀ε > 0, ∃δ > 0, allora ∀x ∈ (domf) \ {x₀} avremo:

      x₀ - δ < x < x₀ + δ ⇒ L - ε < f(x) < L + ε

   2. Se x₀ ∈ R, L = +∞

      ∀M ∈ R, ∃δ > 0, allora ∀x ∈ (domf) \ {x₀} avremo:

      x₀ - δ < x < x₀ + δ ⇒ f(x) > M

• Dimostro la 3): se che l₀ ≠ 0 per ipotesi. Devo mostrare che

lim_x→x0 f(x)/g(x) = l/l₀

(ci basta mostrare che lim_x→x0 1/g(x) = 1/l₀)

(ci basta questo perché:)

lim_x→x0 f(x)/g(x) = lim_x→x0 f(x) · 1/g(x) = lim_x→x0 f(x) · lim_x→x0 1/g(x)

1. 2)

osserviamo che g(x) ≠ 0 definitivamente per x → x₀ visto che l₀ ≠ 0.

F₀. Essendo l₀ ≠ 0 aviamo:

g(x) > 0 defin. per x → x₀ per il teorema del permanenza del segno

g(x) < 0

Allora dimostrazione del teorema della permanenza del segno, aviamo che:

2g > 0 ⇔ g(x) / l₀

g(x) < 0 ⇔

e ovo equivale a dire esiste U_y intorno di x₀ e (U_y ∩ X) \ {x₀} tale che |g(x)| > |l₀|

Osservo che |g(x) - l₀| = |g(x) - l₀| / |g(x)l₀|

Ora pongo ε = ε / 2 ed il nostro limite diventerà:

∃ U_g intorno di x₀ ∈ (U_y ∩ X) \ {x₀} tale che |g(x) - l₀| < ε

Metodo U = U_y ∩ U_g. Allora avrà:

∀x∈ (U_x0 ∩ X) \ {x₀} tale che |g(x)| - l₀ |₁ < ε / 2 < ε / 2

ovvero |g(x) - l₀| / ε₂ | < ε

ovvero |g(x) - l₀| < ε/2

• Dunque ho dimostrato che |f(x) - l| < ε con f(x) = l

g(x) / g₀

Teorema del limite della funzione composta

• Teorema del cambio di variabile nei limiti: Vorrei poter fare ^lim_x→x0 f(x) = ^lim_y→y0 g_y, dove y = g_y. Per farlo, usiamo questo teorema: Siano f e g funzioni reali con g^-1 definito su X, f^-1(V)≠∅ X ⊆ Z → ℝ    g: V → ℝ Sia x₀ ∈ ℝ un punto di accumulazione di X. Assumiamo:
  1. ^lim_x→x0 f(x) = y₀ pt di ac
  2. ^lim_y→y0 g(y) = e
  1. Uno delle seguenti
     1. a - f(x) ≠ y₀ def per x→x₀
     2. b - g(g_L) = e
  Allora ^lim_x→x0 g(f(x)) = ^lim_y→y0 g(g(y)) = e

Confronto asintotico: Li usiamo per calcolare i limiti nel caso di forma indeterminata tipo ^∞/_∞ o 0/0. Siano f e g funzioni definite su X⊆ℝ. Sia x₀ punto di accumulazione di X. Diremo che f e g sono asintotiche per x→x₀ quando: * Sono entrambe ≠ 0 def per x→x₀. ^lim_x→x0 f(x)/g(x) = 1 Se le condizioni sono verificate, scriveremo f∼g per x→x₀. Ciò comporta delle proprietà:

• 1) Se f∼g per x→x₀ allora ^lim_x→x0 f(x) ≡ ^lim_x→x0 g(x) hanno lo stesso comportamento, o coincidono o se non esistono uno entrambi o non esistere.
• 2) Se f∼g e h∼k per x→x₀ allora f∼h per x→x₀, perché: ^lim_x→x0 f(x)/h(x) = ^lim_x→x0 f(x)g(x)/h(x)g(x) = ^lim_x→x0 g(x)/h(x) × d ∙ d = 1 perché f∼h
• 3) f/g ∼ h/i per x→x₀ allora f∼g ∼ h/n per x→x₀

Osservazione: Il punto 3 ci permette di sostituire una funzione con una funzione asintotica nel caso di SOMMA o DIVISIONE!