Gradiente e differenziabilità con esercizi di continuità, differenziabilità e derivabilità

Gradiente e differenziabilità

Sia A ⊆ ℝ² aperto, (x,y) ∈ A e sia f: A → ℝ. Sia f derivabile in (x,y), cioè ∃ le derivate parziali f_x e f_y in (x,y). Il gradiente di f in (x,y) è il vettore Df le cui componenti sono le derivate parziali di f: Df=(f_x, f_y). Il gradiente si indica con: Df(x,y), ∇f (x,y), ∇f, grad_xyf, grad_xyf. Diremo che f ammette gradiente in un punto se è derivabile in quel punto.

Condizione di differenziabilità

Una condizione più forte è dire che f è differenziabile in quel punto. Si dice che f è "differenziabile". Sia A ⊆ ℝ² un aperto, (x,y) ∈ A e f: A → ℝ.

f è differenziabile in (x,y) se:

1. f è derivabile in (x,y). ∃ f_x(x,y) ed f_y(x,y).
2. Vale la relazione di limite: lim_{(h,k)→(0,0)} ^{f(x+h,y+k)-f(x,y)-f_x(x,y)h-f_y(x,y)k}/_√(h²+k²) = 0

f la diremmo differenziabile in A ⇒ f è differenziabile in ogni punto di A.

Differenziabilità ⇒ derivabilità

Differenziabilità ⇒ continuità

Esempio

f(x,y) = ^{1 - senπ₂x}/_{√x² + y²} se (x,y) ≠ (0,0)

0 se (x,y) = (0,0)

Studio della continuità, differenziabilità e derivabilità in (0,0)

1. Continuità in (0,0): lim_{(x,y)→(0,0)} ^{1 - senπ₂x}/_{(x-1)² + 4y²} = f(0,0) = 0?

Ricorda: Una funzione f(x,y) è continua in (x₀,y₀) ⇒ 1) Il punto considerato fa parte del dominio della funzione

Gradiente e differenziabilità

Sia A ⊆ ℝ² aperto, (x,y) ∈ A e sia f: A → ℝ. Sia f derivabile in (x,y), cioè ∃ le derivate parziali f_x e f_y in (x,y). Il gradiente di f in (x,y) è il vettore Df(x) le cui componenti sono le derivate parziali di f: Df=(f_x, f_y). Il gradiente si indica con: Df(x,y), ∇f(x), ∇f, grad_xyf(x), grad_xyf. Diremo che f ammette gradiente in un punto se è derivabile in quel punto.

Una condizione più forte è dire che f è differenziabile in quel punto. Si dice che g è "differenziabile". Sia A ⊆ ℝ² un aperto, (x,y) ∈ A e ∃ f: A → ℝ. f è differenziabile in (x,y) se:

1. f è derivabile in (x,y). ∃ f_x(x,y) ed f_y(x,y).
2. Vale la relazione di limite: lim_{(h,k)→(0,0)} ^{f(x+h,y+k)-f(x,y)-f_x(x,y)h-f_y(x,y)k}/_√(h²+k²) = 0

f la definiamo differenziabile in A ⇒ f è differenziabile in ogni punto di A.

Differenziabilità ⇒ derivabilità

Differenziabilità ⇒ continuità

Esempio

f(x,y) = { 1 - ^{sen πx}/₂ se (x,y) ≠ (1,0) 0 se (x,y) = (1,0)

Studio della continuità, differenziabilità e derivabilità in (1,0)

1. Continuità in (1,0): lim_{(x,y)→(1,0)} ^{1 - senπx}/_{2(x-1)² + y²} = f(1,0) = 0?

Ricap: Una funzione f(x,y) è continua in (x₀,y₀)

1. Il punto considerato fa parte del dominio della funzione
2. Il limite _{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) deve esistere.
3. Il limite del punto z deve valere esattamente f(x₀,y₀), ossia deve valere la seguente uguaglianza: _{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) = f(x₀,y₀)

