Criteri di convergenza: confronto e confronto asintotico con dimostrazione ed esempi

Criteri di Convergenza

Valgono per funzioni positive f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0

Teorema

Criterio del Confronto

Se f(x) ≤ g(x), allora

∫_a^+∞ f(x) dx ≤ ∫_a^+∞ g(x) dx

In particolare:

• Se ∫_a^+∞ g(x) dx converge ⇒ ∫_a^+∞ f(x) dx converge
• Se ∫_a^+∞ f(x) dx diverge positivamente ⇒ ∫_a^+∞ g(x) dx diverge positivamente

OSS. Un criterio analogo vale per tutti i tipi di integrali impropri.

DIM. Da f(x) ≤ g(x) segue che

∫_a^K f(x) dx = ∫_a^K g(x) dx, (K> a)

dalla proprietà di monotonia dell'integrale definito.

Poiché vale questa disequazione possiamo passare al limite e per il teorema del confronto, si ha:

∫_a^+∞ f(x) dx = lim (K→+∞) ∫_a^K f(x) dx ≤ lim (K→+∞) ∫_a^K g(x) dx = ∫_a^+∞ g(x) dx

Criteri di Convergenza

Valgono per funzioni positive f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0

Criterio del Confronto

Se f(x) ≤ g(x), allora

∫_a^+∞ f(x) dx ≤ ∫_a^+∞ g(x) dx

In particolare:

• Se ∫_a^+∞ g(x) dx converge ⇒ ∫_a^+∞ f(x) dx converge
• Se ∫_a^+∞ f(x) dx diverge positivamente ⇒ ∫_a^+∞ g(x) dx diverge positivamente

Oss. Un criterio analogo vale per tutti i tipi di integrale improprio.

Dim. Da f(x) ≤ g(x) segue che

∫_a^K f(x) dx ≤ ∫_a^K g(x) dx , (K>a),

dalla proprietà di monotonia dell'integrale definito.

Poiché vale questa disequazione possiamo passare al limite e per il teorema del confronto si ha:

∫_a^+∞ f(x) dx = lim_K→+∞ ∫_a^K f(x) dx ≤ lim_K→+∞ ∫_a^K g(x) dx = ∫_a^+∞ g(x) dx □

FUNZIONI ASINTOTICAMENTE EQUIVALENTI

f(x) ∼ g(x) (x → x₀) def ⇔ lim_x→x0 f(x)/g(x) = 1

x ≃ x₀ ⇒ f(x)/g(x) ≃ 1 ⇒ f(x) ≃_x0 g(x)

Esempi:

1. sen x ∼ x (x → 0)
2. 3x² ∼ 3x² - x + 1 (x → +∞)
3. √(x + x³) ∼ √x (x → 0⁺)

lim_x→0⁺ x/√(x + x³) = lim_x→0⁺ x/√x³ = lim_x→0⁺ x/√(4 + x²) = 1

TEOREMA (CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO)

(Vale per funzioni positive)

f(x) ∼ g(x) (x → +∞) ⇔ ∫_a^+∞ f(x) dx ∼ ∫_a^+∞ g(x) dx convergono o divergono entrambi

OSS. Un criterio analogo vale per tutti i casi di integrale improprio

DIM. Poiché per ipotesi: lim_{x→ +∞} f(x)/g(x) = 1, si ha che:

∀ ε > 0, ∃K > 0 t.c. se x > K ⇒ |f(x)/g(x) - 1| < ε

⇒ -ε < f(x)/g(x) - 1 < ε ⇒ -ε + 1 < f(x)/g(x) < ε + 1,

poiché abbiamo funzioni positive: (1-ε)g(x) < f(x) < g(x)(1+ε)

In particolare per ε = 1/2 ∃ K > 0 t.c. se x > K ⇒ 1/2 g(x) < f(x) < 3/2 g(x)

Possiamo ora utilizzare il criterio del confronto:

1. Se ∫_a^+∞ g(x) dx converge ⇒ ∫_a^+∞ 3/2 g(x) dx converge,

poiché per x > K ⇒ f(x) < 3/2 g(x), risulta ∫_a^+∞ f(x) dx converge

2)

Se ^a∫_+∞ q(x) dx DIVERGE, allora ^a∫_+∞ ¹⁄₂ q(x) dx DIVERGE

poichè per ∀ x > K → ¹⁄₂ q(x) < f(x), risulta che:

^a∫_+∞ f(x) dx DIVERGE POSITIVAMENTE (per il criterio del confronto)

OSS. Se f è una funzione di segno variabile, allora:

^a∫_+∞ |f(x)| dx ≤ ^a∫_+∞ |f(x)| dx

In particolare, se: ^a∫_+∞ |f(x)| dx CONVERGE, allora → ^a∫_+∞ f(x) dx CONVERGE

Dunque in presenza di funzioni di segno variabile, si considera il valore assoluto poichè rende la funzione positiva e quindi sono applicabili i criteri di convergenza fatti precedentemente.

Esempio:

1. ¹∫_+∞ ¹⁄_{√x³ + 1}

• Per confronto: √x³ + 1 > √x³→ ¹⁄_{√x³ + 1} < ¹⁄_√x³

¹∫_+∞ ¹⁄_√x³ dx = ¹∫₁ x^-3⁄₂ dx → CONVERGE per il criterio del confronto:

¹∫₁∫_+∞ ¹⁄_{√x³ + 1} dx CONVERGE

• In alternativa: ¹⁄_{√x³ + 1} ~ ¹⁄_√x³ (x→+∞) con ant. osc.

¹∫_+∞ ¹⁄_{√x³ + 1} dx ~ ¹∫_+∞ ¹⁄_√x³ dx

CONVERGE ← CONVERGE

2

∫₀^{+∞ 1}/_{x⁴ + x²} dx

x⁴ + x² > x⁴ ⇒ ¹/_{x⁴ + x²} < ¹/_x⁴

∫₀^{+∞ 1}/_x⁴ dx < ∫₀^{+∞ 1}/_{x⁴ + x²} dx CONVERGE

3

∫₂^{+∞ log x}/_x dx

x > 2 ⇒ log x > log 2 ⇒ ^{log x}/_x > ^{log 2}/_x

∫₂^{+∞ log x}/_x dx > ∫₂^{+∞ 1}/_x dx DIVERGE POS.

4

∫₀^{1 1}/_{√x + x⁵} dx

(lim _x→0⁺ ¹/_{√x + x⁵} = +∞)

¹/_{√x + x⁵} ~ ¹/_√x (x →0⁺)

∫₀^{1 1}/_{√x + x⁵} dx ~ ∫₀^{1 1}/_√x dx CONVERGE

5

Funz. di segno variabile:

∫₀^{1 sin (1/_x)}/_x^3/2 dx

= ∫₀¹ |sin (¹/_x)| dx

|sin (¹/_x)| ≤ 1 ⇒ |sin (¹/_x)| ≤ ¹/_x^3/2

∫₀¹ |sin (¹/_x)| dx ≤ ∫₀^{1 1}/_x^3/2 dx CONVERGE