Criterio di Abel
Se la serie di potenze converge in x0+R, allora la serie converge uniformemente in (x0-R+ε, x0+R].
Serie di Taylor
Se f ∈ Ck(I), con x0∈I, allora:
f(x) = ∑m=0∞ f(m)(x0)/(m!) (x-x0)m + RK(x-x0)
dove
RK(x-x0) = o((x-x0)K) e
limx→x0 RK(x-x0)/(x-x0)K = 0 quando x è fissato e K→ +∞.
Se limK→+∞ RK(x-x0) = 0, allora:
f(x) = ∑n=0∞ f(m)(x0)/m! (x-x0)m
Questa è la serie di Taylor centrata in x0.
Serie di Taylor centrata in x0
Se f ∈ Ck(I), con x0 ∈ I, allora:
Rk(x - x0) = o((x - x0)k)
e
limx → x0 Rk(x - x0) / (x - x0)k = 0
con x fissato e k → +∞. Allora:
f(x) = ∑∞m=0 f(m)(x0) / m! · (x - x0)m
Se limk → +∞ Rk(x - x0) = 0, allora:
f(x) = ∑∞n=0 f(m)(x0) / m! · (x - x0)m
Questa è la serie di Taylor centrata in x0.
Comportamento della funzione
- Se am = x0 f(m), allora:
- f(x) = { e-1⁄x x ≠ 0 { 0 x = 0
- Se x ≠ 0 → controllare se x è continua
Se f(0) = f'(0) = f''(0) = … = f(m)(0)=0, allora f(m) può svilupparsi in serie di Taylor.
Inoltre:
f(x) = ∑m=0∞ am (x-x0)m → f(x) = ∑m=0∞ x0 f(m) (x-x0)m
Derivazione delle serie
Se f ∈ C∞ e x0 ∈ R, x ∈ o + R, allora:
f(x) = ∑m=1∞ am m (x-x0)m-1 → f'(x) = a1 · 1
f'(x) = ∑m=2∞ am m (m-1)(x-x0)m-2 → f''(x)=a2 · 2 · 1
f(k)(x) = ∑m=k∞ am m (m-1) (m-2) … (m-(k-1))⋅(x-x0)m-2
f(k)(x0) = ak k (k-1) (k-2) … 1 = ak k! = f(k) (x0)
Infine, abbiamo:
f(x) = ∑m=0∞ x0 f(m) (x-x0)m = ∑m=0∞ am (x-x0)m= ∑m=0∞ x0 f(m) (x-x0)m = ∑m=0∞ x0 f(m) (x-x0)m= ∑m=0∞ am m! x0
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