Diagrammi di Bode

DIAGRAMMI DI BODE

Per calcolare la risposta a regime di un ingresso sinusoidale occorre esaminare la funzione di trasferimento W(jω) in MODULO e FASE.

Una funzione W(s), con s = jω, può sempre essere espressa in forma canonica :

W(s) = K s^q _{(1 + sτ)^k (1 + ^2ξ ωm s + ^s2 ω²m ) ^m (1 + sτ ^l)}

ovvero, in modo univoco, come rapporto delle potenze dei seguenti fattori:

1. termini monomi “s” (zeri e poli nell’origine).
2. termini binomi 1 + s τ, τ ∈ ℝ (zeri e poli reali); ω₁= ¹_{| τ |} è detta pulsazione di taglio del termine binomio.
3. termini trinomi 1 + ^2ξ_ωm s + ^s2_ω²m , |ξ| ≤ 1, ω_m > 0; (coppie di zeri e poli complessi e coniugati); ξ e ω_m sono rispettivamente lo smorzamento e la pulsazione di risonanza del termine trinomio.
4. guadagno di Bode “K”.

Vediamo allora come si ottengono i termini binomi e trinomi della forma canonica:

-Termine Binomio:

• s_i < 0 => (s - s_i) = -( -s_i - s ) = -s_i (1 + ^s_si)
• s_i > 0 => (s - s_i) = (-s_i - s) = -s_i (1 - ^s_si) =
• con τ = ¹_{| si |}

τ è dunque una costante di Tempo.

DIAGRAMMI DI BODE

Per calcolare la risposta a regime di un ingresso sinusoidale occorre esaminare la funzione di trasferimento W(iω) in MODULO e FASE.

Una funzione W(s), con s=iω, può sempre essere espressa in forma canonica:

W(s) = K s₀ ^q (1 + s τ)^x (1 + 2 ξ ^s + ^s2/_ωm²) (1 + s/ω_i) ^y (1 + ^ξ/_ωm s + ^s2/_ωm²)

ovvero, in modo univoco, come prodotto delle potenze dei seguenti fattori:

1. termini monomi "s" (zeri e poli nell'origine);
2. termini binomi 1 + τ s, τ ϵ ℝ (zeri e poli reali); ω_i = ¹/_|τ| è detta pulsazione di taglio del termine binomio.
3. termini trinomî 1 + ^{2 ξ}/_ωm s + ^s2/_ωm², |ξ| ≤ 1, ω_m > 0;

Vediamo allora come si ottengono i termini binomi e trinomî della forma canonica:-Termini Binomio:

• s_i < 0 => (s - s_i) = - (s_i - s) = - s_i (1 - s/_λi ) = - s_i (1 + s τ) con τ = ¹/_|λi|
• s_i > 0 => (s - s_i) = - (s - s_i) = - s_i (1 - s/_λi) = (1 - s/_|λi|)( - s_i = - s_i (1 - s τ)

τ è dunque una costante di Tempo.

- termine trinomio:

(s - s_z)(s - s_z*) con s_z = -d + iβ , s_z* = -d - iβ

(s - d - iβ)(s - d + iβ) = s² - 3sd + sβ - sβ - sd + d² - iβ - iβ + i²β + β² =

= s² - 2sd + d² + β² = (s - d)² + β²; facendo un passo indietro e dividendo tutto per (d² + β²) ≠ 0 ottengo:

1 + ^s2/_{(d² + β²)} - ^{2d s}/_{(d² + β²)}

=> per ω_m = √d² + β² e ξ = |d|/_{√d² + β²} =>

Posso avere 3 casi distinguibili dal valore di d:

• d < 0

ω_m² (1 + 2 ξ ζ/_ωm + ζ²/_ωm²)

• d > 0

ω_m (1 - 2 ξ ζ/_ωm + ζ²/_ωm²)

• d = 0

ω_m² (1 + ζ²/_ωm²)

I diagrammi di Bode sono le rappresentazioni in scala semilogaritmica del modulo (espresso linearmente in dB) e della fase della funzione di Trasferimento calcolata in iω della pulsazione ω є (0, +∞) Per semplificare le cose, Bode utilizzò le identità dei Logaritmi così da rappresentare i diagrammi come somma algebrica dei contributi dei singoli fattori canonici fin ora descritti: i contributi dei termini al numeratore si sommano, quelli dei Termini al denominatore si sottraggono ed eventuali potenze moltiplicano per un fattore 'p' i contributi del termine.

