Definizioni Analisi 1

M

47. Terzo teorema dei valori intermedi

Sia f(x) funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b]. Allora f(X)

assume tutti i valori compresi tra min f(x) e max f(x), appartenenti ad [a,b]

48. Teorema sulla continuità delle funzioni monotone

Si f(s) funzione crescente (risp. Decrescente) nell’intervallo [a,b] allora f(x) e

continua se e solo se f[(a,b)] = [f(a), f(b)].

49. Teorema di invertibilità delle funzioni continue (dim…)

Si f(x) funzione continua nell’intervallo [a,b]. Allora f(x) è iniettiva in [a,b] se e

solo se f(x) e strettamente monotona in [a,b].

50. Teorema della continuità della funzione inversa (dim…) -1

Sia f(x) funzione continua e iniettiva ni [a,b]. Allora la funzione inversa f (x) è

funzione continua nell’intervallo di estremi f(a) e f(b).

Calcolo differenziale

51. Definizione di derivata, derivata destra, derivata sinistra

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo aperto I ⊆ R. Si dice che f(x) è

derivabile nel punto x0 ϵ I se esiste finito il limite per x x0 del rapporto



( )

( )

f x ⎯ f x 0

incrementale . tale limite verrà detto derivata di f(x) nel punto x0

x⎯x 0 df

denotato con f ’(x0) o alternativamente con i simboli D f (x0) o (x0):

dx

Sia f(x) funzione definita in un intervallo aperto I e sia x0 ϵ I. Diremo derivata

destra di f(x) in x0 il limite, se esiste finito,

E denoteremo tale limite con f ‘ (x0). Diremo derivata sinistra fi f(x) in x0 i

+

limite, se esiste finito,

E denoteremo il limite con f ’_ (x0).

52. Significato geometrico della derivata, retta tangente.

Possiamo pensare alla derivata con a una misura della pendenza del grafico di

f(x) nel punto Po. (spiegazione

libro)

53. Legame tra derivabilità e continuità (dim…)

Teorema sulla continuità delle funzioni derivabili:

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo aperto I ⊆ ℝ e derivabile nel punto

x0 ϵ I. Allora f(x) è continua in x0.

54. Definizione di funzione differenziale e teorema del differenziale (dim…)

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo aperto I ⊆ ℝ, si dice f(x) che è

differenziabile nel punto x0 ∈ I se esiste una costante A ∈ ℝ tale che:

Il precedente risultato prova dunque che ogni funzione derivabile risulta

differenziabile e viceversa

Teorema del differenziale:

Una funzione f(x) definita in un intervallo aperto I ⊆ ℝ è derivabile in x0 con

f’(x0) = A se e solo se f(x) = f(x0) + A(x - x0) + o(x-x0) per x→x0

55. Formula degli incrementi finiti

Osserviamo inoltre che dal precedente teorema, se f(x) è derivabile in x0 vale la

seguente formule detta “formula degli incrementi finiti”:

Tale formula può essere letta dicendo che il polinomio P(x) = f(x0)+ f ’(x0)(x -

x0), che ha per grafico la retta tangente al grafico di f(x) in x0, approssima f(x) a

meno di un errore trascurabile rispetto a x⎯x0 per x→x0. Inoltre dal teorema del

differenziale abbiamo che P(x) è l’unico polinomio di grado minore o uguale a 1

con P(x0) = f(x0) che approssima f(x) a meno di un errore trascurabile rispetto a

x⎯x0.

56. Operazioni con le derivate (dim…)

57. Proprietà di linearità della derivata.

Ogni funzione lineare f(x) = ax + b è sia concava che convessa in ℝ , f(x)

coincide con la sua retta tangente in ogni punto. Viceversa è immediato che ogni

funzione sia concava che convessa in un intervallo aperto I è funzione lineare su

I.

(…)

58. Punti di non derivabilità

I punti di non derivabilità di una funzione sono i punti del dominio in cui non è

definita la derivata della funzione, e possono essere di tre tipi: punto angoloso,

punto di cuspide, punto di flesso a tangente verticale.

