Derivate direzionali, parziali e differenziabilità
Data una fuc f: A⊂Rn → R, A aperto, x0 ∈ A.
Def. (derivata direzionale)
Se v ∈ Rn con |v|=1, allora si fa molta direzione attraverso v in x0 se ∃ finito e unico
∈ [lim (t→0) [f(x0+tv)-f(x0)/t] = ∂f/∂x (x0)v
Angolo Dvf(x0)=f'(x0)
n=2
Detto incrementi delle posizioni
Def. (derivata parziale)
f è punto derivabile in x0 se ∃ le derivate associate di f in x0 lungo le n cuiuscioni della base canonico di Rn, ei, e2,... en. Tali derivate essere chiamato parziali.
∂f(x0)/∂ei = ∂f(x0)/∂xi
Esempio
f(x,y) = x ey
∂f(x0, y0) / ∂x = lim (t→0) [f(x0 + t, y0) - f(x0, y0)] / t = ey0
v = (1,0)
Facciamo tutti i passi.
lim (t→0) [(x0 + t) ey0 - x0 ey0]/t = ey0 lim (t→0) [(x0+t-x0)/t = ey0]
Derivate direzionali, parziali e differenziabilità
Data una funzione f: A ⊂ Rn → R, A aperto, x0 ε A.
Def. (derivata direz.)
Se v ε Rn con ||v|| = 1, chiamiamo direzione derivabilesecondo v in x0 se ∃ finito e limitato
limt → 0 [(f(x0+tv) - f(x0))/t] = fx0
Pendio incrementinelle direz.
Def(fx0)
n = 2
grafico di fgrafico dellerestrizioni
Def. (derivata parziale)
f è direzione derivabile in x0 se ∃ le derivate direzionali dif in x0 lungo le n direzioni della base canonica di Rn.Tali derivate sono chiamate parziali.
(∂f/∂ei)(x0) = (∂f/∂xi)(x0)
Esempio
f(x,y) = xey
∂f/∂x (x0,y0) = limt → 0, t ≠ 0 [f (x0+t, y0) - f (x0,y0)]/t = ey0
v = (1,0)
Facciamo tutti i conti
limt → 0 [(x0+t) ey0 - x0ey0]/t = ey0
2f(x0,y0)dydx = (0,1) →
calcoliamo che la derivata...
f(t) = (x0 + tv2) ((y+tv2))
fr(t) = v1 − e + v0 + (tx1v) v2 ...
io calcolere un (t−0...uguale (t−0) anche un v
f(0) = uμe2 + x0vμe
Esempio 2
f(x,y) = −xy⁄x2+y2 se (x,y) ≠ (q,q)
= 0 se (x,y) = (0,0) →
prendiamo v = (v1,v2) ≠ (0,0)
limt−0 f(t(v1,t,v2)−f(0,0),(0,0) ≡
≡ limt−0 [t2v1v2⁄t(v2+v2)−0]/t = L
L = ±∞ se v1,v2 > 0
L = −∞ se v1,v2 < 0
L = 0 se v1=v2 = 0 → anche x o anche y
rarr; ∃ ∂f⁄∂x(0,0), ∋∂f⁄∂y (0,0)
Δ la derivata non &exa;∋&cha; la continuita.
Def. (Differenziabilità)
∇f(x0) = ∂f(x0)/∂xi, ∂g(x0)/∂xi
Si dice che f è differenziabile in x0 se ∃ L ∈ ℝn tale che:
f(x) = f(x0) + L · (x - x0)
vec affine = costante che rappresenta no sottospazio per il punto (x0, f(x0))
TH. f è differenziabile ⇒ f è derivabile in x0 e L = ∇f(x0).
Dim. Consideriamo il punto x = x0 + tei dove ei è il i-esimo vettore della base canonica di ℝn e dalla differenziabilità di f in x0 segue che
f(x0 + tei) - f(x0) = t < L, ei > + o(t|ei|)
∀ x
Θ ⟨∇f(x0), v⟩ = ∃Θ(t) → ⟨∇f(x0), v⟩ = Dv f(x0) \(\ominus\)
✄
Se f(x, y) = \(\frac{1}{xy}\) calcoliamo Dvf(x, y). [2pt]
∂f ÷∂x (x, y) = \(\frac{-1}{x2y}\)
∂f ÷∂y (x, y) = \(\frac{-1}{xy2}\)
∇f(x, y) = \left(\frac{-1}{x2y}, \frac{-1}{xy2}\right) → Dv f(x, y) = ⟨\left(\frac{-1}{x2}, \frac{-1}{xy2}\right),(v1,v2)⟩ = -v1 - v2
CRITERIO PER LA DIFFERENZIABILITA
⇔ f è derivabile in x0.
⇔ limx → x0 \(\frac{f(x) - f(x0) - ⟨\nabla f(x0),(x-x0) ⟩}{|x-x0|}\) = 0 → ε è un o piccolo
OSS. se f è differenziabile in x0 → f è continua in x0
OSSS (th. dei gradienti) se f è insieme derivato parziali continui in un intorno di x0 → è differenziabile in x0
SCHIFTA RIEPILOGATIVO:
f.u. derivabili
(f.u. differenziabili
(fui in C1)
f.u. continue
f(x,y) = xy/√(x2+y2) se (x,y) ≠ (0,0)
0 se (x,y) = (0,0)
simmetrica e differenziabile
su (0,0).
la fne è continua
∂f/∂x (0,0) = lim t→0 (f(t,0) - f(0,0))/t = lim t→0 0/t = 0
∇ = (1,0)
∂f/∂y (0,0) = 0
rimane ora il criterio per la diff.
lim (x,y)→(0,0) (f(x,0)-0-0)/√(x2+y2)
poiché ∇f(x0)=(0,0)
lim (x,y)→(0,0) xy/x2+y2 ma esiste perché dipende dalla
direzione
f è continua e derivabile parzialmente ma non differenziabile
Riepilogo:
f diff. in xo se ∃ q.m
Df(xo) = ⟨∇f(xo), v⟩ ∀ v ∈ ℝⁿ ∀ ε o
f diff. in xo ⇔ si definisce (l'applichiamo a) ℝⁿ
per n = 2
Ex
f(x,y) = e-x+y
(xo, yo) = (0,0)
Calcoliamo il piano tangente
f(0,0) = e-1
∂f (x,y) = e-1 x+y
∂f (0,0) = -1
∂f (x,y) = e-x+y
∂f (0,0) = 1
=> z = 1 + x-xo + y-yo = 1 + x + y
piano tg al grafico ai f, nel p.t. (0,0,1)
Schema delle coordinate di un piano:
Piano TG in Po
Il vettore
No = (
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