Definizioni Analisi II

DEFINIZIONI

ℝⁿ è l'insieme di n numeri reali x₁, ..., xₙ

• ℝⁿ = { x = ( x₁ ) xₙ | xᵢ ∈ ℝ ∀ i=1,...,n }

• PRODOTTO SCALARE

  dati x, y ∈ ℝⁿ definiamo il prodotto scalare in ℝⁿ come <x, y> = x₁y₁ + ... + xₙyₙ
  • ∀ x, y, z ∈ ℝⁿ e ∀ λ, μ ∈ ℝ si ha
  • linearità < λx + μy, z > = λ<x, z> + μ<y, z>
  • simmetria <x, y> = <y, x>
  • semi-definito positivo <x, x> ≥ 0

• NORMA

  dato x ∈ ℝⁿ definiamo la sua norma come ||x|| = √<x, x> = √x₁² + ... + xₙ²

• DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY-SCHWARZ

  ∀ x, y ∈ ℝⁿ si ha | <x, y> | ≤ ||x|| ||y||

• VETTORI ORTOGONALI

  dati x, y ∈ ℝⁿ diciamo che x è ortogonale a y, denotato x ⊥ y, se <x, y> = 0

• SOMMA DI MATRICI

  date due matrici A=(aᵢⱼ) e B=(bᵢⱼ) entrambe m×n la matrice somma che indichiamo C=A+B è una matrice di elementi C=(cᵢⱼ) di ordine m×n definita cᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ ovvero sommo elemento per elemento.
  • due matrici si possono sommare solo se hanno le stesse dimensioni

DEFINIZIONI

ℝⁿ è l'insieme di n numeri reali x₁,..., xₙ

ℝⁿ = {x = (x₁... xₙ) | xᵢ ∈ ℝ ∀ i = 1,..., n}

• PRODOTTO SCALARE

  dati x, y ∈ ℝⁿ definiamo il prodotto scalare in ℝⁿ come ⟨x, y⟩ = x₁y₁ + ... + xₙyₙ

  ∀ x, y, z ∈ ℝⁿ e ∀ λ, μ ∈ ℝ si ha

  • linearità ⟨x + μy, z⟩ = 2⟨x, z⟩ + μ⟨y, z⟩
  • simmetria ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩
  • semi-definito positivo ⟨x, x⟩ ≥ 0

• NORMA

  dato x ∈ ℝⁿ definiamo la sua norma come

  ||x|| = √⟨x, x⟩ = √x₁²+...+xₙ²

• DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY-SCHWARZ

  ∀ x, y ∈ ℝⁿ si ha

  |⟨x, y⟩| ≤ ||x|| ||y||

• VETTORI ORTOGONALI

  dati x, y ∈ ℝⁿ diciamo che x è ortogonale a y, dedotto x ⊥ y, se ⟨x, y⟩ > 0

• SOMMA DI MATRICI

  date due matrici A=(aᵢⱼ) e B=(bᵢⱼ) entrambe m x n la matrice somma che chiamiamo C=A+B è una matrice di elementi C=(cᵢⱼ) di ordine m x n definiti cᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ

  ovvero sommo elemento per elemento.

  -due matrici si possono sommare solo se hanno le stesse dimensioni

- Proprietà "somma"

- commutativa A + B = B + A

∀A, B ∈ M_m,n (ℝ)

- associativa (A + B) + C = (B + C) + A

∀A, B, C ∈ M_m,n (ℝ)

• Prodotto matrice e numero

siano 2 ∈ ℝ e A ∈ M_m,n (ℝ)

il prodotto della matrice A per 2 è

la matrice che indichiamo con 2A∈M_m,n (ℝ)

che ha come elementi 2A = (2a_i,j)

ovvero si moltiplicano tutti gli elementi

di A per 2

• Matrice riga

ha una sola riga (a_1,1, a_1,2, ..., a_1,n)

• Matrice colonna

ha una sola colonna

(

a_1,1

...

a_n,1

)

• Matrice quadrata

A ∈ M_m,m (ℝ) cioè m = n

• presenta una diagonale principale
• si dice triangolare se tutti gli elementi sotto la diagonale principale sono nulli

• Matrice identità

matrice quadrata avente 1 sulla diagonale

e 0 altrimenti

• Matrice simmetrica

matrice quadrata che soddisfa la proprietà

a_i,j = a_j,i ∀ i, j

Prodotto di matrici

siano _{A = (aik) ∈ ℳm,n(ℝ)} e _{B = (bks) ∈ ℳn,p(ℝ)}

il prodotto _{C = A · B} è una matrice di dimensioni m × p

_{cis = ∑k = 1ⁿ aik bks = ai1 b1s + ... + ain bns}

la moltiplicazione tra matrici quadrate non è commutativa

Proprietà:

• associativa

_{A ∈ ℳm,n(ℝ)}

_{B ∈ ℳn,p(ℝ)}

_{C ∈ ℳp,a(ℝ)}

_{A · (B · C) = (A · B) · C}

• distributiva

_{A ∈ ℳm,n(ℝ)}

_{B,C ∈ ℳn,p(ℝ)}

_{A · (B + C) = A · B}