Possiamo ora esaminare i contributi in modulo e fase dei singoli Termini:

1) Termine monomio:

s = jω => |jω|_dB = 20 log |jω| = 20 log ω

Il diagramma di Bode delle ampiezze è una retta con pendenza 20 dB/dec che taglia i 0 dB in corrispondenza della pulsazione di 1 rad/sec.

La fase è, invece, costante al variare di log ω e vale π/2 rad.

2) Termine binomio:

1 + s ω₀ = 1 + jω₀ => 20 log |1 + jωτ| = 20 log N + ω²τ²

A differenza dei monomi, i diagrammi di Bode dei binomi non hanno un andamento lineare rispetto a log ω. Per la loro rappresentazione si sceglie di esaminare il comportamento asintotico della funzione W(jω) nei punti di non derivabilità, detti punti di sutura.

Dall’analisi alle basse frequenze, per pulsazioni inferiori a quella di taglio (ω ≪ ω_c):

1 + τ²ω² ≫ 1 => 20 log 1 = 0

Dall’analisi alle alte frequenze, per pulsazioni superiori a quella di taglio (ω ≫ ω_c):

1 + τ²ω² ≃ τ²ω² => 20 log |τω| = 20 (log ω - log ω_c) ①

Ciò si approssima con una retta di pendenza 20 dB/dec passante

in (0, ω₂).

Lo spostamento del vero diagramma di Bode da quello a linee spezzate (asimptotico) si ha per ω = ω₂:

20 Log_n (√1+2²ω_z²) = 20 Log_n √2 = 3,01 dB.

Anche per la fase si esegue uno studio basato sui punti di non derivabilità:

Alle basse frequenze il termine binomio può confondersi con la sua parte reale, per cui la fase assume un andamento costante pari a 0.

Alle alte frequenze il termine binomio può confondersi con la sua parte immaginaria, per cui la fase assume un andamento pari a ±π/2 a seconda che τ sia maggiore o minore di 0.

Si nota che non esistono punti di intersezione, ma essendo la fase una funzione dispari si sa che dovrà avere un andamento simmetrico rispetto al punto (ω_z, π/4).

Si traccia allora un segmento che intersechi entrambi i tratti costanti che abbia una pendenza di π/4 rad per decade.

Lo spostamento della fase dal diagramma asintotico si ha per i punti di rottura delle spezzate; 0,1 ω_z e 10 ω_z.

⎧ arcφ (τ 0,1 ω_z ) = arcφ (0,1) = 0,1 rad.

⎨ 

⎩ π/2 - arcφ (τ · 10 ω_z) = π/2 - arcφ (10) = 0,1 rad.

Regole proprie per la simmetria della curva.

I diagrammi che ne seguono sono:

1 + sτ con τ > 0

|u|

arg(u)

1 + sτ con τ < 0

₁/^{1 + sτ} con τ > 0

₁/^{1 + sτ} con τ < 0

3) termine trinomio:

1 + ^2jξω/_ωm + ^ω2/_ωm² con |ξ|≠1 ; ω_m >0 => per s = jω =>

=> |1 + ^2jξω/_ωm - ^ω2/_ωm²| dB = 20 log √((1 - ^ω2/_ωm²)² + ( ^2ξω/_ωm)²)

L (1 + ^2jξω/_ωm - ^ω2/_ωm²) = arc tg ( ^2ξω/_ωm / 1 - ^ω2/_ωm²)

Anche per il termine trinomio è necessaria l'analisi asintotica per poter approssimare i diagrammi con opportune spezzate lineari a tratti.

Alle basse frequenze (ω ≪ ω_m):

1 + ^2jξω/_ωm - ^ω2/_ωm² ≈ 1 => 20 log 1 = 0

Alle alte frequenze (ω ≫ ω_m)

1 + ^2jξω/_ωm - ^ω2/_ωm² ≈ - ^ω2/_ωm² => | 1 + ^2jξω/_ωm - ^ω2/_ωm² | dB = 20 log ( ^ω/_ωm)²

Il diagramma dei moduli si approssima alle alte frequenze con una retta di pendenza 40 dB/sec.

