Differenziabilità

Differenziabilità

Data una funzione f: A → R, con A insieme aperto di R², e un punto (x₀, y₀) ∈ A, la funzione è differenziabile nel punto se esiste ∇f(x₀, y₀) derivabile nel punto [x₀, y₀] e si verifica:

(f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀, y₀) - f_x(x₀, y₀)h - f_y(x₀, y₀)k) / √(h² + k²) → 0

Teorema della continuità

Teorema: una funzione differenziabile in un punto è continua in quel punto. Una funzione è differenziabile in un insieme se è differenziabile in ogni punto dell’insieme.

Teorema del differenziale

Condizione sufficiente per la differenziabilità: se una funzione f(x, y) è derivabile in un intorno I(x₀, y₀), con le derivate parziali entrambe continue nel punto (x₀, y₀), allora f è differenziabile in (x₀, y₀), e di conseguenza è continua in quel punto. In simboli: C ∈ (f → C_A).

Esercizio

Studiare la differenziabilità di f(x, y) = xy nel punto (0, 0): dopo aver appurato che il limite della definizione di differenziabilità è uguale a 0, che può essere maggiorato con |hk| / (√(h² + k²)), che, razionalizzando, tende a 0, quindi per il teorema dei carabinieri, la funzione risulta differenziabile nel punto (0, 0). Si dimostra poi con il teorema del differenziale (vedendo le varie derivate che non siano nel punto (0, 0) e nei punti in cui o solo una variabile è uguale a 0) che la funzione è differenziabile in { (x, y) : x ≠ 0 ∪ y ≠ 0 }.

Funzione 3

f(x, y) = y³ + 5x sin(x)

Data la funzione, essa è differenziabile poiché le derivate parziali sono entrambe continue.

Funzione 4

f(x, y) = (1 - cos(xy)) / (x⁴ + y⁴)

Data la funzione, non è differenziabile in (0, 0), poiché, adottando la sostituzione y = x, viene il limite 1 - cos(x) / x⁴, uguale a 1/2, che usando il limite notevole è uguale a 1/2, diverso da 0, quindi la funzione non è continua, e di conseguenza non è differenziabile.