In generale, data una funzione f(x) continua in x0, diremo che x0 è un punto

angoloso per f(x) se esistono f ‘ (x0) ma sono diverse.

±

In generale data una funzione f(x) continua in x0, diremo che x0 è una cuspide

per f(x) se esistono limiti

Ma sono infiniti di segno discorde.

Data una funzione f(x) continua in x0, diremo che x0 è un punto a tangente

verticale per f(x) se esiste il limite

Ma è infinito.

59. Teorema derivazione di una funzione composta (dim…)

Sia f(x) derivabile in x0 e sia g(y) derivabile in f(x0) allora g(f(x)) è derivabile e

(g(f))’ (x0) = g’ (f(x0)) ∙ f ’(x0)

60. Teorema di derivazione delle funzioni inverse (dim…)

Sia f(x) continua e strettamente monotona in [a,b] . Se f(x) è derivabile in y0 =

f(x0) e ¿

x 0

⎯1

(f (y0))’ = ( ¿)

1

61. Derivate delle funzioni elementari (formulario)

62. Massimi e minimi relativi, punti di massimo e punti di minimo relativi

Si x0 ∈ domf

Diremo che x0 è un punto di massimo relativo per f se esiste Iδ (x0) tale che

∀x ∈ domf ∩ Iδ(x0) f(x) ≤ f(x0)

f(x0) è detto massimo relativo

Minimo relativo invece se f(x0) ≤ f(x0)

63. Definizione del punto critico o stazionario

Sia x0 ∈ domf | f ‘(x0) = 0

Allora x0 è punto critico per f.

64. Teorema di Fermat (dim…)

Sia f definita in [a,b] e sia x0 un punto o minimo relativo per f interno ad [a,b]. se

f è derivabile in x0, allora f ‘ (x0) = 0

65. Teorema di Rolle (dim…)

Sia f ∈ ([a,b]) e derivabile in (a,b). Se f(a)=f(b) allora ∃ x0 ∈ (a,b) | f ‘ (x0) = 0

66. Teorema di Lagrange (dim…) e corollario (dim…)

Sia f continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora ∃ x0 ∈ (a,b) | f ‘ (x0) =

( ) ( )

f b ⎯ f a

b⎯a

Corollario:

Sia x0 ∈ (a,b), f continua in (a,b) e derivabile in (a,b) \ {x0} tale che esiste

' ( )=l∈

lim f x R ∪ {±∞}

x→x 0

Se l ∈ ℝ allora f è derivabile in x0 e f ‘(x0) = l

Se l=±∞ allora f non è derivabile in x0

67. Teorema di Couchy (dim…)

Siano f, g continue in [a,b] e derivabili in (a,b) e tale che g’(x)≠0

∀ x ∈ (a,b) tc '

( ) ( ) (

f b ⎯ f a f x 0)

=

( ) ( ) (x

g ' 0)

g b ⎯ g a

68. Criterio di monotonia (dim)

Sia f continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora

1) f ’(x)≥0 ∀ x ∈ (a,b) <=> f crescente in [a,b]

2) f ’(x)≤0 ∀ x ∈ (a,b) <=> f decrescente in [a,b]

69. Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo (dim…)

Una funzione f(x) è costante in [a,b] se e solo se è continua in [a,b], derivabile in

(a,b) e f ‘(x) = 0 per ogni x ∈ (a,b).

70. Definizione funzione concava, convessa e criterio di convessità (dim…)

Si f(x) funzione derivabile in un intervallo aperto I ⊆ ℝ. Diremo che f(x) è

funzione convessa in I se per ogni x0 ∈ I risulta:

f(x)≥f(x0) + f ‘(x0)(x⎯x0), per ogni x ∈ I

Diremo invece che f(x) è funzione concava in I se ⎯f(x) è funzione convessa

ovvero se per ogni x0 ∈ I risulta

f(x)≤f(x0) + f ‘(x0)(x⎯x0), per ogni x ∈ I

Criterio di convessità

Sia f(x) funzione derivabile nell’intervallo aperto I ⊆ ℝ. Allora f(x) è convessa in I

se e solo se f ’(x) è crescente in I

71. Studio di funzione ?

72. Teorema di l’Hopital (dim…)

73. Teorema di Taylor con resto di Peano (dim…)

Per ogni n ∈ N, se f(x) è derivabile n⎯volte in x0 ∈ (a,b) allora il polinomio di

grado minore o uguale ad n

Detto polinomio di Taylor di ordine n centrato in x0, approssima f(x) a meno di un

n

errore trascurabile rispetto a (x ⎯ x0) per x → x0:

