Analisi Matematica -Definizioni e Dimostrazioni fondamentali

Teorema di unicità del limite

Se il limite di una funzione in un punto esiste, esso è unico.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che lim x→x₀ f(x) = L₁ e lim x→x₀ f(x) = L₂. Sia L₁ < L₂ e scegliamo ε < (L₂ − L₁)/2.

Dalla definizione di limite abbiamo che |f(x) − L₁| < ε ∀x ∈ U(x₀, δ₁) e |f(x) − L₂| < ε ∀x ∈ U(x₀, δ₂).

Abbiamo quindi:

• L₁ − ε < f(x) < L₁ + ε
• L₂ − ε < f(x) < L₂ + ε

Questo implica L₂ − L₁ < 2ε, che è una contraddizione. Pertanto, il limite è unico.

Teorema della permanenza del segno

Se lim x→x₀ f(x) = L ≠ 0, allora la funzione è localmente concorde con il limite.

Dimostrazione

Se lim x→x₀ f(x) = L, allora L − ε < f(x) < L + ε ∀x ∈ U(x₀, δ).

Scegliamo ε = |L| ottenendo L − |L| < f(x) < L + |L|. Se L > 0, allora 0 < f(x) < 2L e la funzione è positiva. Se L < 0, allora 2L < f(x) < 0.

Teorema del confronto (carabinieri)

Se g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) e lim x→x₀ g(x) = lim x→x₀ h(x) = L, allora anche lim x→x₀ f(x) = L.

Dimostrazione

Dalla definizione di limite si ha che |g(x) − L| < ε e |h(x) − L| < ε. Considerando l'intorno intersezione possiamo scrivere L − ε < g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) < L + ε, quindi L − ε < f(x) < L + ε. Pertanto, lim x→x₀ f(x) = L.

Teorema degli zeri (Bolzano)

Sia f:[a, b] → ℝ continua. Se f(a)·f(b) < 0, allora esiste almeno un x₀ ∈ (a, b) tale che f(x₀) = 0.

Dimostrazione

Supponiamo f(a) < 0 e f(b) > 0 e per assurdo che f(x) ≠ 0 ∀x ∈ [a, b], e consideriamo l'insieme A = {x ∈ [a, b]: f(x) < 0}.

Sicuramente A ≠ ∅ poiché contiene almeno a. Inoltre, è limitato superiormente e ci sarà un sup A = x₀ < b. Certamente f(x₀) ≠ 0 poiché f(x) ≠ 0 ∀x ∈ [a, b]. Se f(x₀) < 0, per la permanenza del segno ∃ε > 0 t.c. ∀x ∈ U(x₀, ε) si ha f(x) < 0. Quindi in (x₀, x₀ + ε) si ha f(x) < 0, e vuol dire che x₀ non è un maggiorante. Se f(x₀) > 0, sempre per la permanenza del segno...