Serie Numeriche e Criteri, Analisi matematica I

2) 0 < e_n, b_n < 3ⁿ⁺¹ ∀n > 0 n → ∞ n ∈ α

⇒ TEOREMA DEL CONFRONTO: lim e_n-b_n = 0 ⇒ lim b_n = e n→α n→α

Abbiamo dimostrato che

e = lim ∑ 1 lim (1 + 1 + 1 + … + 1 )n→∞ ___________________ n→∞ ______________________ k=0 k 2! n n!

b₂: 1+ 1 n ALLORA è COTE SE SOMME FINITE SOTTRAGGO INFINITI TERMINI

b₂: 1+ 1 1 + 1 2 + 1b₀: + _______ + ______ + ______ + ... 2! 3! (n+1)!

∑ _____+_____ SERIE (SOMMA DI INFINITI TERMINI CHE SI OTTIENE COTEk=0 k LIMITE DI INFINITI TERMINI)

Serie ≠ successione

∑ 1/ 1 SERIE (SOMMA I TERMINI DI UNA SUCCESSIONE)k=0 k! 1/ 1 k! SUCCESSIONE

a_k 1 1 1 1 ------ SUCCESSIONE _______ _______ _______ _______ k→∞ 1! 2! 3! n!

∑ 1 (1 + 1 + 1 + 1 + ____ + ____ + ____ SERIEk=0 1 1 2 2 3 ...

UNA SOMMA INFINITA È IL LIMITE DELLE SOMME SUCCESSIVE: ARRIVO FINOA SOMMARE AD m E POI n MANDO AD ∞.

ESEMPIO: 0,333 = 0, + 3∙10^-1 + 3∙10^-2 + 3∙10^-3 + 3∙10^-4 SOMMA FINITA0,3 3∙10^-1 + 3∙10^-2 + 3∙10^-3 = 3 ∑ 10^-k k=1

ESEMPIO FONDAMENTALE: SERIE GEOMETRICA E SUCCESSIONE GEOMETRICA

a_k = 9^k 1, 9, 9², 9³...

Successione geometrica

∑ a_k = ∑ 9^k

k = 0

Serie geometrica

^{(1 + 9 + 92 + ... + 9n)}

lim _n→+∞

Somma parziale

Quanti elementi

Dipende da q che è numerato

q ≠ 1

S_n = 1

∑_k=0 = 1 · 9^k + 9^k + ... + 9ⁿ

lim (n+1) = +∞

n→+∞ n+∞

Si dice in questo caso che ∑ 9^k diverge a +∞

k = 0

q ≠ 1

Dobbiamo calcolare il limite n → +∞

S_n = successione delle somme parziali

1. 9^k
2. Successione geometrica
3. S₀ = 1
4. S₄ = 1 + 9
5. S₉ = 1 + 9 + 9²

S_n = 1 + 9 + 9² + ... + 9ⁿ

3. S_n = 1
4. lim ^S_n
5. k = 0
6. k = 0
7. n→+∞

Trovando una diversa formula per S_n

S_n = 1 + 9 + 9² + ... + 9ⁿ

Moltiplico tutti i termini per q

q · S_n = 9 + 9² + 9³ + ... + 9ⁿ + 9ⁿ⁺¹

Differenza (1 - q) S_n

S_n - q S_n = 1 + 0 + 0 + ... + 0 + 9ⁿ⁺¹

S_n = 1 + 9ⁿ⁺¹

(q ≠ 1)

S_n = qⁿ⁺¹

-1 - q

lim S_n = lim _n→+∞ = qⁿ⁺¹

n→+∞ 1 - q

Limite della successione geometrica

Osservazione: (1) Studiare il "comportamento" di una serie significa stabilire se converge, diverge o è indeterminata.

(2) Il carattere di una serie non cambia se si modifica un numero finito di termini.

Se la serie converge, cambiando un numero finito di termini

rimane convergente; MA cambia la somma.

(3) Dati due serie, ∑_k=0^+∞ a_k ∈ R almeno fi a:

se ∑_k=0^+∞ a_k converge allora ∑_k=0^+∞ c_k converge se ∑_k=0^+∞ c_k = (∑_k=0^+∞ a_n)

a₀ + a₁ + a₂ + ...

c₀ + c₁ + c₂ + c₃ + ... ≠ {c₀±a₀, ±a₁, ±a₂, ±a₃, …}

Se c_k ≠ 0 e ∑_k=0^+∞ a_k diverge allora ∑_k=0^+∞ c_k diverge

Difficoltà Nello Studio Delle Serie: in generale non si trova una

formula esplicita per S_n e quindi non si può calcolare la lim S_n

Ad esempio per la serie geometrica: S_n = 1 - qⁿ⁺¹ q ≠ 1 ----------- 1 - q

Ad esempio per la serie armonica: S_n = S_n +1 14

1 --------- 2 non esiste

Formula esplicita

Problema: Studiare se una serie converge o diverge senza po'

serie di S_n In generale non è possibile trovare la somma,

anche di finito.

Si utilizzano dei criteri di convergenza o divergenza che si

basano dei sui coefficienti a_k e non sul S_n

non

Condizione Necessaria Di Convergenza

Se la serie ∑_k=0^+∞ a_k converge allora lim e_k = 0

_k→+∞

Ipotesi!

∑_k=0^+∞ a_k converge ⇒ lim a_k = 0

_k→+∞

2) Criterio del confronto asintotico

Siano a_k, b_k : IN → IR tali che:

1. a_k ≥ 0, b_k > 0 definiti per k → +∞
2. a_k ≈ b_k k → +∞

Ossia lim_k→+∞ ^a_k/_bk = l

• 0 < l < +∞

Allora:

∑ a_k converge ⇔ ∑ b_k converge

∑ a_k diverge ⇔ ∑ b_k diverge

Esempio

a_k = 3k⁴ + 5

b_k = k⁴, termini positivi a_k ≥ 0

Vogliamo trovare b_k tale che 3k⁴ + 5 ≈ b_k, k → +∞

3k⁴ + 5 ~ 3k⁴, k → +∞

k⁴ + k³ ≈ k⁴, k → +∞

3k + 5 ≈ 3k

k → +∞ 3k/k4 3/k3, k → +∞ infinitesimi di ordine 3

∑ ^a_k/_bk ≈ ∑ ³/_k³ diverge ∑ ³/_k³ k = 1 converge B > 1 ⇒ ∑ a_k converge

3) Criterio del rapporto

Sia a_n : IN → IR tale che:

1. a_n > 0 definitivamente per k → +∞
2. lim_k→+∞ ^a_k+1/_ak = l

• Se l > 1 diverge ∑ a_k k = 0 → +∞
• Se l < 1 converge ∑ a_k k = 0 → +∞

4) Criterio della radice

Sia a_n : IN → IR tale che:

1. a_n > 0 definitivamente per k → +∞
2. lim_{k→+∞ k^√ak} = l

Esempio:

∑ _k