Dimostrazioni Analisi 1, prof. Giuliano Lazzaroni

Dimostrazioni con i numeri naturali

Q. o = 0 => a (1-1) = 0 => Q=0 => a=0 - a . b = 0 (a=0 o b=0) => Q=0 => b=0 ☐ a ≠ 0 => ∃ a^-1 => a^-1 a=b=0

Serie numeriche in N

→ Principio di induzione, esempio: ∑ _k=0 m = _m(n+1)² → ∑ _k=0 m+k(m+1) = _m(m+1) + m+1 = _{n^{2 m+2n+2}}

Passo base => m=1 => 0 + ₁₍₁₊₁₎ - 1

Passo induttivo => Segue sopra

Insiemistica

Dato un insieme S con ai elementi, gli insiemi possibili sono 2ⁱ in quanto una proprietà può esserci o non esserci.

Dim: consideriamo la proposizione vera e procediamo per induzione => P.B. i=0 => Insieme vuoto

P.I.: P(m+1) = 2^m+1 insieme possibili con X₀ elemento aggiuntivo & m=0 subset elementi Totali saranno 2^m+x0

Funzioni

f : N → N con f strettamente crescente f(m) ≥ m

Dim P.I.: f(0) ≥ 0

P.I.: ∀ n, f(n+1) > f(n)

Numeri reali

√2 non appartiene a Q Dim per assurdo

Dimostrazioni con i numeri naturali Q. a = 0 => - a (1 - 1) = 0 => a Q - a = 0

Q - a = 0 - a = 0 v b = 0 (a = 0 v b = 0) => Q = 0 => b · a = 0

a = 0 => ∃ a^-1 => a · a^-1 = 1 - (a · b) (b = 0) => ∃ b b^-1 => Q · O = 0

Serie numeriche in N

→ Principio di induzione, esempio: ∑_k=0ⁿ k = m (n + 1)/2 => ∑_k=0ⁿ k + (m + 1) = m (n + 1)/2 + m + 1 = m²+m+2/2

Passo base => n = 1 => O + 1 (1+1)/2 = 1

Passo induttivo => segue sopra

Insiermetica

1) Dato un insieme S con ai elementi: gli insiemi potenziali sono 2ⁱ in quanto una coppia può essere: o non può essere.

Dim: consideriamo la proposizione vera e procediamo per induzione => P.i. => [i=0 =>] Insiemi potenziali: 2⁰=1 (Solo l'insieme vuoto)

P.i. => P(m+1)=2^{insiemi potenziali con X₀ elemento aggiunto: 5/X, 5/X_i} hagli elementi aminci P(X₅, X₆)=2^2m numero di insieme 4 5(X₃), fa

Funzioni

f : N => N con f strettamente crescente f(m) >= m

Dim P.I. f(0) >= 0 => verificato perché restituisce valori di NP.i. f(m+1)>=f(n) per stretta crescenza 2 f(m+1)>=f(n)+1

Numeri reali

√2 non appartiene a Q Dim per assurdo => N/>prendo √2 Q, e consideriamo x²=2, dato che i numeri di Q

Massimi e minimi, estremi

Se A ≠ ∅ è limitato superiormente, ha un estremo superiore; se è limitato inferiormente, ha un estremo inferiore.

Dim. { L∈ℝ : L>A ∀a∈A } = ∅, ha A<B: a∈A B: a∈A ∀a∈A a∈A ε B >

l’insieme di complessoiste ≠ ∅ che generano due insiemi: C è maggiore per A a∈A ∈ E ∈ B ma l’analisi di complementi:

ci è soltanto superiore dei A, considerando il caso con B' n\[ o l’inverso anche per l’estremo inferiore

Principio di Archimede

Dati due numeri reali positivi a, b, esiste m∈ℕ tale che m·a > b

Dim per assurdo: ma L > L > x0 l’a margante di A == ∃n a n, n∈ℤ₊ troviamo

s := sup A > ma ≤ xᵢ con (y→s) dimostra (poro + nx∃ⁿ₊₁ ≤ S-S)

s = n+1 aε⊆ S ≥ S n₊₁∨ ≤ S = 0 n=a-e ma questo non è possibile in quanti ponti risultato un margine di A, ma più piccolo degli ∑n⟹contraddizione

* In quanto vale ∀m

Funzione Modulo

Disuguaglianza triangolare: |x₁ + x₂| ≤ |x₁| + |x₂|

Dim. -|x₁| ≤ x₁|≤ |x₁|, -|x₂| ≤ x₂|≤ |x₂| ⟹ -|x₁ + x₂| ≤ x₁ + x₂

Funzione Potenza

xᵐ è monotona per n ≥ 2

Dim. dati 0 ≤ X₁ ≤ X₂, x₁² è minimo di x₁·x₂, e x₂²⟹x₁·x₂⟹ x₂² ≤ x₁·x₂ ≤ x₂² ⟹ x₁² - Xᵐ è suriettivo per ℝ≥₀ → ℝ≥₀

Dim. Si andrà risolto che posto y ∈ ℝ≥₀, ∃x∈ℝ≥₀: fₘ x' = y ∧ sol. cerne due insiemi: A;∃x∈ℝ≥₀, x ≤ y | x²∈ℝ≥₂ y^s√∈ y² quindi A≤B l’insieme di a di q., quot somma di complessoista x'∈ x ∈ ℝ≥₀ che sopona in due insiemi, il quoto e _x⟹x|1/

Disuguaglianza di Bernoulli

(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx con n∈ℕ, x > -1

Dim per induzione: p.b. n=1 => 1+x > 1+x ✓

P.I. i => (1+x)ⁿ⁺¹ = (1+x)(1+x) → (1+x)^(n+1)/(x+2) (1+x)(1+x) ≥ 1+(n+1)x²| ⟹ 1+ (n+1) x ancle nx>0 ⟹ (1+x)ⁿ⁺¹ > 1+(n+1)x✓

Se _x > -_m, _{x m} ⁰ , _bn < _bm + 1, con _an = (1 + ^x/_m)^m+1 cioè (1 + ^x/_m)¹ < [1 + ^x/^(m+1)]^m+1 Dim. Si vu