Riassunti Derivatives

SCHEMA UNIPERIODALE

MODELLO

Cf AER

è

modello dei

Un matrice

discreto

uniperiodale payoff

una

Rm

iniziali

vettore dei Prezzi

un E

e

A valori

CI Possono contenere negativi

Replicazione di

IERI lineare

è

è replicabile combinazione payoff

Payoff

Un se un

R Tale che

E

esistono di

quotato Ii 4m

quantità

e I

4

I Mkt Xm Xm

oppure analogamente

Ag

il

replicabile lineare

è è

soluzioni

sistema ammette questo

e

se

y

criticato RICA Aly

Rg

se

Completezza A

Def di dice

mercato

modello

Un completo è

payoff

se

si ogni

replicabile Ry A

succede m

quando

questo

l il

che

vuol

dire

replicabile

fatto replicante

payoff

che sia Ppi sia

non

ogni del

l'unicità è da

data

Pet

Replicante Ry

unico A in

Arbitraggio IERI che

Def tale

è Pet

Un arbitraggio un

il

PI

i Tra

positivo

è

di disog 2 num

costo questo non

o pet

It il

Ii Aa ha valori

di

vettore payoff pet zo

z con

e questo stato

almeno

disuguaglianza so

stretta uno

in

del mondo

I dell'asset

Fondamentale

teorema Pricing

fornisce modello

sufficiente affinche

necessaria

condizione un

una e

di arbitraggi

sia privo di

Sia modello

E opportunità

A presenti

uniperiodale sono

non

un solo germ

vettore

esiste

arbitraggio se e con

se e

un q

Tale che IT

ITA ma min

1 dei

definito

vettore stati

vetture

è degli

prezzi

q

il replicabili

securities

alcune

mercato A D

incompleto

è non

e sono

infiniti

avremo 1

assurdo

dimostrazione per Rm AER

che

I arbitraggio

7

si E e

supponga un

1

che le

soddisfa condizioni

seta EO

A mondo

del

almeno

ii 20 in stato

a o uno

IA

iI nella

sostituiamo

definizione i

condizione

per questo

ha

I'A che

otteniamo componenti negative

non

1

NEO sappiamo

ma dalla

mentre A condizione ci

220 ad contraddizione

dunque

arriviamo una

I dell'Asset

teorema fondamentale pricing Il

Sia stati

dei

modello

A vettore

uniperidale arbitraggi degli

prezzi

senza

un solo il è

modello A completo

è

IERI unico se se

e Sub

replicazione

Super replicazione

e dei

fornire di

replicabile

se è

payoff range prezzo

non possiamo

un della

l'ausilio Replicazione

con sub

sup scplkelt.is

ketltd

kè s

ci E

che s

Sappiamo COSTANTE

PUT

CALL PAYOFF

SOTTOSTANTE SHORTFORWARD

LONG

FORWARD

IERI

If IERI

Un replica AL

payoff

super

PTF se

un 21

deve valere Rt_a

che PCI E

quindi

Un Erm

ptFIERmsubrepl.ie ALLY

payoff se

1

un Let

che

deve valere PCI

quindi E il più

limiti

affinche abbiano informativo

contenuto vicino

devono essere

i

al

possibile vero prezzo A Pa y

Lower AA

Massimo 1

E

Pa Y

minimo upper ALLY BOUND ER

BOUND A

IERI

MODELLO BINOMIALE Bette

free

asset che

Ci in risk

Modello paga in

questo

son 2 d

us

asset che

stato rischioso e

s paga

e un

ogni di

il replicazione essendoci

Per prezzarlo asset

principio 2

usiamo

del il è

modello

stati è

mondo payoff

2 completo

e e ogni

repli Bette E

Is p Betcha

dei A

la matrice payoff

creiamo Petite

WS I

Irs ci

percio Spetta

rspetct.de

aspetta o

detta n

essendo o

O

la invertibile

matrice è troviamo

A

uso

in quanto dunque

il

che

il co

che B replica

la a

payoff è

Ptf Età

il 3

lo è

strumento

Co

se lo è

rialzista ribassista

viceversa del

il

di

il payoff

arbitraggio deve

culo

cesto

