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Vettori e grandezze vettoriali
SCALARE = grandezza che si identifica con un numero (e una unità di misura)
VETTORE = informazione geometrica, spaziale con una DIREZIONE, un VERSO e una INTENSITÀ o MODULO
Si indica con una freccia che va da A a B (AB) oppure con una lettera semplice e il modulo: |AB|, t, rappresentato come la lunghezza della freccia.
- |AB|
- t (MODULO)
+ opzionale
- |t| = |AB|
Direzione = retta su cui giace il vettore
Verso = verso identificato dalla freccia (da A a B per es.)
Vettori LIBERI e APPLICATI
I vettori APPLICATI hanno un punto di applicazione preciso NON sono uguali se traslati
I vettori LIBERI sono uguali se traslati
- ◯ vettore uscente dal foglio
- ✖ vettore entrante nel foglio
a) Prodotto di un VETTORE e uno SCALARE
Il risultato è un vettore
INTENSITA = |m|*|a|
DIREZIONE → stessa di a
VERSO → verso uguale o opposto
(s > 0 V s < 0)
Def: VERSORE
È un vettore di modulo unitario
(NORMALIZZARE IL VETTORE)
e si soffermo solo su direzione e verso
L' si ottiene moltiplicando |a| per m, in cui m = 1/|a|
per cui il modulo è pari a 1
ua = a/|a|
un vettore è uno scalare per un versore
a = mua
|a| = |m|*ua
2) Somma di VETTORI (a + b)
Il risultato è un vettore
Per la regola del parallelogramma → |c| = diagonale maggiore del parallelogramma
a + b = b + a (PROP. COMM.)
Per la regola del triangolo → vettore è vettore per punti punti adiacenti (PROP. ASSOC.)
a + (b + c) = (a + b) + c
Vettori con ∫k e v∫k non costanti
La derivata di un vettore è perpendicolare al versore stesso.
d∫/dt = ∫d∫/dt = no d∫t/dt = (a d∫/dt + d∫/dt)(v) = 0
∫2u = 0 dip = d∫t/w = lercardo = 0
Per quanto riguarda il modulo della derivata
lim Δ∫t→0 = lim Δ∫ΔT→0
ma se ∆f → 0 allora p∆ = pR = ∆∫
lim ∆∫Δt→0 = lim ∆∫O∆T→0 = lim ∆O T→0 ∫ᵢ = d∫dt vm
w = modulo
dR∆T
verso = regola delle mano destra
Piano di rot.
a ∫dt = dθdt ∫
w ✖ ∫
describe la rotazione di t nel tempo ∆T
∫/dt = dθ/dt ∫ = w ✖ ∫
✖ dθ/dt di ≆ο ≈
+ grad "u" x "i"
concetto da ricordare
NB
se x | y ⟹ vx ⋅ vy = 0
ux = ux = 1
ux ⋅ vx ≥ 0
coseno direttori
n = √(ax2 + ay2 + az2)
SOMMA
a = axux + ayuy + azuz
PROD. SCAL.
a ⋅ b = 6 termini ma 6 NULLI (ui ⋅ uj = 0)
a ⋅ b = a1 ⋅ b = (ux ⋅ ux) + (ay ⋅ by) (uy ⋅ uy) + (az ⋅ bz) (uz ⋅ uz) = axbx + ayby + azbz
INOLTRE
a⋅a = ax2 + ay2 + az2
a = √(ax2 + ay2 + az2)
I versori e basi
- Versore costante
di/dt = 0
- Versori non costanti
hanno una derivata presa da calcolo
- Versori di direzione e verso non costante
Derivate dei versori
du/dt × 1/u
vale anche per vettori
del modulo costante
du/dt = vettore
modulo
direzione
(comunque ⟂ a u
ma orientato nel
verso di rotazione
di u)
Dim intuitiva
Dim matematica
u • u = 1
prodotto scalare
d(u • u)/dt = 2u • du/dt = 0
dim membro a membro
u • du/dt = 0
u ≠ 0
du/dt ≠ 0
cosθ = 0
per α nota
delta u/delta t = m.ũ_m
Moto uniformemente accelerato
a(t) = ao (costante)
v(t2) = v(to) + ∫t₀t₂ a(t) dt = v(t₀) + ∫t₀t₂ ao dt = v(t₀) + [aot]t₀t₂
s(t2) = s(to) + ∫t₀t₂ v(t) dt
-----------------------------
- v(t) = v(to) + aot2 - aoto = v(to) - ao(to - t)
-----------------------------
sto = 0 = s(t) = so - so
a(t), vo, a
Istante nel caso to = 0 ; tf = t'
s(t) = so + ∫ot' v(t') dt'
= so + ∫ot' (vo + a t) dt = so + ∫ot' vo dt + ∫ot' a t dt = so + vot + a [1/2t²]t
! Moto uniforme
Se a = 0 → s(t) = so + vot
! Accelerazione scalare non è il modulo del vettore
Cinematica vettoriale
Def: Il vettore posizione: vettore che definisce la posizione nel tempo e nello spazio
r⃗(t) = r⃗(t)
r⃗ = OP⃗
r⃗(i) = x(t)i⃗1 + y(t)j⃗2 + z(t)k⃗1
Su componenti dell'Eq.
Parametriche del motoMoto circolare uniforme
v2 - v0 = cost
r rotot an = ω2 × r
MOTO PERIODICO (l'ampiezza è uguale a se stessa)
T = periodo = 2π / ω
frequenza ν = f = 1 / T (Hz)
[x(t) = Rcos(θt) = Rcos(θ + ωt)] [y(t) = Rsen(θt) = Rsen(θ + ωt)]
2 componenti s0(t) = s0cos(θ + ωt) sa(t) = sasen(θ + ωt)
ω0 - pulsazione nel modo armator.
CALCOLO DIMENSIONALE
F = [N] [kg] [m] [r]-2
ρ
a => N / [m---][kg][m]3 [T]2
pV - 1 / [A] [L]
pV = ma2 + g
[N] [m]3
Def: g⃗
- MODULO g
- DIREZIONE — perpendicolare al suolo
- VERSO — il basso
FP = m g⃗ = m g ū⃗
vettore repulsivo di dir. e verso uguale alla FG
si può usare su distanze laterali piccole (
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