Diagrammi di Bode

DIAGRAMMI DI BODE

Per calcolare la risposta a regime di un ingresso sinusoidale occorre esaminare la funzione di trasferimento W(s) in MODULO e FASE.

Una funzione W(s), con s=jω, può sempre essere espressa in forma canonica:

W(s) = K(1+s/ω_n)^r(1+2ξs/ω_n+s²/ω_n²)/span>^{(1+s/ω_m)r(1+2ξs/ω_m+s2/ω_m2)}

ovvero, in modo unico, come rapporto delle potenze dei seguenti fattori:

1. termini monomi "s" (zeri e poli nell'origine).
2. termini binomi 1+τσ, τ∈ℝ (zeri e poli reali); ω₁ = 1/|τ| è detta pulsazione di taglio del termine binomio.
3. termini trinomi 1+2ξs/ω_m+s²/ω_m², |ξ|0;

(oppie di zeri e poli complessi e coniugati). ξ e ω_m sono rispettivamente lo smorzamento e la pulsazione di risonanza del termine trinomio.

4. guadagno di Bode "K".

Vediamo allora come si ottengono i termini binomi e trinomi della forma canonica:

-Termini Binomio:

• σ_i<0 → (s-σ_i)=(s-σ_i)=-(σ_i-σ)_i=-σ_i(1-σ/σ_i)=-σ_i(1+
σ/σ_i)=-σ_i(1-στ), con τ=1/|σ_i|
• σ_i>0 → (s-σ_i)=(-σ_i-σ)_i=-σ_i(1-σ/σ_i)=(1-σ/σ_i)=(-σ_i)(-σ_i=-σ_i(1-στ).

τ è dunque una costante di tempo.

- termine trinomico:

(s-s₁)(s-s₂) con s_1,2 = -α ± i β → s_i* = -d - i β →

(s - d - i β)(s - d + i β) = s² - 2 sd + d² + β² = s² - 2 d s + d² + β²

Posso avere 3 casi distinguibili dal valore di d:

• d < 0

ω_m²(1 + 2ξ₅) - ω²(ω_m²) → ⋅ ω < ω

• d > 0

ω_m(1 − 2ξ₅) + ω²(ω_m)

• d = 0

ω_m²(1 + ω²(ω_m²))

I diagrammi di Bode sono le rappresentazioni in scala semilogaritmica del modulo (espresso linearmente in dB) e della fase della funzione di Trasferimento calcolata in ssico al variare della pulsazione ω ϵ (0, + ∞)

Per semplificare il caso, Bode utilizzò il vieto dei Logaritmi così da rappresentare i diagrammi come somma algebrica dei contributi dei singoli fattori canonici fin ora descritti: i contributi dei termini al numeratore si sommano, quelli dei Termini al denominatore si devono sottrarre ed eventuali potenze moltiplicano per un fattore "p" i contributi del Termine.

Possiamo ora esaminare i contributi in modulo e base dei singoli Termini:

3) termine trinomio:

1 + 2_ζξ_ω²

ω_n | ζ | ≤ 1 ; ω_n > 0 => per σ = jω :

1 + 2j ξω

--------- | = 20 log √(1 - ω²/ω_n²)

| ω_n^{ω |}

ω_n

1 + 2jξω

ω_n | inim

---------

| ω² |

arctan(---------)

ω_n

1 - ω²

ω_n

Anche per il termine trinomio è necessaria l'analisi asintotica per poter approssimare i diagrammi con opportune spezzate lineari a tratti.

Alle basse frequenze (ω << ω_n):

1 + 2j ξω

---------

ω_n

- ω²

------- => 1 => 20 log 1 = 0

ω_n²

Alle alte frequenze (ω >> ω_n):

1 + 2jξω

---------

ω_n

- ω²

----------------- =>

ω² ω_n

ω² ω_n

- ω²

ω² + 2jξω

---------- | = 20 log ( ω

ω_n

)_dB²

Il diagramma dei moduli si approssima alle alte frequenze con una retta di pendenza a 40 dB/se.

Lo spostamento per ω = ω_n è pari a:

20 oct.

Si evince da ciò che per la definizione di | ξ| ≤ 1 possano allora esistere 4 casi differenti:

4) Guadagno di Bode

K

Produce nelle ampiezze un'amplificazione uniforme al variare di ω, cioè si riflette nei diagrammi del modulo con una traslazione del grafico di una quantità pari a 20 log |K|.

Per quel che riguarda la fase, il guadagno di Bode non dà alcun contributo se K è positivo: ∠K = 0 per K > 0. Nel caso di K < 0 sfas

uniformemente il grafico di rad.