74. Formula di Taylor con il resto di Lagrange

75. Formula di Taylor per il calcolo dei limiti ?

Funzione integrabili

76. Integrale di Riemann

Data una funzione f(x) limitata e non negativa in un intervallo [a,b] ⊂ ℝ. Una

partizione P di [a,b] è un insieme ordinato di (n+1) punti, n ∈ N

a = x <x <x <…<x ⎯1<x = b

0 1 2 n n

P = {a,b} = {x0, x1, x2, … , xn} [x , x ] k ∈ {1,…,n}

k⎯1 k

m = inf {f(x) : x ∈ [x , x ]}

k k⎯1 k

M = sup {f(x) : x ∈ [x , x ]}

k k⎯1 k

m ≤ M ∀ k ∈ {1, … , n}

k k

m , M ∈ ℝ ∀ k ∈ {1, … , n}

k k n

∑ (x )

m ⎯ x

s(P) = k k k ⎯ 1

k=1

77. Criterio di integrabilità (dim…)

Una funzione limitata f(x) in [a,b] è Riemann integrabile in [a,b] ∀ ℇ > 0 ∃ P



partizione di [a,b] tc S(p)⎯s(P) < ℇ

78. Criterio di integrabilità sulle funzioni monotone (dim…)

Se f(x) è monotona in [a,b] allora f è Riemann integrabile in [a,b] ⎯⎯⎯> f(x) ∈

R([a,b])

79. Definizione di funzione uniformemente continua

Si I ⊆ ℝ . Diremo che f : I → ℝ

È uniformemente continua in I se ∀ ℇ > 0

∃ δ = δ(ℇ) > 0 : |f(x)⎯f(y)| < ℇ

80. Teorema di Cantor

f(x) continua in [a,b] => f ∈ vc ([a,b])

2

x ∈ C( ℝ )

2 2

x ∈ C([a,b]) => x ∈ vc ([a,b])

[a,b] ⊂ ℝ

81. Integrabilità delle funzioni continue (dim…)

f ∈ C([a,b]) => f ∈ R([a,b])

82. Proprietà elementari dell’ integrale di Riemann

83. Teorema della continuità della funzione integrale (dim…)

Sia f(x) ∈ R([a,b]) => F ∈ C ([a,b])

84. Teorema della media integrale (dim…) b

1 ∫ ( )

f x dx

Sia f(x) ∈ C([a,b]) allora ∃ x0 ∈ [a,b] tc f(x0) = b ⎯a a

85. Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim)

xb

∫ ( )

f t dt

Sia f ∈ C([a,b]). Allora F(x) = è

a

Derivabile e F’(x) = f(x) ∀x ∈ (a,b)

86. Integrali indefiniti

Data una funzione continua f(x) nell’intervallo [a,b], si dice integrale indefinito di

f(x) in [a,b] l’insieme di tutte le primitive di f(x) in [a,b]. indicheremo tale

insieme con il simbolo

87. Principali metodi di integrazione: decomposizione di somma, integrazione delle

funzioni razionali, interazione per parti, integrazione per sostituzione (…)

Integrali impropri

88. Integrali impropri su domini limitati: definizioni

Data una funzione continua f(x) in [a,b), diciamo integrale improprio di f(x) in

[a,b) il limite, se esiste

c

∫

−¿ ( )

c→b f x dx

a ¿

lim

¿

89. Criterio del confronto (dim…)

Siano f(x) e g(x) funzione continue nell’intervallo [a,b) tali che

0≤