Analisi 1: Appunti completi con dimostrazioni

ANALISI I

_{NUMERI RAZIONALI}

_{NUMERI REALI} sono campi ordinati.

L'insieme dei numeri reali ha la proprietà di continuità o completezza. Ogni sottinsieme di ℝ non vuoto e limitato superiormente e/o inferiormente ha estremo superiore e/o inferiore.

• es. _X ∈ ℝ, _x < _x₀: {_√2}

x = ^m/_n interi positivi non entrambi pari

• ipotesi: (_m²/_n²) = 2 => _m² = 2_n²
• _√m divisibile per 2, _m e _n non dovrebbe essere pari, quindi _n ma...

NON ESISTONO NUMERI RAZIONALI CHE ELEVATI AL QUADRATO RISULTANO 2

IL NUMERO NON ESISTE IN ℚ MA ESISTE IN ℝ

Agiremo per espandere nell'insieme ℝ_n perché è un ambiente di calcolo più potente e con caratteristiche migliori. Si possono costruire i numeri di ℝ a partire da ℚ. Ad esempio ci sono le sezioni di Dedekind o le successioni di Cauchy ma non ce ne occuperemo.

SIMBOLOGIA e TERMINOLOGIA.

• ! Settoriale n è un intero positivo ⟶ n · (n-1) · (n-2) .... es: 5! = 5 · 4 · 3 · 2
• (n+1)! = n!(n+1) definizione ricorsiva
• da ricordare 0! = 1 per definizione
• Utilizzato nelle permutazioni di n oggetti.

Se ho n elementi da disporre in posti di numero minore o n disposizioni senza ripetizione:

• D_n,k = n(n-1) (n-2) ... (n-k+1)

Posso ripetere alcuni elementi quindi utilizzo le disposizioni con ripetizioni:

• D^k_n,k = n^k

Se non conta l’ordine, con _n insieme e _k oggetti eletti.

Con _{[ n k ]n}

Quant’è buona bottom line di 3 form di k oggetti.

Si utilizzano quindi le combinazioni C_n,k (vengono viste come D_n,k + permutazioni K!)

Questo rapporto viene espresso come ⁿC_k=coefficiente binomiale C_n,k

Il coefficiente binomiale può essere utilizzato anche per la riduzione dei binomio a potenza di binomio:

(a+b)ⁿ=∑ _k=0^{n n}C_k a^n-k b^k =>

Formula di Newton per la riduzione del binomio (importante)

Se nell' formula pongo a=b uguale a 1, a destra da avviene ∑ _k=0ⁿⁿC_k a sinistra viene 2ⁿ quindi

(n,0)+ⁿC₁ +(n,2)+...+(n,n) = 2ⁿ n° dei sottoinsiemi di A

• L' n° di sottoinsiemè è n° dei sottoinsiemì di A di ordine 0 da dividi 1 di ordine n

Ogni sottoinsiemà è definibile attraverso una funzione con cui individo 2 elementi di un insieme x_B A->T {0,1} dove x_B (x) = 1 se xB 0 se xNB Presi a₁, a₂, ..., a_n numeri reden: ->∑_k=1ⁿa_k =a₁ + a₂ ... a_n

Se voglio sommare 2 sommiconì: ∑_k=1ⁿ 2a_k ∑_k=1ⁿ br ∑_K=1ⁿ (a_k+b_k) Per la molteplicazio +. c∑_k=1ⁿ a_k = c(a₁+a₂, ..., a_n) ∑_K=xⁿ c = c+c ... c = nC

