Curve schema finale

VETTORI

Vettore: grandezza caratterizzata da un'intensità (lunghezza), una direzione (com'è orientato nello spazio) e un verso (dove punta la freccia).

Vettore algebrico: il vettore algebrico può essere definito in una dimensione arbitraria con due o tre coordinate in base alla dimensione in cui si opera.

Vettore coincidente: si dice coincidente quando ha le stesse tre caratteristiche di un altro vettore (intensità, direzione, verso).

Vettore opposto: è il vettore che va da P2 a P1 (-v).

Vettore nullo: è il vettore che ha come modulo zero, quindi non si può definire né la direzione né il verso.

Versore: tutti i vettori che hanno un modulo unitario (modulo=1). Il versore è uguale al vettore diviso per il suo modulo. I vettori che sono orientati come gli assi cartesiani prendono il nome di "i" (direzione x), "j" (direzione y), "k" (direzione z).

Modulo

si ottiene scambiando le righe con le colonne

• Matrice quadrata: si de nisce quadrata una matrice con stesso numero di righe e di colonne
• Matrice rettangolare: se il numero di righe è diverso da quello delle colonne
• Matrice simmetrica: si ha una matrice simmetrica quando c'è simmetria sulla diagonale e scambiando righe e colonne si ottiene la stessa matrice
• Matrice diagonale: se si hanno i valori solo sulla diagonale. Il resto sono 0
• Matrice identità: è una matrice diagonale in cui i valori posti sulla diagonale sono = 1
• Determinante matrice 3x3: il determinante di A si ottiene sommando i prodotti degli elementi che stanno sulle 3 diagonali principali della matrice estesa e sottraendo i prodotti degli elementi che stanno sulle 3 diagonali secondarie

Operazioni tra matrici:

• Somma e differenza tra matrici
• Prodotto tra scalare / matrice
• Prodotto tra due matrici
• Prodotto matrice / vettore

Trasformazioni

con le matrici

• Rotazione
• Scalatura
• Ri essione
• Proiezione
• Traslazione

fl fiCURVE PARAMETRICHE

• Forma cartesiana
• Forma parametrica
• Vettore direttore: l’insieme delle componenti in x,y,z che si trovano prima del parametro t o snell’equazione parametrica della retta. Per trovare il vettore direttore di una retta avendo due puntibasta sottrarre le componenti di b a quelle di a in x,y,z
• Due punti: per trovare l’equazione della retta avendo due punti appartenenti alla retta si trova il vettoredirettore (vedi sopra, parametrizzato in t) e si aggiungono le coordinate di uno dei due punti.
• Rette incidenti: due rette si intersecano se hanno un punto in comune. Per trovare il punto in comunemettere a sistema le componenti delle due curve in x,y,z parametrizzate in t e s (valori differenti)
• Perpendicolarità: due rette sono perpendicolari quando sono incidenti e il prodotto scalare dellecomponenti dei due vettori direttori è = 0
• Parallele: se esiste un

numero reale tale che d2 = λd1

Retta tangente a una curva: Il vettore derivato identifica (per ogni t), la direzione tangente alla curva.

La retta tangente ad una curva in un punto è la retta che passa per quel punto e la cui direzione coincide con il vettore derivato della curva valutato nel punto stesso.

Circonferenza: si ottiene applicando al punto P una matrice di rotazione

Ellisse: si ottiene applicando a una circonferenza di raggio unitario una matrice di scalatura non uniforme di valori a e b

Spirale di Archimede: si ottiene applicando al punto P una rotazione di un angolo teta attorno all'origine e una scalatura uniforme di un fattore proporzionale a teta

Elica cilindrica: si ottiene applicando al punto P una matrice di rotazione/traslazione

Elica conica: applicando alla forma parametrica di un elica cilindrica di raggio unitario una matrice di scalatura uniforme parametrizzata t fi