Per principio non del ipotizziamo

replicante

uguale quello

essere a suo By

pie

aster ÉLITE

III s

fitte cià

a

è

definiamo diventa

se ci

te G

c al

y q al

neutrale

nel che

dove

uniperiodale rischio

la

è prob si

caso

questo q il attualizzato

valore

verifichi atteso

P è

evento n con

dunque prezzo

al

neutrali rischio

prob

Se estendere stati

vuole modello periodi considera

più si

si a

questo di

di medesimo

il

l'a perido spirito

singolo è

Lo pricing

ogni

come lunghezza il valore il

neutrale

attualizzare al che

atteso sottostante

ossia rischio l'albero

valore

determinato considera ricombinante

un

raggiunga si imponendo

al t abbiano stati

affinche

sito

in periodo tempo mai

si

ogni

w uguali il

A scadenza sottostante sn

stati assumere

puo mai

non 2

e tra si movimenti

valori son uguale i

con

compresi a

e m

del valore

down sottostante può raggiunto

essere

o ogni

up di

Mk

prob K movimenti per

si minimo

P

con up

Su

Sm raggiungere

lo la

stato La Binomial precedente

prob e

n

dunque una

segue

del

formula strumento

prezzo generalizzata

può come

essere

était Le

G

ce 4 a

Love il K

stato

nello

Cx movimenti

payoff k

è up

raggiunto un

di

I la

è lo

prob stato K

raggiungere

Formula di

Da prezzare ogni payoff

possiamo genere

questa di

Nel sostituire

call dobbiamo

payoff ack

sia una

caso quello

questo

della call

il che Si K

9

payoff è Max

valore K

esisterà movimenti

raggiungibile

dunque un up

a con

strumento risulti

affinche K lo

che

minimi Si sia Itm

quindi

e

Suki K

k

min

a diventa

La Generale

formula È gi Suki

1

C K

o

e

metà max

9

il della call finche Kca riscrivere

possiamo

essendo o

payoff

l'eq

cosi Iii cramps.name

Cf 9

la sommatoria

spezziamo III È

ser

è e

ciel era

9 a

la del

2 Termine è altro neutrale al

2 rischio

lo che

che prob

dell'ey non lo

eserciti

che strumento

Si rinominato

K essere

può

si e

e dunque

B Ca M Bla

Ina m

y 9

a

il primo termine gh'sogni

È 9 e

2

sito

È 7 1 g

9

Est

ematemesi

steak

tater

è siete

ste.ie termie riscritto

può

Ponendo il

è essere come

primo

Ye SBCa.m.at

1 Agi

SEI g KE Bla

C S Bla my

M I scelti le

da

modo

in

parametri sono

e

n rappresentare

del la volatilità più

caratteristiche è

sottostante maggiore e da

modo

divaricati 6

dipendere

devono in qualche

sono

ne dunque corse

ETA E

a l'albero

dei ricombinante

scelta è

questa cinque

con a e

livello

il al

riportano

da iniziale

movimento di seguito uno prezzo

un la

allora al

neutrale rischio

Se considera si prob E

si o g

Età

in è

q.EE

quanto E

si

se

già_era

di Mclaurin

sviluppo

si usa

è Et OLE

L X VE

TE O GIA

CAIRO I

GE

I OCSE

OVE

1 OCSE GLI

GE

GLI 1 CAE

O

il

fa ordine

di

infinitesimi

gli

vincono

si superiore

e

figo

E E Schema Continui

Processi

modi

Possiamo vedere stocastico

in 2 un processo

R

K P

F

A Kew

di traiettorie

collezione

Collezione di Xe

c

v ognuna

del WER

che descrive per ogni

un prezzo

al

sottostante t

tempo

Una di

famiglia Gaussiana definisce Gaussiano

stocastici è quella si

processi un

le distribuzioni

d

stocastico

processo sue sono

se buzionifinitodimnsioni

normali multivariate del

distribuzione casuale

vettore

ii

Xin Em

ti per

fissati

Processo Gaussiano