Dimostrazioni Analisi 1, prof. Giuliano Lazzaroni

Dimostrazione con frazioni e numeri naturali

• q·0=0 => q=(1-1)·0 => q-q=0
• q·b=0 q≠0 qr=o

Serie numeriche in N

Principio di induzione, esempio:

• ⁿ∑_k=0k= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂ => ⁿ∑_k=0k+(n+1)=^m(n+1)/₂
• Passo base: => m=1=> 0+¹⁽¹⁺¹⁾/₂=1
• Passo induttivo => riscrive sopra

Insiemistia

1. Dato un insieme S con ai elementi: gli insiemi possibili sono in quanto una disposizione può esserci o non esserci.
2. Dim: consideriamo la proposizione vera e procediamo per induzione =>

• P.b.: i=0 => 1
• P.i.: => ⁿ⁺¹/insimeo/.:{X₀lementi port:id='X,:{},}

Funzioni

• f: /N→ /N con f strettamente crescente f(n)≥n
• Dim p.b.: f(0)≥0 => vero
• P.i.: f(n+1)≥f(n) per stretta crescente

Numeri reali

√2 non appartiene a Q

• Dim per assurdo => αetaendo mcióni > razionale = => ASSURDO

Massimi e minimi, estremi

• Se A ≠ Ø è limitato superiormente, ha un estremo superiore; se è limitato inferiormente, ha un estremo inferiore.

Dim. ∃ L∈ℝ: L ≥ ∀a∈A ? ¬∃ A ≤B: a ≤ b, ∀a∈A, ∀b∈B, per l'assioma di completezza ∃ c che separa due insiemi.

1 c è maggiore per A c E Ø, ma c è anche minore di b quindi c è ^est superiore di A, considerando il caso con B, nd c il minore anche A a ^int inforiore.

* In quanto vale ∀ n

Funzione modulo

• Disuguaglianza triangolare: |x₁ + x₂| ≤ |x₁| + |x₂|

Dim. -|x₁| ≤ |x₁|, -|x₂| ≤ x₂ ≤ |x₂ |=> -|x₁| - |x₂ | ≤ x₁ + x₂ ≤ |x₁ + |x₂|

Funzione potenza

• x^m è monotona per n ≥ 2

Dim. dati 0 ≤ x₁ < x₂, x_{1² minore di, x1 x2, e x2² x1 x con x1² < x1 x2 < x2² => x1² < x2²}

• x^m è suriettiva per ℝ_≥0 → ℝ_≥0

Dim. Si studia stud____ che posso y ∈ ℝ_, m(x+y) inr_B: ∀ ∃i ∈ℝ: = X

Disuguaglianza di Bernoulli:

• (1+x)ⁿ ≥ 1 + nx con n∈ ℕ, x > -1

Dim per induzione: p.b. n=1 => 1 + x>1 +x

P.I. i => (1 + x)ⁿ⁺¹ = (1 + x)ⁿ (1 + x) =

(1+x)ⁿ (1+x) ≥ 1 + (m+1) x+ mx² ≤ 1 + (n +1)

(1+x)ⁿ⁺¹ ≥ 1+ (m+1)x = 1 + (m+1)x

- le funzioni monotone sono continue ←→ l'immagine del dominio è un intervallo

f : [a,b] → ℝ, f(a) ≤ f(b) allora f è continua ←→ f([a,b]) = [f(a), f(b)]

Esempio:

la funzione è monotona e

discontinua

lim f(x) < lim f(x) = L

x→x₀ x→x₀

i valori di (L, L) non sono mai assunti

f([a, b]) ≠ [f(a), f(b)]

l'immagine del dominio comprende due intervalli: il teorema non è rispettato

perché la funzione è discontinua

Dim.: Segue dal teorema dei valori intermedi e dalla monotonia

Dim.: Si dimostra per assurdo deduciamo che se f è discontinua allora l'immagine

(←→)

non è un intervallo (come l'esempio sopra)

So che lim f(x) ≤ f(x₀) ≤ lim f(x), se f(a) ≤ L allora

x→x₀ x→x₀

I≠(0,f(x₀))

In questa funzione, la relazione sopra non

vale, quindi f non assume i valori compresi

fra L e L

Se f è discontinua in x₀, la divergenza

per L e L è istantanea, non esiste

f(x₀)

- f : (a,b) → ℝ monotona, x₀ ∈ (a,b), allora esistono i limiti

Lim f(x) ≤ lim f(x) ≤ lim f(x) ≤ lim f(x)

Possono essere ±∞

Dim.: Segue dal fatto che le successioni monotone hanno sempre limite

Se x_n → X₀ => x_n → x₀, x_n ≤ x₀, f(x_n) → l x_n+1 ≤ x_n+2 ...

successione funzione che cresce fino a L

allora f (x_m) → l

Teorema di Rolle:

Dim.: dato che f continua in [a, b] ammette un minimo nel teorema di Weierstrass, x_min ∈ (a, b) allora f'(x_max) = 0; idem per x_max. q.e.d.

Teorema di Lagrange:

Dim.: definizione g(x) = f(x)...

Criterio di monotonia:

• f' ≥ 0 ⇒ f non decrescente
• f' ≤ 0 ⇒ f non crescente
• f' > 0 ⇒ f crescente
• f' < 0 ⇒ f decrescente

Nota: funzioni prima crescenti (f'(x) > 0)...

• lim_n→∞ sin(a_n)/a_n = 1

Dim.: Si sa che sin(x) ≤ x ≤ tan(x) dalla circonferenza goniometrica, per x positivo, ma dato che a_n tende a 0, non compreso fra π/2 e 0, quindi la relazione vale:

• 0 ≤ sin(a_n) ≤ a_n ≤ tan a_n
• 0 = sin x cos x per x tendente a 0
• sin(a_n) cos(a_n) ≤ sin(a_n) a_n ≤ a_n tan a_n
• Moltiplico per cos(a_n), tolgo l'ultimo termine e riprendo la relazione sopra.

• sin(a_n) cos(a_n) ≤ a_n cos(a_n) ≤ sin(a_n) a_n
• Divido per a_n e tolgo sin(a_n) cos(a_n)
• cos(a_n) ≤ sin(a_n)/a_n ≤ 1

Ma per (a_n) → 0, allora cos(a_n) tende a 1, quindi per il teorema dei carabinieri: sin(a_n)/a_n → 1

• lim_n→∞ a_n + lim_n→∞ b_n = +∞

Dim.: dato m > 0, vogliamo trovare n̅: a_n + b_n > M ∀n ≥ n̅, se ho a_n + b_n > a_n = M + 1, se prendo M' = M + L, a_n + b_n > M, a partire da un indice n̅.

• Ogni funzione derivabile è continua.

Dim.: per f(x) si ha che ∃ lim_h→0 [(x+h)_-f(x)]/h = f'(x) e si vuole vedere che

• lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] = f(x), assegniamo e sottraiamo f(x) ⇒ lim_h→0 [f(x+h) - f(x) + f(x)
• moltiplichiamo e distribuiamo una parte per h ⇒ [f(x) + h - lim_h→0 (x+h) + b_n
• abbiamo portato f(x) fuori; ora dividendo f(x) a sinistra ⇒ f(x) + h - f'(x) ma h
• tende a 0, quindi è angolo di f(x) ⇒ lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] ✓

La convergenza assoluta implica la convergenza, ma non viceversa

• ∑_k=0^∞|a_k| converg. ⇒ ∑_k=0^∞ a_k converg