Lo spostamento per ω = ω_m è pari a:

20 log √((1 - ^ω2/_ωm²)² + ( ^4ξ2ω2/_ωm²)) = 20 log |2ξ|

Si evince da ciò che per la definizione di |ξ| ≠ 1 possono allora esistere 4 casi differenti:

1) |ξ| = 1 ⇒ 20 log ξ = ≃ 6,02 dB

2) |ξ| = 1 ⇒ 20 log 1 = 0 ⇒ sfasamento nullo

3) |ξ| < 0,1 ⇒ si ha un picco in ωm, se il termine è al numeratore il picco sarà verso il basso attenuazione delle ampiezze. Se è al denominatore si avrà amplificazione

1) |ξ| = 0 ⇒ c'è un asintoto verticale in ωm. Come prima, se il termine è al numeratore si avrà attenuazione infinita altrimenti amplificazione infinita in ωm.

Andando per quanto riguarda il diagramma della fase si effettua uno studio sul comportamento asintotico:

• alle basse frequenze (ω≪ωm) il Termine Trinomio si confonde con la sua parte reale, per cui la fase ha un andamento pari a 0;
• alle alte frequenze (ω≫ωm) il Trinomio si confonde con -ω²_ωm² < 0, per cui la fase ha un andamento costante e pari a π (assume posizione reale, per ω che passa da 0 a +∞, il Trinomio è un vettore del piano complesso che ruota in senso antiorario).

Analogamente al binomio non esistono intersezioni tra i due stati e come fatto in precedenza si può sfruttare la simmetria della fase intersecando entrambi gli stati con una retta passante per il punto (ωm, ^π₂) e pendenza ^π₂rad/dec.

Questa tecnica è tanto più efficace quanto più il Termine trinomio si approssima con il quadrato di un binomio.

Se si suppone che il Termine Trinomio sia effettivamente il quadrato di un binomio, ossia |ξ| = 1, utilizzando il

Diagramma asintotico definito su una doppia decade, il massimo scostamento si ha nei punti di sottura 0,5ω_m e ω_m ed è :

< (1 + 2j ξ ω / ω_m - ω₂ / ω_m²) = < (89 / 100 + j 1 / 10) = arctg (20 / 33) ≃ 0,62 α_m

Si desidera, ora, impostare i punti di sottura simmetricamente a ω_m mantenendo lo scostamento pari a quello appena trovato.

Utilizzo allora il generico intervallo [ω_m / d, d ω_m]:

< (1 + 2j ξ ω / ω_m - ω₂ / ω_m²) = arctg (20 / 33) => per ω = ω_m / d =>

< (1 - 1 / d² + j 2 ξ / d) = arctg (20 / 33) => 2 ξ / d / 1 - 1 / d² = 20 / 33 =>

2 ξ / d² - (20 / 33) (1 / 5) = d² - 10ξ + 1 = 0 => d = 5ξ + √(25ξ² + 1)

La pendenza di tale diagramma asintotico sarà uguale a:

π / log (d ω_m) - log (ω_m / d) = π / 2 log d = π / 2 log (d (ξ))

I diagrammi di Bode in modulo e fase, Tutti i casi possibili, saranno allora i seguenti:

1

1 / (1 + 2jξω / ωn₂)

ξ ∈ (0,1]

ξ ≠ 0

|μ|

ϕ

60

10ωm

ω/2

ωm

ξ ∈ [-1,0)

60

10ωm

ω/2

ωm

ξ = 0

60

10ωm

ωm

-π

ωm

9

1 + _2j\xi\omega / _\omegan - _\omega² / \omega_n²

\xi ∈ (0,1]

|M|

\varphi

essendo d = 5\xi + \frac{25\xi^{2}+ 1}{d} i casi del valore di \xi mi portano al variare dell'intervallo [ \omega_d, \; \omega_m ] aumentando o dimunuendo la pendenza.

\xi = 0

4) Guadagno di Bode

Produce nelle ampiezze un'amplificazione uniforme al variare di w, ciò si riflette nei diagrammi del modulo con una traslazione del grafico di una quantità pari a 20log|K|.

Per quel che riguarda la fase, il guadagno di Bode non da alcun contributo se K è positivo: ∠K = 0 per K > 0. Nel caso di K < 0 fissa uniformemente il grafico di ∠rad.