Prendendo l'esempio, il nostro scopo è di mostrare che f(x,y) ha come limite f(1,0)=0. 0 ≤ 1 - sen^πx/₂ ≤ 1 - sen²πx/₂

(x-1)2 + y2 (x-1)2 (x,y)→(1,0)

Derivabilità in (1,0)

_{lim h→0} f(1+h,0)-f(1,0)/h = ∂F(Q,0)/∂x= _lim 1 - cos^πh/₂ = _lim 1 - cos^π/₂ h }/ ^{(π/2 h)} = β'_h→0 ^{√h2h h→0 (π/₂ h)2} Il limite ≠ f ⇒ f non è derivabile rispetto ad x nel punto (1,0)

Conclusione

• f è continua
• ∂f(1,0)/∂x
• f non è differenziabile

f(x,y) = ^xy/_x²+y² se (x,y)≠(0,0) 0 se (x,y)=(0,0)

Continuità in (0,0)

lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) = f(0,0) lim_{(x,y)→(0,0)} ^xy/_x²+y² = a/

Poniamo x=0 ⇒ lim_y→0 ^0⋅y/_0²+y² = 0

y=0 ⇒ lim_x→0 ⁰/_y² = 0

y=mx ⇒ lim_x→0 ^mx2/_x²+m²x² = ^m/_1+m²

Derivabilità in (0,0)

f_x(0,0) = lim_h→0 ^{f(h,0) - f(0,0)}/_h = 0

f_y(0,0) = lim_k→0 ^{f(0,k) - f(0,0)}/_k = lim_k→0 ⁰/_k³⋅0 = 0

La derivabilità c'è in (0,0)

Differenziabilità in (0,0)

lim_{(h,k)→(0,0)} ^{f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}/_√(h²+k²) = 0?

lim_{(h=3k)→(0,0)} ^h2k/_{(h²+k²)/√(h²+k²)}

- lim_{(h=k)→(0,0)} ^hk/_{(h²+k²)^3/2}

h=0 lim_k→0 ⁰/_k³ = 0

k=0 lim_h→0 ⁰/_h³ = 0

h=k lim_h→0 ^h3/_2h³ = lim_h→0 ¹/₂ ≠ 1/lim_{(h,k)→(0,0)} f(x,y) ≠0 [non esiste]

g(x,y) = ^{sen x2}/_x²+y² se (x,y) ≠ (0,0) g(x,y) = 0 se (x,y) = (0,0)

Studio della continuità, derivabilità e differenziabilità in (0,0)

Continuità in (0,0)

lim (x,y)→(0,0) ^{sen x2}/_x²+y² = g(0,0) = 0?

x=0 lim _y→0 0/_y² = 0

y=0 lim _x→0 ^{sen x2}/_x² = 1

g=mx lim _x→0 ^{sen x2}/_x²+y² = 1/_1+m²

f non continua in (0,0) ⇒ g non è neanche differenziabile in (0,0)

Derivabilità

lim _h→0 f(0,0) - f(0,0) / h = lim _h→0 ^senh2/_h²h = ∂f/∂x (0,0) ?

lim _k→0 f(0,k) - f(0,0) / k = lim _k→0 0 = 0 = ∂f/∂y (0,0) = 0

Teorema del differenziale

Sia f: A → ℝ con A ⊆ ℝ² aperto. Se le derivate parziali fx e fy sono continue in (x,y) ∈ A allora f è differenziabile in A.

DIM: F=g(x,y) con C(x,y) ∈ A ⊆ ℝ². Consideriamo g(x+h,y+k) - g(x,y) = [g(x+h,y+k) - g(x,y+k)] + [g(x,y+k)-g(x,y)] Applicando 2 volte il th. di Lagrange f: x₁ in (x,x+h) ed f₃ in (y,y+k) ⇒ f(x+h,g+k) - f(x,y) = fx x₁(x,y+k)h + fy (- x_j)k.

Ora utilizzando il rapporto della definizione di differenziabilità otteniamo che 1/√(h²+k²) [ fx(x₁,y+k)k + fy(x,y₁)k - fx (x,yn)h - fy(x,y)k ].