Definizioni Analisi II

DEFINIZIONI

ℝⁿ è l'insieme di n numeri reali: x₁, ..., x_n

ℝⁿ = {x = (₁, ..., x_n) | x_i ∈ ℝ ∀ i = 1, ..., n}

PRODOTTO SCALARE

Dati x, y ∈ ℝⁿ definiamo il prodotto scalare in ℝⁿ come <x, y> = x₁y₁ + ... + x_ny_n

∀x, y, z ∈ ℝⁿ e z ∈ ℝ si ha

• linearità <2x + uy, z> = 2<x, z> + u<y, z>
• simmetria <x, y> = <y, x>
• semi-definito positivo <x, x> = 0

NORMA

Dato x ∈ ℝⁿ definiamo la sua norma come||x|| = √<x, x> = √(x₁² + ... + x_n²)

DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY-SCHWARZ

∀x, y ∈ ℝⁿ si ha

|<x, y>| ≤ ||x|| ||y||

VETTORI ORTOGONALI

Dati x, y ∈ ℝⁿ diciamo che x è ortogonalea y, detto x ⊥ y, se <x, y> = 0

SOMMA DI MATRICI

Date due matrici A = (a_ij) e B = (b_ij)entrambe m x n, la matrice somma che chiamiamoC = A + B è una matrice d'elementi (c_ij)di ordine m x n, definita c_ij = a_ij + b_ijovvero sommo elemento per elemento.

• Due matrici si possono sommare solo sehanno le stesse dimensioni.

proprietà "somma"

- commutativa

A + B = B + A

∀ A, B ∈ ℜ_n,m (ℝ)

- associativa (A + B) + C = A + (B + C)

∀ A, B, C ∈ ℜ_n,m (ℝ)

• prodotto matrice e numero

siano 2 ∈ ℝ e A ∈ ℜ_m,n (ℝ)

il prodotto della matrice A per 2 è

la matrice che denotiamo con 2A ∈ ℜ_m,n (ℝ),

che ha come elementi 2A = (2a_i,j)

ovvero si moltiplicano tutti gli elementi

di A per 2

• matrice riga

ha una sola riga

(a_1,1, a_1,2, ..., a_1,n)

• matrice colonna

ha una sola colonna

(a_1,1)

(a_2,1)

(a_m,1)

• matrice quadrata

A ∈ ℜ_m,m (ℝ) cioè m = n

- presenta una diagonale principale

- si dice triangolare se tutti gli elementi sotto la

diagonale principale sono nulli

• matrice identità

matrice quadrata avente 1 sulla diagonale

e 0 altrimenti

• matrice simmetrica

matrice quadrata che soddisfa la proprietà

a_i,j = a_j,i ∀ i, j

Teorema di unicità della matrice inversa

Sia A ∈ M_m,m(ℝ) invertibile

⇒ l'inversa è unica

Sia A ∈ M_m,m(ℝ)

calcolare la sua inversa significa cercare X ∈ M_m,m(ℝ) tale che A·X = I

Teorema

Una matrice A ∈ M_m,m(ℝ) è invertibile ⇔ A è non singolare

- essendo A invertibile ⇒ esiste A^-1

- ∀ b ∈ ℝⁿ

A·x = b ha soluzione unica

Spazio vettoriale

Un insieme V si dice spazio vettoriale se in V sono definite due operazioni:

• somma - ∀ u,v ∈ V si ha che u+v ∈ V
• prodotto per uno scalare - ∀ α ∈ ℝ, ∀ v ∈ V si ha che αv ∈ V

in modo che siano verificate le seguenti proprietà:

• proprietà dell’operazione somma
• proprietà dell’operazione di prodotto per uno scalare

* vedi fogli appunti prof

Rango

Si definisce rango di un'applicazione lineare T: V → W la dimensione dell'immagine di T.rg (T) = dim Im (T)

Rango di una matrice

Sia A ∈ M_m,n(ℝ) e L_A l'applicazione lineare indotta da A.Il rango di L_A coincide con la dimensione dello spazio vettoriale generato dalle colonne di A.rg (L_A) = dim Span {A¹, ..., Aⁿ}

dove Aⁱ è la i-esima colonna di A.rg (L_A) è chiamato rango della matrice A.

