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T T2 2 2 2√aa = ∫ f(t) sin(mωt) dt b = ∫ f(t) cos(mωt) dt c = + bm m m m mT T0 0 Tb 1mϕ = arctan a = ∫ f(t)dtm 0a Tm 0 ϕ ) significa eseguire l’analisi diDeterminare i coefficienti a , b (o in modo equivalente c ,m m m mFourier della f(t). non periodiche (T→∞)Il formalismo di Fourier si può estendere anche a funzioni invece di uno∞.spettro discreto di coefficienti si ha uno spettro continuo da 0 a∞f(t) = ∫ [a(ω) sin(ωt) + b(ω)cos(ωt)]dω0+∞ +∞1 1a(ω) = ∫ f(t) sin(ωt) dt b(ω) = ∫ f(t) cos(ωt) dtπ π−∞ −∞–RAGGI X RADIOGRAFIASopra il visibile e l’ultravioletto.Le interazioni sono di quattro tipi:• Scattering di Reyleigh:ho la diffusione della luce, lo scattering è elastico. Nel nostro caso non
è molto importante perché è molto più piccolo del fotoelettrico.-e λ 2λ γ1γγ colpisce un e- di conduzione. Questo avviene a basse energie. È più importante nelvisibile; inoltre noi consideriamo molecole grandi e non un gas perfetto.Il γ viene scatterato in un’altra direzione, ma λ ≈λ .1 2Non ho ionizzazione, gli elettroni non sono espulsi.
• Scattering Compton:lo scattering è anelastico e l’atomo è ionizzato. L’interazione del γ -è con un e delle shellesterne; l’e viene espulso dall’atomo che diventa ionizzato. Non è un assorbimento, infatti il-γ non viene completamente assorbito e perde solo una parte della sua energia ed esce ancoracon un γ .xL’energia dell’elettrone è bassa, arriva un γ un γmolto più energetico e se ne ottiene conx xmeno energia e un elettrone.dei
γ scatterati (20-140 keV) dipende dall'energia. Come l'energiaLa distribuzione angolaredel fotone aumenta, aumentano le direzioni degli elettroni scatterati. Anche i fotoni comedetto vengono scatterati e sono rilevati dal rilevatore immagini e diminuiscono il contrasto.Per 140 keV i γ vengono scatterati ad angoli bassi e questo è un male in quanto ci fadiminuire il contrasto dell'immagine. Questo significa che alle energie più alte la maggiordell'energia è trasferita agli elettroni scatterati.parteLa probabilità di interazione dipende dall'intensità elettronica (N γ)./eLa densità è uniforme come funzione di Z, quindi la probabilità di scattering per unità divolume è proporzionale alla densità.• Effetto fotoelettrico:catodo -eγanodoIl fotone viene completamente assorbito e l'elettrone viene accelerato verso l'anodo e lamisura è della
corrente generata. Quindi l'elettrone viene espulso. Gli elettroni si spostano verso l'anodo ma non tutti lo raggiungono; se V >> 0. Per V > 0 allora tutti gli elettroni raggiungono l'anodo e la corrente è massima. La corrente massima è simile all'intensità della luce. L'elettrone viene respulso dall'anodo. Per V < 0 > e|V| raggiungono l'anodo. Solo gli elettroni con energia cinetica iniziale 1/2mv. L'elettrone viene emesso solo se l'energia del fotone è molto maggiore dell'energia di legame. L'effetto fotoelettrico si può avere con tutti gli elettroni indipendentemente dalla shell. In quelle più esterne si ha anche nel visibile dato che l'energia di legame è bassa. Il processo è più significativo per alti Z. La probabilità di questo processo è maggiore nelle shell interne che hanno energie comparabili in modo che il fotone trasferisca tutta.
La sua energia all'elettrone. La probabilità di avere assorbimento fotoelettrico dipende anche dall'energia come 1/E^3.
Produzione di coppie: comincia ad una certa soglia e non è particolarmente importante per i raggi X e quindi per le energie utili. È presente solo a >10GeV e noi usiamo energie molto più basse. + - γ β, β annichilazione: emette energia uguale alle masse a riposo delle due particelle sotto forma di γ a 180° per la conservazione dell'impulso. La distanza tra nucleo e annichilazione è detta range.
