CRR, Black Scholes, IRR, modelli affini e CDS

Schema Generale di un Modello Finanziario

• X_t = n sorgenti di incertezza (descritte da processo multidimensionale)
• Y_t = n equazioni differenziali stocastiche che descrivono dinamica (cioè evoluzione nel tempo) delle sorgenti di incertezza e di diffusione
• Z_t = n (cioè delle equazioni lineari) che dipendono dalle sorgenti di incertezza
• P_t = n (cioè dei prezzi) per i contratti finanziari, che dipendono da Y_t

Problema Valutazione

1) È quotato: dove? Su un mercato dove (voglio per valutare a data corrente)

è quotato? Cioè per valutare oggi voglio possiamo assumere arbitraggio

(perché valuto contratti non quotati a partire da quelli quotati)

Devo cioè identificare il portafoglio replicante,

cioè quello che mi permette di passare da contratti quotati a non quotati

(dove erro dal punto di vista economico in modo)

Dato che il mio portafoglio replicante è composto

di uno spazio (cioè ho modo di questo spazio)

Black e Scholes dimostrano che nu = mu

la risoluzione dell'equazione

deterministica per che (a questo punto so che il prezzo del mio contratto non quotato)

(k se un questa and quanti limita continuamente)

Insituitivo Scoperto che il Prezzo Quotato

• è opportuno che per caso. se per esempio oggi so che,
• è opportuto stimare attraverso seguendo,
• ottenuto dal suo portafoglio replicante,
• risolvendolo come in un intervallo

Se opp = v^s = valore contratto che voglio valutare

e opportuno partire da

M (t, T) = merakn (cioè la)

opp = e^M {[lu]} esso = e^m {[M (T)]}

opp.

PT = prezzo in t

N = nominale (cioè prezzo in BT)

Ft v (t, T) = pitt

Fattore di sconto

M (t, T) = M

Fattore montante

cioè se N = 100 ⇀ PT = 100: m (t, T)

Se P:_t = 100 iff> mt (t, T)

Ancora: interesse I (t, T) = t +

Tasso interesse i(t, T) = I (t, T) = V - PT

P_t

P_t

nel caso deterministico

V (t, T) = e - s f,stuov

Struttura per Scadenza dei Tassi di Interesse

soluzione che mette * corrispondenza la vita residua di scadenza v_t con il tasso interesse i(t,z(t) e(i,t,z)

è perché è utile? Perché se sua soluzione mi permette di valutare un qualsiasi flusso di imposter deterministo unico v (t, t, x(n) =

k f x_n x_{c i}

sto descrivendo cioè un portafoglio

di b(2, h,00 e z(2,e00) con scadenza1,

x₃ 200 con scadenza 2, x3 x30 con scadenza

t3, e così via...

lo si suddivide in due _itrate su due contanti con scadenze diverse devi esprimersi rispetto a un unicointervallo di riferimento

{(1 + _it1 + _it2)

{(1 + _it) = [(1 + _it1)^_t1/U1/_U1 = 1 + _{t 1} + _{it 2]^t dove U1 = giorni che variano}

quindi _U1 = sett ^a 360 e 365

quindi se uso come base U = 1 anno posso riscrivere _t e _{t <}

=

[ (1 + _it1+_{It 2})^360/365

da questo posso derivare due grandezze molto importanti :

_t + _t ²

{[(1 + _it1+_{It 2})^360/365 ]^

Intesa di rendimento a scadenza (Red To Maturity) _V(t,_u)=_q¹ Log [y(t,_UU] _1/t]

ciò e tasso di ritorno assumi premio unico a scadenza

Assumi premio unico a scadenza _i = Inf(t,T)

Intesi apertura rate singoli (Forward rate)

Tasso spot

      T  2      -   m (1 _{+ ^d)⁺} (eLo

• Tasso spot

(interessi si assumono incrementale vantaggio)

Money Market Account _V({t})

{gioco stesso dfr,tg

{interessi pagati alla media picco-brevia

{lo _inf^ti= cas stocasticonel  un numero -^z0

_soluzione

Contratto a termine

{_fra tassi,

{un importo ^{{perttoVgrazie un   tassi 2/_{DT0t  cotraq}pso}