Derivate e differenziabilità

Derivate, direzionali, parziali e differenziazione:

Data una funzione f: A ⊂ ⁿ → , A aperto,

def. (derivata direzionale):

Se v ∈ ⁿ con ||v|| = 1, allora se f ammette derivata direzionale secondo v in x₀ se f è finito e uguale

^{lim_t→0 f(x₀ + tv) - f(x₀)}/_t

Grafico di f + t gradiente e gradiente normale

Def. (derivata parziale)

f è detto derivabile in x₀ se esistono le derivate direzionali di f in x₀ lungo le n direzioni della base canonica di ⁿ, e₁, e₂, ..., e_n. Tali derivate si chiamano parziali.

^∂f(x₀)/_∂ei = ∂f(x₀)/∂x_i

Esempio

f(x,y) = xe^y4

^{∂f(x₀,y₀)}/_∂x =

^{lim_t→0 f(x₀ + t, y₀) - f(x₀, y₀)}/_t = e^y4

v = (1,0)

Facciamo tutti i passi:

^{lim_t→0 (x₀ + t)ey₀ - x₀ey₀}/_t = e^{y₀ lim_t→0 x₀ + t - x₀}/_t = e^y₀

Se (x₀, y₀) = (a^-, b^-)

(x,y) ≠ (0,1)

f(x,t) = (x₀ + tu₁, y₀ + tu₂)

f'(t) = v₁ = (x₀ + vt)² + (y₀ + wv)²

Esempio 1

f(x,y) = ^xy/_x²+y²

f(x,y) = (x,y) ≠ (0,0)

L = (0,0)

lim f(x,y),(x₀,y₀) = (0,0)

∂²/(∂x²) = ∂/∂x (0,0)

∂/∂x (0,0), ∂/∂y (0,0)

La derivata non implica la continuità

Riepilogo:

f diff. m x0 esr A&R^m qui

f(x) - f(x0) - < ∇f(x0), (x - x0) >

|x - x0| -> 0

Df(x0) = < ∇f(x0), v > ∀ v ∈ Rⁿ v ≠ 0

f diff. in x0 -> definisce il diff. lin. G

z = f(x0) + < ∇ F(x0), (x - x0) >

ex :

f(x,y) = e^x+y

(x₀, y₀) = (0,0)

Calcoliamo il piano tangente

F(0,0) = e⁰ = 1

∂F(x,y) = 1 ⋅ e^x+y

∂F(0,0) = 1

∂x

∂F(x,y) = 1 ⋅ e^x+y

∂y

∂F(0,0) = 1

∂y

∂ z = 1 + x - x₀ + y - y₀ = 1 + x + y

Squilifisco del geometro di una fine

N₀ = (∂f(x₀,y₀, ∂f(x₀, y₀) - 1 ) e^-