Riportiamo ora il grafico di attenuazione dei raggi X e γ:
Il nostro range di energie è questo e quindi lo osserviamo soprattutto in Compton e fotoelettrico. L'effetto Compton e l'effetto fotoelettrico sono proporzionali alla densità. Tutte queste interazioni tranne la produzione di coppie giocano dei ruoli in radiologia diagnostica e in medicina.
se∞ − μ(x)dx∫N = N ∫ σ(E)e dE0 0
COEFFICIENTE DI ATTENUAZIONE MASSICO
Sappiamo che: μ N μ Na a( )σ ( )= e = (ϕ + Z σ + τ )fotoni e c pairρ A ρ A
Dalla seconda scrittura: μ μ μ(P)= + (C)ρ ρ ρ
È determinato dalla composizione del mezzo e dalla qualità del fascio di raggi X.
Rispetto a quello lineare è utile perché non dipende dallo stato fisico (solido, liquido, gas) poiché non dipende dalla densità. L’attenuazione dipende dal numero atomico efficace del tessuto (cioè la media degli elementi in ogni voxel; per il muscolo è 7.4, per il grasso 6.6 e per l’osso 12) e dalla qualità del fascio (energia). cambia sensibilmente l’attenuazione; ad esempio nel polmone
La presenza di un tessuto canceroso3 3ho una densità di 0.32 g/cm e se ho presenza di carcinoma polmonare è di 1/1.5 g/cm ; possiamo vedere che ho un forte cambiamento
di densità. Il contrasto dell'immagine dipende dalla differenza di attenuazione tra i vari tessuti. Il contrasto dipende dalla differenza di densità.
PRODUZIONE DI RAGGI X
La sorgente di raggi X è un tubo a raggi X:
Abbiamo fotoni emessi per Bremsstrahlung colpiscono l'anodo che viene fatto Vengono emessi elettroni dal catodo che vengono accelerati e ruotare, di modo che non venga colpito sempre lo stesso punto che così ha possibilità di raffreddarsi. -e -e -e -e-e a alta energia -e N -e-enucleo -e a bassa energia -ecrea una lacuna elettronica: se l'elettrone viene rimosso da una shell interna e un elettrone di Siun'orbita più esterna va ad occuparla emettendo nella transizione un γ.
Se stabilisco un certo potenziale tra anodo e catodo l'elettrone avrà anergia massima pari al potenziale, cioè se la ddp è di 100kV allora l'elettrone avrà un potenziale di 100 KeV.
Ci sono due parametri che
possiamo impostare:- La corrente degli elettroni, ovvero per quanto tempo la manteniamo. Possiamo variare il tempo di emissione variando il tempo. I valori tipici sono tra 6 e 100 mAs
- L'energia massima dei fotoni emessi viene espressa tramite il voltaggio tra catodo e anodo e posso variarlo. I valori tipici sono tra i 25 e i 150 KV. Questi parametri contribuiscono all'intensità del fascio.
INTERAZIONE RAGGI X TESSUTI
Ci sono quattro possibilità:
- Il fotone viene assorbito per effetto fotoelettrico. Spariscono dal conteggio.
- Il fotone scattera con un grande angolo e non entra nel rilevatore.
- Il fotone passa senza subire interazioni.
- Scattering con piccolo angolo; rientra nel rilevatore ma con una direzione differente da quella che avrebbe dovuto avere.
L'effetto complessivo mediante il coefficiente di attenuazione μ è di attenuazione del fascio. 1/μ è il ovvero la distanza dopo la quale il fascio di γ.
si è ridotto di una quantità 1/e rispetto all'inizio. Esso varia a seconda del materiale: dallo spessore, dalla densità, dalla composizione chimica e inoltre dalle diverse possibilità di interazione alle diverse energie. L'attrito massico (μ/ρ) si porta fuori la dipendenza della densità, limitando la con il coefficiente di del fascio.
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