E.g. 2 ∑_k=1ⁿ k c ^{n2 + n}₂ + n ^{n2 + 2n}₂n

somm primi numerì disparì ∑_k=1ⁿ (2k-1) = ∑_K-1ⁿ 2K ∑_k=1ⁿ K ∑_v=1ⁿ n(n+1) nⁿ²

∑_k=1ⁿ k²

j = cos π/2 + i sen π/2 = i → ROTAZIONE PURA di π/2

j² = -1 → ROTAZIONE TRIGONOMETRIA DI 180°

w = 1 + i√3

|w| = √1²+3 = 2

arg(w) = π/3

z₂

z₃

z₂ = ρ[cos(θ) + i sen(θ)] θ = π/3 + k 2π/3 k = 0, 1, 2

ρ =³√2

k = 0

9 = ⌀ · π/9

z₀ =³√2 [cos π/9 + i sen π/9]

k = 1

9 = π/9 π

z₁ =³√2 (cos π/9 + i sen 9/9π)

k = 2

9 =³π

z₂ =³√2 (cos 13/9π + i sen 13/9π)

z₁

z₀ TRIANGOLO EQUILATERO

FORMA ESPONENZIALE

p, θ ∈ R p > 0

e^iθ = cosθ + i senθ

p e^iθ = P (cosθ + i senθ)

e₀ = e^aiθ = e₀e^ib ⇒ e⁰(cosb + i senb)

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA

Ogni polinomio di grado n > 0 a coefficienti complessi ammette almeno una radice (compessa).

conseguenza g(z) = a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 + … + a₁z + a₀

Posto l'interpretazione di U_δ allora abbiamo che ∀x ∈ (x_o)

x ∈ U → g(x) ∈ V ∪ A, contraddizione. Poiché x_o è un punto di

accumulazione di E, esisterà un punto c di E diverso, dato che

appartiene a U segue che g(c) ∈ U ∩ U_δ e poiché U ∩ U_δ ≠ ∅,

c ∈ Ø è assurdo. I punti densi non vanno disgiunti.

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO: ∃ ε∈R ∃: E → R x_o ∈ E f(x)

se f ≠ 0, allora esiste un intorno di U di x_o tale che nell’insieme

E ∩ intorno U → g(x) non ha il segno di l.

Dimostrazione: Poiché l≠0 esisterà un intorno V di ε tale che g

l non appartiene a V, allora, dato che E è un intorno di x

si faranno tutti lo stesso segno di l. Poiché g(x) → ε

per x → x_o esisterà un intorno di U di x, tale che per ogni x ∈

intorno x_o, x appartiene U. Segue che tutti gli elementi di

E intensione di U hanno un’immagine che cade in U e quindi ha il

segno di l.

TEOREMA DEL CONFRONTO: 3 funzioni g, g, h ≥ E → R x_o ∈ E'

supponiamo che abbiamo un intorno in cui h(t) ≤ g(x), g(x) ≤ h(t) ∀x ∈ E' che n U

U, intorno di x_o). Se tutto ciò è verificato allora anche se limm

h(t) → l per x → x_o, e g(t) → l per x → x_o, allora anche

g(x) → l per x → x_o. È come se g(x) venisse schiacciato dalle z

funzioni h(t) e g(x)

Dim: Sia J un intorno generico di E, poiché ah(t) tende a l per x → x_o

esiste un intorno di U di x, tale che per tutti gli x ∈ Ø allora g(x) ∈ J

per g(x), limite tende a l esiste un intorno U di x tale che per tuth

gli x ∈ U, allora g(t) ∈ J.

Posto: U = U_o ∩ V_ω, cerchiamo

che per ogni x appartienente a E, x ∈ U e quindi h(t) ∈ V

possiamo recuperare ³√x come inverso di x³

con abuso di linguaggio scriveremo ³√x = x^1/3

Esponenziali

z^x

inverso

log_z x

caso con base > 1

monotone crescente iniettive

inverso > 0

log_1/2 x

(1/2)^x

monotone decres. iniettive

Trigonometriche

sen x

periodico T = 2π non iniettivo non monotono inverto una sua restrizione [−π/2, π/2]

sin x [−π/2, +π/2] → [−1, 1]

arc sin (−1, 1) → [−π/2, π/2]

cos x

analogo al seno

cos x [0, π] → [−1, 1]

ha un inverso rendo restrizione arc cos (−1, 1) [0, π]