Differenziabilità

DIFFERENZIABILITÀ 2

Data una funzione , con A insieme aperto di , e un punto

f : A → R R

( ) ( )

∈

x , y A x , y ↔

, la funzione è differenziabile nel punto la funzione è

0 0 0 0

∃∇ ( )

f x , y

derivabile nel punto [ ] e si verifica:

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

+ + −f −f

f x h , y k x , y x , y h−f x , y k

0 0 0 0 x 0 0 y 0 0 =0

lim √ 2 2

+k

h

h ,k → 0

Teorema: una funzione differenziabile in un punto è continua in quel punto.

Una funzione è differenziabile in un insieme se è differenziabile in ogni punto

dell’insieme.

Teorema del differenziale (condizione sufficiente per la differenziabilità): se una

I

( )

funzione è derivabile in un intorno , con le derivate parziali

f x , y (x )

, y

0 0

(x ) (x )

, y , y

entrambe continue nel punto , allora è differenziabile in ,

f

0 0 0 0

1 0

e di conseguenza è continua in quel punto. In simboli: .

∈C ∈

( (

f A)→ f C A)

( ) =¿

Esercizio: studiare la differenziabilità di nel punto (0, 0): dopo

f x , y xy∨¿

aver appurato che il limite della definizione di differenziabilità è uguale a

( )

| |

| | 2 2

hk +k

h

1

, che può essere maggiorato con , che, razionalizzando,

√ √

2

2 2 2 2

+

h k +k

h

tende a 0, quindi per il teorema dei carabinieri, la funzione risulta

differenziabile nel punto (0, 0). Si dimostra poi con il teorema del differenziale

(vedendo le varie derivate che non siano nel punto (0, 0) e nei punti in cui o

solo una variabile è uguale a 0) che la funzione è differenziabile in

{ }

( ) {( )

∪ } .

x , y : xy ≠ 0 0,0 3 ( )

3

( ) = +5

f x , y y x sin x

Data la funzione , essa è differenziabile poiché le derivate

2

parziali sono entrambe continue.

{ 1−cos xy ( ) (0,

x , y ≠ 0)

( ) =

f x , y 4 4

Data la funzione , non è differenziabile in (0, 0),

+

x y

( )=(

0 x , y 0,0) 2

1−cos x

poiché, adottando la sostituzione , viene il limite , uguale a

y=x 4

2 x

1

( )

2 ∗1

1−cos x

1

( ) , che usando il limite notevole è uguale a , diverso da

2 1

=

2 2

2 (x ) 2 4

0, quindi la funzione non è continua, e di conseguenza non è differenziabile.