Derivate notevoli e regole di derivazione

Derivate notevoli

y = k   y' = 0

potenza:

y = x^m   y' = m * x^m-1

in particolare:

• y = 1 * x¹   y' = 1 * x^1-1
• y = x   y' = 1
• y = x²   y' = 2 * x
• y = x^1/2   y' = 1/2 * x^-1/2
• y = x^m   y' = m * x^m-1

logaritmo:

y = log_a x   y' = 1 / x log_a x = 1 / x log_a

• y = ln x   y' = 1 / x
• /// ln = log_e   e = 2, 71828...

esponenziale:

y = a^x   y' = a^x ln a

in particolare:

• y = e^x   y' = e^x

funzioni goniometriche

• y = sin x   y' = cos x
• y = cos x   y' = - sin x
• y = tg x   y' = 1 / cos² x = 1 + tg² x
• y = ctg x   y' = - 1 / sin² x

funzioni goniometriche inverse

• y = arcsin x   y' = 1 / √ (1-x²)
• y = arccos x   y' = - 1 / √ (1-x²)
• y = arctg x   y' = 1 / 1 + x²
• y = arcotg x   y' = - 1 / 1 + x²

Regole di derivazione:

derivata di una somma di funz:

D (k·f (x) + h·g (x))= k·f' (x) + h·g' (x)

derivata di un prodotto:

D (f (x)·g (x))= f' (x)·g (x) + f (x)·g' (x)

derivata di un rapporto:

D (f (x) / g (x))= [f' (x)·g (x) - g' (x)·f (x)] / [g (x)]²

derivata di una funzione composta:

D (g (f (x)) = g' (f (x))·f' (x)

In particolare:

• y = ln | x |   y' = 1 / x
• y = [g (x)]^m   y' = m·[g (x)]^m-1·g' (x)
• y = a^{g (x)}   y' = a^{g (x)} ln a·g' (x)
• y = e^{g (x)}   y' = e^{g (x)} g' (x)
• y = g (l g x)   y' = 2m l g (x)
• y = g^{l g (x)}   y' = g^{l g (x)}x