Definizioni Geometria

Che cos’è Rⁿ?

Rⁿ è per definizione una matrice n x 1 ovvero si definisce come l’insieme delle (X₁, X₂, …, X_N) tale che X₁, X₂, …, X_N appartengano ai reali. È l’insieme delle n-uple ordinate di numeri reali scritti in colonna (è uno spazio vettoriale).¹ Oss: le n-uple sono ordinate ovvero (1, 2) (2, 1) in R.

Spazio vettoriale su un campo K

Uno spazio vettoriale su un campo K è una tripla composta da un insieme V, un’operazione somma: V x V (v₁, v₂) → V: v₁ + v₂ ed un prodotto per scalari: K x V (c, v) → V: cv.

Uno spazio vettoriale ha le seguenti proprietà:

• (v₁ + v₂) + v₃ = v₁ + (v₂ + v₃)
• Esiste 0 tale che v + 0 = 0 + v = v
• Per qualunque v, w appartenente a V abbiamo che v + w = w + v = 0
• v₁ + v₂ = v₂ + v₁
• (a + b)v = av + bv
• (ab)v = a(bv)
• a(v₁ + v₂) = av₁ + av₂
• 1v = v

Dimensione di uno spazio vettoriale

La dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità di una sua base e si denota con dim V (tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità).

Sottospazio vettoriale

Un sottoinsieme U si dice sottospazio vettoriale se:

• 0 appartiene a U
• Se u₁ + u₂ appartiene a U per qualunque u₁, u₂ appartenenti a U
• Se t(u) appartiene a U per qualunque t appartenente a K e per ogni u appartenente a U

In generale possiamo dire che U è un sottospazio vettoriale se e solo se:

• U è diverso dall’insieme vuoto
• au₁ + bu₂ appartiene a U, per ogni a, b appartenente a K e per ogni u₁, u₂ appartenenti a U

Sottospazio affine

Un sottospazio affine di uno spazio vettoriale V è un sottoinsieme W di V della forma: W = v + W₀, ovvero è l’insieme delle v + w tale che w appartenga a W₀. W₀ è un sottospazio vettoriale di V, mentre v è un vettore appartenente a V.

Possiamo distinguere due casi:

• V non appartiene a W₀, ne segue che W non è un sottospazio vettoriale
• V appartiene a W₀, ne segue che W è un sottospazio vettoriale

W è univocamente determinato da W₀, esso si chiama sottospazio di giacitura e per definizione dim W = dim W₀.

Applicazione lineare

Siano V e W due spazi vettoriali su un campo K. Un’applicazione lineare è una funzione f: V → W e si dice lineare se e solo se: f(av₁ + bv₂) = af(v₁) + bf(v₂) per qualunque a, b appartenenti al campo K e per ogni v₁, v₂ appartenenti allo spazio vettoriale V.