Teorema criterio della radice per le serie numeriche

Teorema (criterio della radice)

Sia _am ≥ 0. Allora se _{limm→+∞ √^mam = ℓ}:

• Se ℓ < 1 → ∑a_m converge
• Se ℓ > 1 → ∑a_m diverge positivamente
• Se ℓ = 1 → ?

Dimostrazione:

1. ^o Caso ℓ < 1
   Dalla definizione di limite, si ha che ∀ ε > 0, ∃ K ∈ ℕ tale che ∀ m ≥ K → |√^ma_m - ℓ| ≤ ^ε/₂.

   ℓ - ^ε/₂ ≤ √^ma_m ≤ ^ε/₂ + ℓ

   Poiché siamo nel caso ℓ < 1, consideriamo la parte della disuguaglianza:

   √^ma_m < ^ε/₂ + ℓ ⇒ √^ma_m < 1 - ^ε/₂

   ⇒ a_m < (1 - ^ε/₂)^m

   Per il criterio del confronto, la serie data è confrontabile con:

   ∑ a_m < ∑ q^m, che è convergente poiché q < 1

   ⇒ la serie data converge

Teorema (criterio della radice)

Sia \( a_m \geq 0 \)

Allora se \( \lim_{m \to \infty} \sqrt[m]{a_m} = \ell \)

• Se \( \ell < 1 \) → \( \sum a_m \) converge
• Se \( \ell > 1 \) → \( \sum a_m \) diverge positivamente
• Se \( \ell = 1 \) → ?

Dimostrazione:

1. Caso \( \ell < 1 \)
   Dalla definizione di limite, si ha che \( \forall \varepsilon > 0, \exist K \in \mathbb{N} \) tale che \( \forall m \geq K \)
2. \( \Rightarrow |\sqrt[m]{a_m} - \ell| \leq \frac{\varepsilon}{2} \)
3. \( \Rightarrow \ell - \frac{\varepsilon}{2} \leq \sqrt[m]{a_m} \leq \frac{\varepsilon}{2} + \ell \)
4. Pertanto \( \sqrt[m]{a_m} < 1 - \frac{\varepsilon}{2} \)
5. \( \Rightarrow a_m < (1 - \frac{\varepsilon}{2})^m \)
6. Per il criterio del confronto la serie data è confrontabile con:
7. \( \sum a_m \lt \sum q^m \), convergente poiché \( q < 1 \)
8. \( \Rightarrow \) la serie data converge