Sottospazi affini, Algebra Lineare

Sottospazi affini

1. Cos'è?

Ax=b

{x ∈ ℝⁿ : Ax=b} = {x₀} + {u : Au=0}

sottospazio affino = punto + sottospazio vettoriale

Df: Sia V uno spazio vettoriale sia E ⊆ V. ∃ x₀ ∈ V, ∃ W ⊆ V: E = x₀+W. Allora si dice che E è un sottospazio affine di V.

Es:V = ℝ[x], W = {p(x) : deg(p(x)) è pari}E = x₀+W è un sottospazio affine (non è del tipo "Ax=b")

Oss: ∀ E = x₀+W ci sono infiniti x₀ ma un solo W (lo stesso di prima)

Es:

x₀ è vettore su cui "ruotano" le rette ottenendo E.

Vanno bene tutti i vettori che finiscono su E.

Df: Se E = x₀+W ⇒ W si chiamano le giaciture di E e dim(E)=dim(W)

Sottospazi affini

1. Cos'è?

Ax = b

{x ∈ ℝⁿ: Ax = b} = {x₀} + {u : Au = 0}

• sottospazio affine
• punto
• sottospazio vettoriale

DF: Sia V uno spazio vettoriale sia e ∈ V. ∃x₀∈ V, ∃W ⊆ V: E = x₀ + W. Allora si dice che E è un sottospazio affine di V

ES: V = ℝ[x], W = {p(x) : deg(p(x)) è pari}

E = x₀ + W è un sottospazio affine (non è del tipo "Ax = b")

non è l'insieme di soluzioni di un sistema lineare

Oss: ∀E = x₀ + W ci sono infiniti x₀ ma un solo W (x₀ qualsiasi di E)

ES:

x₀ è vettore su cui risiede le rette ottenendo E.

Vanno bene tutti i vettori che finiscono su E.

Df: se E = x₀ + W ⇒ W si chiama le giacitura di E e dim(E) = dim(W)

Presentazione parametrica e cartesiana: caso di sottospazi vettoriali

V ⊆ Rⁿ

• V = Span (v₁, v₂) ← Presentazione parametrica
• ⇒ V = {t₁v₁ + t₂v₂, t₁, t₂ ∈ R} parametri

v₁, v₂ ∈ Rⁿ

V = Span (v₁, v₂)

• v₁ e v₂ vengono identificati da 2 numeri e non da t₁, t₂

⟹ Presentazione cartesiana

Affermazione:

Se V ⊆ Rⁿ ⇒ ∃ A. V = {u : Au = 0}

Ogni sottospazio di Rⁿ è l'insieme delle soluzioni di un qualche sistema omogeneo.

Def: Scrivere ∀x: Ax = 0 vuol dire dare una presentazione cartesiana di V (V è lo spazio di soluzioni)

Es:

V = {(x) ∈ R² : 2x + 3y = 3}

P. parametrica → P. cartesiana

V = Span (v₁, ..., v_k) ⇒ Ax = 0

1. Scrivere B = (v₁, ..., v_k)
2. Prendere B^T e risolvere il sistema Bx = 0 ⇒ la sl = Span (w₁, ..., w_n)
3. A = (w₁, ..., w_k)^T

Esempio:

W = Span

1. B =
2. B^t =

Il sistema:

x = -2y

z = 3y

span

A =

A

-2x + y + 3z = 0

Rappresentazione parametrica e cartesiana: caso di sottospazi affini

E = x₀ + W ⊆ ℝⁿ

• Cosa sono?
• P. parametrica: E = x₀ + span

P. parametrica di W

P. cartesiana: E =

come

P. parametrica

P. cartesiana

usiamo

Il passaggio P. param. → P. cartesiana:

E = x₀ + span →