Curve e forme differenziali nello spazio

Curve e forme differenziali nello spazio

Una curva nello spazio è definita come \( \phi: t \in [a, b] \rightarrow \phi(t) = (x(t), y(t), z(t)) \) ed è continua. Ovviamente deve essere iniettiva altrimenti si avrebbero ambiguità. Se \( \phi(a) = \phi(b) \), allora la curva è detta chiusa. Se per ogni coppia di punti di cui almeno uno è interno all’intervallo i valori della curva sono diversi (praticamente, la curva non si “accavalla”), la curva è detta semplice, mentre la curva è regolare se appartiene alla classe \( C^1 \) e \( \phi'(t) \neq 0 \) per \( t \in (a, b) \). Prendo l’intervallo aperto poiché se la curva è chiusa, può capitare che la derivata sia nulla poiché essa è definita se esistono derivata destra e sinistra.

Ovviamente, dato che ci si trova in \( \mathbb{R}^3 \), la norma del vettore tangente alla curva è uguale a \( \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2} > 0 \).

Esempio

Si considerino le coordinate \( x(t) = x_0 + t(x_1 - x_0) \), \( y(t) = y_0 + t(y_1 - y_0) \), \( z(t) = z_0 + t(z_1 - z_0) \), con \( t \in [0, 1] \), il modulo del vettore tangente alla curva con le coordinate parametriche sopra è proprio uguale alla lunghezza del segmento fra i due punti considerati.

Si prenda adesso \( \phi(t) = (a \cos t, a \sin t, bt) \), con \( a > 0, b \neq 0 \) e \( t \in \mathbb{R} \). La proiezione sul piano \( xy \) è la circonferenza di raggio \( a \), che poi è alzata di \( b \), quindi il tutto viene ad esempio: un’elica cilindrica (in questo caso \( t \in [0, 10\pi] \), \( a = 1 \) e \( b = 0.1 \)).

Se volessi calcolarne la lunghezza, come per le curve sul piano, dovrei fare l’integrale con gli estremi dell’intervallo come estremi della norma del vettore tangente. In particolar modo prendo \( t \in [0, 2\pi] \) in modo che: