Diffrazione a raggi X

Diffrazione

Un reticolo cristallino è composto da infiniti \(\vec{r}\) misurati:

• Ogni piano ha un vettore reciproco perpendicolare

3 strumenti matematici che servono per descrivere la diffrazione di cristalli:

1. Funzione delta di Dirac: \(\delta(r-r_0)\)

\[\delta(x) = \begin{cases} 0, & x \neq 0 \\ \infty, & x = 0 \end{cases}\quad \int \delta(r-r_0) dr = 1\]

... e il limite di molte funzioni analitiche

es: \(\lim_{\sigma \to 0}\) dalla funzione gaussiana

\(\lim_{\sigma \to \infty} g_\alpha \to\) ad una funzione arrotondata

\(\Rightarrow \langle L(r) \rangle \sum_{n,m,p} \delta(r-r_{n,m,p}) \quad \Rightarrow\) definisce un reticolo esteso all'infinito nelle 3 direzioni

Convoluzione

\[C(\Delta x) = \rho(r) * g(x) = \int \rho(r) g(r-u) dr\]

\(\rho\) tutte le proprietà dello spazio delle onde e quello del cristallo

è simmetrica: \(\rho(r)g(r) = g(r)\rho(r)\)

Diversa dall'autocorrelazione (somma) e dalla correlazione incrociata:

\[\langle L(r) + \varphi(r) \rangle = \langle \sum \delta (r-cr_{n,m,p}) \rangle = \sum \rho(r-r_{n,m,p}) = \rho(cr)\]

• Demostra elettronica delle celle elementare, atoma, molecola
• Densità elettronica del reticolo

La colore = Abbassamento dell'onda \ Rightarrow Intesitá onda = intensità colore

• trasformata di Fourier (spazio diretto); densità elettronica
• spazio reciproco (intensità dell'onda emessa); \(I\)

Trasformata di Fourier

Descrivono meglio l'interazione onde-reticolo:

\[\begin{array}{c}\text{Più concentrato} \\\text{Maggiore diffusione}\end{array}\]

Dimensione dell'oggetto inversamente proporzionale alla intensità dell'onda

Espressa come somma di funzioni sinusoidali continue

\[E(\vec{r}) = \int_{S_i} \rho(r') \exp(-2\pi i \vec{r'} \cdot \vec{r}) dr' \quad \text{trasformata di Fourier onda elettromagnetica}\]

\[\rho(r) = \int_{S_i} F(\vec{r'}) \exp(-2\pi i \vec{r'} \cdot \vec{r}) dr' \quad \text{anti trasformata di Fourier}\]

Diffrazione

Un reticolo cristallino è composto da infiniti "rami reciproci".

Ogni piano ha un vettore reciproco perpendicolare.

3 strumenti matematici che servono per descrivere la diffrazione di cristalli:

1. Funzione delta di Dirac: ∫_−∞^+∞ δ(r-r_o) d_α = 1

δ descrive un reticolo esteso.

ε è il limite di molte funzioni analitiche es. lim_σ→0 della funzione gaussiana lim f_j→∞ ad una funzione architettoria

L(r) = ∑_nu,m δ(r-r_nu,m)

Convoluzione: C(L,ρ) = ρ(r) * g(r) = ∫ ρ(α) g(r−α) dα ρ_(r) g_(r) = g_(r) ρ_(r)

L(r) * φ(r) = ρ(r) * φ(r) = ∑_nu,m ρ(r-r_nu,m) = ρ(r)

• demsto elettronica della celle elementare, atomo, nucleo
• densità elettronica del reticolo

Teorema →Ampiezza dell'onda

Ogni funzione può esprimersi come somma di infinite funzioni sinusoidali continue

F(ξ*) = ∫ ρ(r) exp (2 π i ξ* r) dα

φ(r) = ∫ F(r*)exp(-2 π i ξ* r) dξ*

⇒ E(c₁) – I = Tₚ(c₁)

ρₚ(c₁) = T^⁻¹[F(c₁)*I]

→ trasformate di parametro di pulsare da reticolo diretto a indiretto

Teorema

[E(pₐ(c₁)) + g(k)] = T[E(pₐ(c₁)) · F_p(c₁) – I · F_g(c₁)]

[Eₚ(c₁) · gₓ(c₁) = T[pₐ(c₁) + I · Fₚ(c₁) + I · F_g(c₁)]

⇒ T[C_p = T[Pₚ · T_c₁ · T_c₂]

scattering of x-rays da atomi

Raggi-x come onda elettromagnetica

Al campo elettrico produce accelerazione degli elettroni che oscillano

L'elettrone emette una lunghezza d'onda di radiazione elettromagnetica

↳ la radiazione incidente e radiazione emessa

^hv'

_hv'

Scattering Coerente

Raggi-x come particelle

Collisione fotone-elettrone

↳ le due particelle cambiano energia e momento

h″v′

Scattering Incoerente

Viene annullato solo ^ds scattering coerente nella diffrazione

Nella trattazione si considera lo scattering incoerente

effetto Compton = scattering incoerente -> lato cinematico

opacometro = effetto Rayleigh -> scattering coerente -> molto altra

metallico | (fotografia di diffusione della luce associata ai parabronzi e c'è combinazione degli uomini pattern di Thomspon)

Elettroni d'oscura della funzione di Thompson

(f e E dentro definisce essere compatibilista.

oggetto singola Diffusione

più oggetti interferenza/diffrazione

Inside criteria

Intensità divisa in parti:

↳ al piano di diffusione (piano x,y)

↳ piano di scattering (piano x,y)

Teh Intensity ^o intensity (piano x,y)

Teth I_o (e²) sin(φ)