Curve e forme differenziali nello spazio

CURVE E FORME DIFFERENZIALI NELLO SPAZIO

[ ] ( ) 3

( )= ( ) ( ) ( )

Una curva nello spazio è definita come ,

φ ∈ ∈

φ :t a ,b → φ t x t , y t , z t R

ed è continua. Ovviamente deve essere iniettiva altrimenti si avrebbero

( ) =φ(b)

ambiguità, se allora la curva è detta chiusa, se per ogni coppia di

φ a

punti di cui almeno uno è interno all’intervallo i valori della curva sono diversi

(praticamente, la curva non si “accavalla”) la curva è detta semplice, mentre la

| |

| |

'

1

curva è regolare se appartiene alla classe e (prendo

( ) ∀ ∈(a

φ t ≠0, t , b)

C

l’intervallo aperto poiché se la curva è chiusa, può capitare che la derivata sia

nulla poiché essa è definita se esistono derivata destra e sinistra). Ovviamente,

3

dato che ci si trova in , la norma del vettore tangente alla curva è

(t)

φ '

R

√ 2 2 2

( ) ( ) ( )

uguale a .

' ' '

( ) ( ) ( )

+ + >0

x t y t z t ( )

( )= +t −

y t y y y

( )=x +t ( −x )

x t x

Esempio: si considerino le coordinate , e

0 1 0

0 1 0

( )

( )=z +t −z

z t z ∈[0,1] =( ) =( )

, con , con e , il

t P x , y , z P x , y , z

0 0 0 0 1 1 1 1

0 1 0

modulo del vettore tangente alla curva con le coordinate parametriche sopra è

proprio uguale a alla lunghezza del segmento fra i due punti considerati.

{ ( )=a

x t cos t

( ) ∈

φ t : , a>0, b ≠ 0,t R

( )=a

Si prenda adesso , la proiezione sul piano è

xy

y t sin t

( )=bt

z t

la circonferenza di raggio , che poi è alzata di , quindi il tutto viene ad

a bt

esempio: ∈[ ]

Ossia un’elica cilindrica (in questo caso e ).

t 0,10 π

a=1,b=0.1

Se volessi calcolarne la lunghezza, come per le curve sul piano, dovrei fare

l’integrale con gli estremi dell’intervallo come estremi della norma del vettore

∈[0,2 ]

tangente. In particolar modo prendo in modo che :

t π

t