Analisi 1: Appunti completi con dimostrazioni

Analisi IR e proprietà dei numeri reali

ANALISI IR sono corpi ordinati. L'insieme dei numeri reali ha la proprietà di continuità o completezza. Ogni sottoinsieme E di R non vuoto e limitato superiormente e/o inferiormente ha estremo superiore e/o inferiore.

Esistenza dei numeri razionali

Esiste x ∈ E: x ∈ Q, x > 0, x² < 2. NN esistono numeri razionali che elevati al quadrato risultano ≥ 0. Il numero non esiste in Q ma esiste in R.

Costruzione dei numeri

Agiremo, per esempio, nell'insieme R perché è un ambiente di calcolo più potente e con caratteristiche migliori. Si possono costruire i numeri di R a partire da Q. Ad esempio ci sono le sezioni di Dedekind e le successioni di Cauchy ma non ce ne occuperemo.

Simbologia e terminologia

Fattoriale n è un intero positivo → n • (n−1) • (n−2) .... es: 5! = 5 • 4 • 3 • 2. (n+1)! = n! (n+1) definizione ricorsiva. Da ricordare 0!=1 per definizione. Utilizzato nelle permutazioni di n oggetti.

Disposizioni e combinazioni

Se ho p elementi da disporre in p n! di numero inferiore a n disposizioni semplici. Utilizzo e disposizione D_n,k = n (n−1) (n−2) ...) (n−k+1). Posso ripetere alcuni elementi quindi utilizzo le disposizioni con ripetizioni D_n,k = n^k. Se non tanto perché con insieme di n oggetti distinti con L≤N. Questi sono sottoinsiemi di Q formati da k oggetti.

Simboli e calcoli

ANALISI IR e ℚ sono corpi ordinati. L'insieme dei numeri reali ha la proprietà di continuità o completezza. Ogni sottoinsieme E di ℝ non vuoto e limitato superiormente e/o inferiormente ha estremo superiore e/o inferiore.

Esempi di numeri razionali

Es x ∈ ℚ {x ∈ ℚ: x > 0, x² < 2} x = ^m/_n (m²) = z ⇒ m² = 2n² ⇒ m divisibile per 4, m ∧ n dovessero pari quindi anche n ma... Non esistono numeri razionali che elevati al quadrato risultano 2. Il numero non esiste in ℚ ma esiste in ℝ. Agiremo, per esempio, nell'insieme ℝ, perché è un ambiente di calcolo più potente e con caratteristiche migliori. Si possono costruire i numeri di ℝ a partire da ℚ. Ad esempio ci sono le sezioni di Dedekind o le successioni di Cauchy, ma non ce ne occuperemo.

Fattoriale e permutazioni

Fattoriale n è un intero positivo → n ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) .... es: 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2. (n+1)! = n! (n+1) definizione ricorsiva. Da ricordare 0! = 1 per definizione. Utilizzato nelle permutazioni di n oggetti. Se ho m elementi da disporre in posti di numero inferiore a n, utilizzo le disposizioni semplici: D_n,m = ⁿ/_n-m = n (n-1) (n-2) .... (n-k+1).

Disposizioni con ripetizioni

Posso ripetere alcuni elementi quindi utilizzo le disposizioni con ripetizioni: D_n,m = n^k. Se non conta l'ordine, con n insieme di n oggetti distinti con l ⅅ ≢ N. Questi sono bottominali di 3. Si utilizzano quindi le combinazioni C_n,k vengono viste come D_n,k ➝ Disposizioni. K! ➝ Permutazioni. Questo rapporto viene espresso come ⁿC_k ➝ coefficiente binomiale.

Formula di Newton

La coefficient binomiale può essere utilizzato anche per la riduzione di esponenti a potenze di binomi: (a+b)ⁿ = ⁿΣ_k=0 ⁿC_k a^n-k b^k ➝ Formula di Newton per la riduzione del binomio. Se nella formula pongo a e b uguali ad 1, a destra avviene ⁿΣ_k=0 ⁿC_k = 2ⁿ quindi ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂... ⁿC_n= 2ⁿ numero dei sottoinsiemi di A.

Sottoinsiemi e funzioni

L'ⁿC_K numero dei sottoinsiemi di A di ordine Od di ordine N. Ogni sottoinsieme d'A è definibile attraverso una funzione con cui individuo 2 elementi di un certo insieme x_b: A ➝ {0, 1} 1 se x ε B, 0 se x ∉ B. Presi a₁, a₂ ... a_n numeri reali. ➝ ⁿ∑_K=1 a_K = a₁ + a₂ ... a_n.

Operazioni con le somme

Se voglio sommare 2 somme: ⁿ∑_K=1 a_K + ⁿ∑_K=1 b_R (a_k, b_k). Per la moltiplicazione c: ⁿ∑_K=1 a_k = c(a₁ + a₂ ... a_n).

Esempio di calcolo

E.g. c + c + ... c = nC. E.g.: n∑K=1 K e n2 + n/2 + n2 = n2 + 2n/2 = n(n+1)/2. Se sommo i primi numeri dispari: n∑K=1 (2K-1) = n∑K=1 2K = n∑K=1 n∑k=1 = n(n+1)+n.1/n2n∑K=1 k2.

Principio di induzione matematica

Se U è un sottoinsieme _U di _N (0 ∈ U => (n+1) ∈ U ∀ n ∈ N => U = NN = {0,1,2,3,...}. Axiomi di Peano teoria formalizzata dei numeri naturali. Equivalente alla teoria dei minimi. ESTENSIONE _{k ∈ U}.