Definizioni Analisi 1

Definizioni analisi

I numeri e le funzioni reali

1. Gli assiomi dei numeri reali e le loro principali conseguenze

Assiomi algebrici: Sono definite in R due operazioni binarie interne, somma a+b e prodotto a*b, soddisfacenti le seguenti proprietà.

Assiomi d'ordine: È definita in R una relazione tra coppie di numeri reali, denotata con ≤ e detta minore o uguale, soddisfacente alle seguenti proprietà:

Assioma di completezza: Per ogni coppia di insiemi A, B sottoinsiemi di R non vuoti tali che a ≤ b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B, esiste c ∈ R, detto elemento separatore, tale che a ≤ c ≤ b (L'elemento separatore è l'integrale).

2. Cenni di teoria degli insiemi

...

3. Numeri naturali, interi, razionali

Numeri naturali: N = {1, 2, 3, ...}

Numeri interi: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Numeri razionali: Q = {p/q | p ∈ Z e q ∈ N} dove si considerano identificate nel medesimo numero razionale frazioni del tipo p/q e mp/mq con M ∈ Z \ {0}.

Valgono le conclusioni: N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R

4. Densità di Q in R

Siano x, y due numeri reali con x < y. Esiste q ∈ Q tale che x < q < y. In sintesi, Q è denso in R.

5. Funzioni elementari

Definizione: Una funzione reale f tra X e Y è una legge che fa corrispondere a ogni x ∈ X uno e un solo elemento y ∈ Y.

L'insieme X ove opera la funzione f si chiama dominio. Si dice immagine della funzione f l'insieme f(X) = {f(x) ∈ Y | x ∈ X}.

6. Funzioni invertibili, funzioni monotone, funzioni lineari, logaritmo, funzioni trigonometriche e le loro inverse, funzioni valore assoluto, funzioni potenza, esponenziale

Una funzione f: X → Y è detta iniettiva se per ogni x₁, x₂ ∈ X tali che x₁ ≠ x₂, risulta f(x₁) ≠ f(x₂) o equivalente se risulta f(x₁) = f(x₂) quindi x₁ = x₂.

È detta suriettiva se Imf = Y. È detta bijettiva se risulta iniettiva e suriettiva.

Funzione inversa: Diremo che f è monotona in X se verifica:

• Strettamente crescente: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
• Crescente: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
• Strettamente decrescente: x₁ > x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)
• Decrescente: x₁ ≥ x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)

Funzioni lineari: y = mx + q

Definizione: funzione definita da un polinomio di grado uno che sul grafico coincide con una retta.

Funzione potenza

Funzioni esponenziali

Logaritmiche

Funzioni trigonometriche

Valore assoluto

7. Proprietà di Archimede

∀ x ∈ R esiste n ∈ N tale che x < n

8. Principio di induzione

Se la condizione è vera per n, deve essere vera anche per n+1, principio induttivo.

9. Disuguaglianza di Bernoulli

(1+x)ⁿ ≥ 1+nx ∀x ≥ -1 ∀ n ∈ N

10. Numeri complessi

L'insieme C dei numeri complessi è l'insieme delle coppie ordinate (a, b) di numeri reali munito delle operazioni di somma e prodotto definite nel seguente modo:

• (a, b) + (c, d) = (a+c, c+b)
• (a, b) * (c, d) = (ac – bd, ad + bd)

Osserviamo che l'insieme dei numeri reali R è considerato sottoinsieme dell'insieme dei numeri complessi C...

11. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore

• L è maggiorante di A se L ≥ a ∀a ∈ A
• l è minorante di A se l ≤ a ∀a ∈ A
• Un insieme A è detto superiormente limitato se ammette maggiorante {a ∈ N : a > ℓ}
• Un insieme A è detto inferiormente limitato se ammette un minorante {a ∈ N : a < ℓ}
• Un insieme è limitato se è inferiormente e superiormente limitato
• L'estremo superiore è il più piccolo dei maggioranti
• L'estremo inferiore è il più grande dei minoranti
• Si dice massimo di una funzione f il più grande dei valori che essa assume
• Si dice minimo di una funzione f il più piccolo dei valori che essa assume

Successioni

12. Definizione e proprietà dei limiti di successioni

Si dice successione reale una legge che a ogni n ∈ N fa corrispondere uno e uno solo a ∈ R, dunque una successione reale è una funzione definita nell'insieme N a valori in R.

Si dice che a ∈ R è il limite della successione (a_n) per n che tende a +∞ e si scrive:

Se risulta verificata la seguente condizione:

In tal caso diremo che la successione (a_n) tende o converge al limite a ∈ R per n che tende a +∞ e scriveremo a_n → a per n → +∞...

13. Unicità del limite

Se una successione ammette limite, questo è unico.

14. Successioni limitate

Ogni successione convergente è limitata.

15. Operazioni con i limiti

...

16. Teorema della permanenza del segno

Corollari ...

1. 2. allora a ≥ b

17. Teorema dei carabinieri

Siano {a_n}, {b_n} {c_n} tali che a_n → a, b_n → a ∀ n ∈ N, e a_n ≤ b_n ≤ c_n, allora b_n → a.

18. Teorema del confronto per limiti infiniti

...

19. Teorema del limite del prodotto di una successione limitata per un infinitesima

Se {a_n} è una successione limitata e {b_n} è infinitesima allora {a_n * b_n} è infinitesima.

20. Successioni monotone

Una successione si dice monotona se è:

• Crescente o strettamente crescente
• Decrescente o strettamente decrescente

21. Teorema di regolarità delle successioni monotone

Se una successione {a_n} è monotona allora ammette limite.

Se una successione {a_n} è monotona e ammette limite, a è convergente (ammette un limite finito).

22. Il numero di Nepero e la disuguaglianza di Nepero

Disuguaglianza di Nepero

23. Alcuni limiti notevoli di successioni

(Formulario)

24. Criterio del rapporto per successioni

...

25. Criterio della radice n

Sia {a_n} : a_n ≥ 0 ∀n ∈ N ed esiste l = lim √a_n