Definizioni Geometria

Proprietà di un sottospazio vettoriale e di un sottospazio affine

• 0 appartiene a U
• Se u1+u2 appartiene a U per qualunque u1, u2 appartenenti a U
• Se t(u) appartiene a U per qualunque t appartenente a Ke per ogni u appartenente a U

In generale possiamo dire che U è un sottospazio vettoriale se e solo se:

• U è diverso dall'insieme vuoto
• au1+bu2 appartiene a U, per ogni a appartenente a K e per ogni u1, u2 appartenenti a U

5) ... un sottospazio affine?

Un sottospazio affine di uno spazio vettoriale V è un sottoinsieme W di V della forma: W = v+W, ovvero è l'insieme delle v+w tale che w appartenga a W. W è un sottospazio vettoriale di V, mentre v è un vettore appartenente a V.

Possiamo distinguere due casi:

• V non appartiene a W, ne segue che W non è un sottospazio vettoriale
• V appartiene a W, ne segue che W è un sottospazio vettoriale

W è univocamente determinato da W, esso si chiama sottospazio di giacitura e per definizione dim W = dim W

6) ...

un'applicazione lineare? Siano V e W due spazi vettoriali su un campo K. Un'applicazione lineare è una funzione f: V → W e si dice lineare se e solo se:
af(v1) + bf(v2) = f(av1 + bv2) per qualunque a, b appartenenti al campo K e per ogni v1, v2 appartenenti allo spazio vettoriale V.

7) ... la matrice associata ad un'applicazione lineare in due basi date? Sia L: V → W un'applicazione lineare. Sia B = (v1, ..., vn) base di V e B' = (w1, ..., wm) base di W. La matrice che rappresenta (associata) L nelle basi B in partenza e B' (in arrivo) è l'unica matrice A (Mat(K)) che rende il seguente diagramma commutativo:

V
                                                                                                     &e siano B1=(v1,...,vn) e B2=(w1,...,w2) due basi dello spazio vettoriale V. La matrice B (Mat(k)) che rappresenta Id nella base B1 in partenza e B2 in arrivo si chiama matrice di cambiamento di base dalla base B2 alla base B1. La i-esima colonna di B è composta dalle coordinate di vi nella base B2. Oss: Se B=(v1,...,vn) base di K, allora la matrice di cambiamento di base dalla base canonica alla base B ha per colonne i coefficienti dei polinomi v1,...,vn. 9) ... il nucleo di un'applicazione lineare? Data f: V -> W lineare, definiamo il nucleo o kernel di f come l'insieme delle v appartenenti a V tale che f(v)=0. Il ker f è un sottospazio vettoriale di V. 10) ... l'immagine di una funzione? Data l: V -> W, definiamo l'immagine di l come l'insieme delle w che possono essere ottenute applicando l ad un vettore v appartenente a V.

appartenenti a W tale che esista una v appartenente a V tale che l(v)=w. L'immagine di f è un sottoinsieme dello spazio vettoriale W e in particolar modo se l: V → W è lineare, allora Im l è un sottospazio vettoriale di W.

11) ... il determinante? Il determinante è l'unica funzione f: Mat (K) → K la quale è nxn alternante (cambia segno quando si scambiano due righe) e multilineare (lineare in ogni sua variabile) sulle righe tale che rispetta queste proprietà:

• det(Pij A) = -det(A)
• det(Di (α)A) = αdet(A) α K∈
• det(Fij (α)A) = det(A)
• det(1n) = 1

12) ... un prodotto scalare? Dato uno spazio vettoriale reale V, un prodotto scalare su V è una forma bilineare simmetrica definita positiva. S: VxV → R è un prodotto scalare tale che:

• S è bilineare
• S è simmetrica
• S è definita positiva
• S è non-degenere ovvero ker s=0

13) ...