• rg (L_A) è il massimo numero di colonne o di righe di A che sono linearmente indipendenti.

Teorema della dimensione o di nullità più rango

Sia T: V → W un'applicazione lineare⇒ dim (V) = dim Ker (T) + rg (T)e dim Im (T) = rg (T) = dim (V) - dim Ker (T)

Teorema di struttura dell'insieme delle soluzioni di sistemi lineari

Siano A ∈ M_m,n(ℝ) e b ∈ ℝ^mSupponiamo esista V_p ∈ ℝⁿ soluzione del sistema A∙x = b⇒ le soluzioni del sistema A∙x = b sono tutti e soli i vettori della forma V = V_p + V_o dove V_o è una generica soluzione del sistema omogeneo associato (A∙x = 0)

(V_p è soluzione particolare)

*oss. su appunti

• cofattore o complemento algebrico di a_ij e' il numero (-1)^i+j det A_ij
• Formula di Laplace

  s_ij ∈ M_n,n (IR)

  ∀ i, s=1, ..., n sia A_i^s: la matrice ottenuta da A eliminando la i-esima hμηda e la s-esima colonna

  ⇒ ∀ i=1, ..., n lo sviluppo di Laplace per la i-esima riga e det A = ∑ⁿ_s=1 (-1)^i+s a_is det A_i^s

  ∀ s=j, ..., n lo sviluppo di Laplace per la s-esima colonna e' det A = ∑ⁿ_j=1 (-1)^i+s a_is det A_ij

• Determinante e invertibilita'

  A ∈ M_n,n (IR) e' invertibile se e solo se il det(A) ≠ 0 (ovvero A e' non singolare).

  Se A e' invertibile si ha che det (A^-1) = ¹/_det(A)

• Teorema di Binet

  Siano A, B ∈ M_n,n (IR) => det (A · B) = det (A) · det (B)

• Matrice trasposta

  Data A ∈ M_m,n (IR) con elementi a_ij chiamiamo matrice trasposta e la indichiamo con A^T la matrice A^T ∈ M_n,m (IR) con elementi a_ji:

  • ∀ A ∈ M_m,n (IR) se faccio (A^T)^T = A
  • (A · B)^T = B^T · A^T
  • Se A ∈ M_n,n (IR) => det (A^T) = det (A)
  • (A^T)^-1 = (A^-1)^T

Matrici Simmetriche

Una matrice A ∈ M_n,n(ℝ) si dice simmetrica se A = A^T.

Matrici Ortogonali

Una matrice quadrata A ∈ M_n,n(ℝ) si dice ortogonale se è invertibile e la sua inversa coincide con la trasposta.

Base Ortogonale e Ortonormale

Sia V₁, ..., V_n una base di ℝⁿ. Si dice base ortogonale di ℝⁿ se:

• <V_i, V_j> = 0   ∀ i ≠ j

Si dice ortonormale se è ortogonale e

• ‖V_i‖ = 1   ∀ i = 1, ..., n

Teorema sulle Matrici Ortogonali

1. Una matrice quadrata A ∈ M_n,n(ℝ) è ortogonale se e solo se le sue colonne e le sue righe sono una base ortonormale di ℝⁿ.
2. Se A ∈ M_n,n(ℝ) è ortogonale ⇒ ‖A · V\Vert; = ‖V‖   ∀ V ∈ ℝⁿ

Teorema Spettrale

Sia A ∈ M_n,n(ℝ).

1. Se A è simmetrica ⇒ tutti i suoi autovalori sono reali.
2. A è simmetrica ⇔ A è diagonalizzabile con matrice diagonalizzante ortogonale

A = A^T ⇔ ∃ B con B^-1 = B^T : B^TAB = B^-1AB = Λ

3. A è simmetrica ⇔ i suoi autovettori formano una base ortonormale di ℝⁿ