Formulario Curve e superfici per il design

TRASLAZIONE

IN 2D T

′ ′ ′

= ( , , ) →Prendiamo w=1 = ( , , 1) = ( + , + , 1)

t

I

1 0

� � � �

= � �

0 1

1

0 0

IN 3D T ′

= ( , , , ) → w=1 = ( , , , 1) = ( + , + , + , 1)

I t

1 0 0

� � � �

0 1 0

= � �

0 0 1

1

0 0 0 −

1 0 0

−

� � � �

0 1 0

−1 −1

() = � � =

= 1 → 4×4

−

0 0 1

1

0 0 0

COMPOSIZIONE in coordinate omogenee

In 2D voglio fare:

cos() − sin()

1. Una rotazione = � � =

× ×

sin() cos()

1 0 Non si può fare

0 1

2. Una traslazione = � � Coordinate

omogenee

0 0 1

Devo trovare che lavori in

× Ora posso

cos() − sin() 0 moltiplicare

�

coordinate omogenee→ = � �

sin() cos() 0

0 0 1 t

R

1 0 cos() − sin()

cos() − sin() 0

� � �

�

�

0 1

= = � �

� � �=� sin() cos()

sin() cos() 0

1

0 0 1 0 0

0 0 1

RETTE

Rette passanti per l’origine

In 2D : = �

� = = � �

In 3D : = � � = = � �

=

=

() ()

: �

= =

: �

() ()

=

()

Rette NON passanti per l’origine

′

: = � � = = � �

������⃗

: = � � = + = � � + � �

Rette passanti per due punti

������⃗ �����⃗ �����⃗ ������⃗

= − oppure = −

������⃗ ������⃗ �����⃗ ������⃗

: = � � = + = ( − ) + �����⃗

= +

()

: � �����⃗

= +

()

������⃗ ������⃗ �����⃗ �����⃗

: = � � = + = ( − ) +

Rette parallele

Due rette sono parallele se i loro vettori direzione lo sono:

∥ → ∥ → =

=

= → � � = � � �



=

Rette perpendicolari

Due rette sono perpendicolari se il prodotto scalare dei loro

vettori direzione è =0:

⊥ → ∙ =0

∙ = 0 → � + = 0

� ∙ � � = 0 →

Punto di intersezione tra due rette

Esempio: 1

= �

= + 2 = 1 + + 2 = 1 + 3

t s �

: � : � troviamo ed → →�

= 3 = 1 4

3 = 1 = �

3

Sostituiamo: 1 7 4 7

= � + 2

= + 2 = 1 +

= � = 1 + � = �

3 3 3 3

� →� →� oppure � →� →�

= 3 = 1

3(1 = 1 = 1 = 1

= � )

3

Esistono 3 soluzioni possibili:

• Sistema possibile: 1 soluzione, troviamo il p.to di intersezione.

• Sistema indeterminato: in�inite le soluzioni, le rette sono coincidenti.

• Sistema impossibile: non si sono soluzioni, le rette sono parallele

-IN 3D: le rette possono non essere parallele e non avere punti in comune, rette SGHEMBE.

CURVE PARAMETRICHE

CIRCONFERENZA

Circonferenza con centro nell’origine

Il punto P= (r, 0) subisce una trasformazione di rotazione.

cos() − sin()

�����⃗

la applico al vettore

= � � = � �

0

sin() cos()

cos() − sin() cos()

�� � = � �

� 0

sin() cos() sin()

= cos()

� 0 ≤ ≤ 2

= sin()

Circonferenza di centro C

�����⃗

= � �

�����⃗

= cos() +

� 0 ≤ ≤ 2

= sin() +

Circonferenza in 3D

Circonferenza nel piano xz (Centro in O)

cos() 0 sin()

0

0 1 0

= � � = � �

0

− sin() 0 cos()

cos() 0 sin() cos()

cos()

= (+ )

0

0 1 0 0

� � � � = � � = 0(+ )

�

0

− sin() 0 cos() − sin() = − sin()(+ )

Circonferenza nel piano xy (Centro in O)

cos() − sin() 0 0

� = � �

= � sin() cos() 0

0

0 0 1 = cos() +

cos() − sin() 0 cos()

0 = sin() +

� � � �

� � = �

sin() cos() 0 sin()

0 = 0 +

0 0 1 0

Circonferenza nel piano zy (Centro in O)

1 0 0 0

0 cos() − sin()

= � �

� = �

0 sin() cos() 0 = 0 +

1 0 0 0

0

0 cos() − sin() cos() = cos() +

� � � � = � � �

0 sin() sin()

cos() = sin() +

0

ELLISSE

Per ottenere l’eq. parametrica parto da una circ. di raggio 1 e

applicare uno scaling non uniforme.

= cos() 0

� 0 ≤ ≤ 2 = � �

= sin() 0

cos() () = ()

0

� �� �

� = � �

sin() () = ()

0

SPIRALE DI ARCHIMEDE

Può essere vista come una composizione di una rotazione e uno

scaling. 1

Partiamo dal punto = � �

0

cos() − sin() 0

= � � = � �

sin() cos() 0

( )

− −

cos() sin() () ()

1 1

0

� �� �� � = � �� � = � �

( )

sin() cos() () ()

0 0

0

= () = ()

Si può introdurre un fattore u che moltiplica a

� �

u grande spirali lontane



= () = ()

u piccolo spirali vicine



CURVE PARAMETRICHE NELLO SPAZIO

ELICA CILINDRICA

Punto = (, 0, 0) Rz+Trazlazione(c. omogenee)

Rotazione

cos () −() cos ()

0 = cos ()

0

0 0

() cos () sen ()

� � � �

� � = � = sen ()

0

1

0 0 =

1 1

0 1

0 0

C è un numero che mi permette di controllare il passo dell’elica.

Un giro complete è per Δt=2π quindi mi fa avanzare nella direzione di Δz=c2π

ELICA CONICA

Posso prendere un’elica cilindrica di raggio 1 e fare uno scaling.

= cos () 0 0

� = �