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Derivabilità e punti di non derivabilità
Sia + che - con ∆x + ∆x che cade nell'intervallo della funzione. La quantità ∆f = f(x +∆x) - f(x) è l'incremento della funzione corrispondente a ∆x. Il rapporto ∆f / ∆x = (f(x + ∆x) - f(x))/ ∆x è detto rapporto incrementale. Se il limite del rapporto incrementale (con ∆x → 0) esiste ed è finito, la funzione si dice derivabile in x.
Punti di non derivabilità:
- Punto angoloso: se esiste sia la derivata dx che sx e sono diverse tra loro.
- Cuspide: Se i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono infiniti e di segno opposto.
- Flesso a tg verticale: Se i limiti destro e sinistro sono infiniti e di segno uguale.
Teorema di Fermat: Sia f: ℝ → ℝ e sia x0 un punto di massimo o di minimo relativo interno a f. Se f è derivabile f'(x0) = 0.
DIM: Supponiamo che x0 sia un punto di massimo relativo interno. Allora esiste un intorno completo U(x0) di x0 tale che per ogni x ∈ U(x0) si ha f(x) ≤ f(x0).
È0 tale che ò(ò) ≤ ò(ò0). Ciò significa che ò(ò0 + ℎ) ≤ ò(ò0) ∀ℎ ∈ ℝ òℎò ò0 + ℎ ∈ ₀ (ò(ò0 + ℎ) − ò(ò0))/ℎ ≤ 0 quando ℎ > 0 e (ò(ò0 + ℎ) − ò(ò0))/ ℎ ≥ 0 quando ℎ < 0. Siccome la f è derivabile in ò0, per teorema della permanenza del segno si ha ò' (ò0)= lim ℎ→0+ ò(ò0+ ℎ) − ò(ò0) /ℎ ≤ 0 e per ℎ→0− ≥ 0. La derivata dovrà essere contemporaneamente ≤ 0 e ≥ 0. Ciò è possibile solo se ò' (ò0 ) = 0. Analogamente si dimostra con ò0 un punto di min relativo interno.
Teorema di Rolle: Se ò(ò) è continua in [ò, ò], derivabile in (ò, ò) con ò(ò) = ò(ò), allora esiste almeno un ò ∈ (ò, ò) tale che ò' (ò) = 0.
DIM: La funzione è continua nell'insieme chiuso e limitato e, per il teorema di Weierstrass, ha
max e min assoluti. Nel caso banale che questi si trovano agli estremi dell'intervallo, la funzione è costante e quindi ha derivata sempre nulla. Se almeno uno dei due è interno ed è raggiunto per una certa ascissa x, poiché la funzione è derivabile, il teorema di Fermat ci garantisce che f'(x) = 0. Geometricamente esiste in (x, x) almeno un punto in cui la retta tangente è orizzontale. Teorema di Lagrange: Se f(x) è continua e derivabile allora esiste almeno un c ∈ (a, b) tale che f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a). DIM: Consideriamo una funzione ausiliaria h(x) = f(x) - kx. Le prime due ipotesi del teorema di Rolle sono verificate per h, la terza h'(c) = 0 con c ∈ (a, b) e h(a) = h(b). Con h(a) = f(a) - ka e h(b) = f(b) - kb. Quindi f(a) - ka = f(b) - kb. k(b - a) = f(b) - f(a) e k = (f(b) - f(a))/(b - a), quindi h(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x. Per il teorema di Rolleh’(c)=f’(x)-k quindi .� ′ (�) = �(�) − �(�)/ � – �
Geometricamente esiste una retta secante da a in b dove il coefficiente angolare è proprio questo rapporto
Teorema di Cauchy: Se � � � sono due funzioni continue e derivabili allora esiste almeno un � ∈ (�, �) tale che [�(�) − �(�)]� ′ (�) = [�(�) − �(�)]� ′ (�).
DIM: �(�) −�(�)/ �(�) − �(�)= � ′ (�) /� ′ (�) si moltiplica per b-a e si ottiene al numeratore e al denominatore proprio il teorema di Lagrange. Quindi queste 2 funzioni possono assumere come valore proprio � ′ (�) *� ′ (�).
Teorema di de l’Hôpital: Siano �(�) � �(�) due funzioni definite nell’intorno � di un punto �0, derivabili in � − {�0} e � ′ (�) ≠ 0 ∀� ≠ �0. Sia inoltre ����→�0�(�)=����→�0
�(�)=0 oppure ����→�0 |�(�)|=����→�0 |�(�)|= ∞. In questeipotesi se ����→�0 �′(�)/ �′(�)=� esiste anche il limite del rapporto delle funzioni e siha ����→�0 �(�) �(�) = �. Il teorema si estende anche al caso � → ±∞b∫ (x)dxfDiremo che � è integrabile secondo Riemann se ����� = ����� = aTeorema della Media Integrale: Sia �:[�, �] → ℝ integrabile secondo Riemann, allorab∫ (x)f dx����(�)∙(� − �)≤ ≤ ����(�) ∙ (� − �). Se � è anche continua, esiste un � ∈a
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