Serie numeriche e criteri di convergenza - Analisi 1

INDICE DOCUMENTO

• Serie numeriche
• Serie geometrica
• Serie telescopica
• Serie di Mengoli
• Serie armonica
• Proprietà delle serie
• Condizione di Cauchy per le serie numeriche
• Criterio convergenza delle serie numeriche
• Condizione necessaria per convergenza delle serie numeriche
• Serie resto

Serie a termini non negativi

Critéri :

• Confronto
• Confronto asintotico
• Radice
• Rapporto
• Raabe

Teorema della condensazione

Serie a segno qualsiasi

Criterio convergenza delle serie a segno qualsiasi

Serie a segno alterno

Teorema di Leibniz

SERIE NUMERICHE

Consideriamo {a_n} una successione di termini reali [a_n] ⊆ ℝ

e supponiamo di fare la somma di tutti i termini di questa successione:

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n = ∑_n=1^+\infty a_n (sommatore infinito)

Per attribuire un valore numerico ad una somma infinita si introduce

il concetto di successione delle somme parziali:

S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂

S₃ = a₁ + a₂ + a₃

...

{S_n} = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n (successione delle somme parziali di ∑_n=1^+\infty a_n)

La coppia ordinata {a_n, S_n} si dice "serie di termine generale a_n"

STUDIARE IL CARATTERE DI UNA SERIE

attribuire un significato numerico alla somma infinita di termini.

ESEMPIO 1 Sia {a_n} = 0 ∀n∈ℕ

S₁ = a₁ = 0

S₂ = a₁ + a₂ = 0 + 0 = 0

S₃ = a₁ + a₂ + a₃ = 0 + 0 + 0 = 0

...

{S_n} = 0 ∀n∈ℕ => lim S_n = 0

n->+\infty

LA SERIE CONVERGE A ZERO

ESEMPIO 2 Sia {a_n} = 1 ∀n∈ℕ

S₁ = 1

S₂ = 1 + 1 = 2

S₃ = 1 + 1 + 1 = 3

... => {S_n} = n ∀n∈ℕ

lim S_n = lim n = +&infty;

n->+\infty

LA SERIE DIVERGE A +&infty;

ESEMPIO 3 Sia {a_n} = (-1)ⁿ ∀n∈ℕ

S₁ = -1

S₂ = -1 + 1 = 0

S₃ = -1 + 1 - 1 = -1

S₄ = -1 + 1 - 1 + 1 = 0

... => {S_n} = {0 se n pari, -1 se n dispari}

NON ESISTE IL LIMITE => LA SERIE OSCILLA

lim {S_n}: perché le due sottoserie sono convergenti a limiti

n->+\infty diversi (una a zero (n = 2k) e -1)

La Serie Armonica

∑_n=1^∞ 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ...

S_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n > b_n [S_n] ∈ crescente quindi è sempre regolare ⇒ convergente lim S_n ⇒ divergente

⇒ lim_n→∞ s_n = sup {s_n} =

∑_n=1^∞ 1/n = lim_n→∞ S_n = +∞ diverge positivamente

Dimostrazione

Per dimostrare che lim_n→∞ S_n = +∞ basta dimostrare che esiste una somma estratta che è divergente ⇒

⇒ {S_n} ⊆ {S_n} : lim_n→∞ S_n = +∞

Sia K_n = 1/2 + 1/2 + 1/2 ...

lim_n→∞ S_n = n/2 = +∞

1. (TEOREMA) CRITERIO DI CONFRONTO

Siano ∑_n=1^+∞ a_n ∑_n=1^+∞ b_n serie a termini non negativi (positivi o nulli)

Supponiamo che 0 ≤ a_n ≤ b_n ∀n ∈ N

1. se ∑_n=1^+∞ b_n converge ⇒ ∑_n=1^+∞ a_n converge
2. se ∑_n=1^+∞ b_n diverge ⇒ ∑_n=1^+∞ a_n diverge

DIM 1. Per ipotesi la successione S_n delle somme parziali di ∑_n=1^+∞ b_n è limitata, ovvero ∃ K > 0 : S_n ≤ K ∀n ∈ N.

D'altra parte, a_n ≤ b_n ∀n ∈ N ⇒ a₁ + ... + a_n ≤ b₁ + ... + b_n,

ovvero S_n ≤ S_n ∀n ∈ N ⇒ S_n ≤ S_n ≤ K ∀n

e la successione {S_n} è limitata superiormente ⇒ ∑_n=1^+∞ a_n è convergente

DIM 2. Fissiamo K > 0

Allora ∃ n ∈ N : S_n > K. Ma S_k ≥ S_n ∀k ≥ n da cui ne segue che S_n ≥ K

ovvero la successione {S_n} è limitata superiormente ⇒ ∑_n=1^+∞ a_n è divergente

ESERCIZIO 2.

Si può risolvere utilizzando il criterio di confronto

confrontando la serie considerata con la serie armonica.

∑_n=1^+∞ log(1+n²)^-1 CONFRONTO CON ∑_n=1^+∞ (n+1)^-2

lim_n->+∞ ⁽ⁿ⁺¹⁾²⁄_log(n+1) = lim_n->+∞ log(n+1)^-1 = 0 < 1

(CONFRONTO TRA INFINITESIMI)

Applicando il teorema della permanenza del segno ⇒ ∃ n ∈ N : log n^-1 < 1 ∀n >> ⇒ ¹⁄_log(n+1) ⇒ b_n >>

Essendo ∑_n=1^+∞ (n+1)^-2 divergente ⇒ ∑_n=1^+∞ log(n+1)^-1 è divergente

Teorema di Condensazione

Sia _n=1^∞ a_n una serie a termini non negativi tale che

• O a_n≤a_n+1 ∀n∈ℕ => monotona decrescente.

Allora le serie _n=1^∞ a_n, _n=1^∞2ⁿ a_2ⁿ hanno es stessa costante

Esempio

Consideriamo:

_n=1^∞ 1/n log n

lim 1/n log n = 1/∞ = 0

Quindi la serie converge

log n^−→ 0 => log n ^n→∞ => a_n

1/n log n

Confrontiamo con serie armonica

log(n+1) = log n_÷ (n+1)(log n)

(n+1)log(n+1) > nlog n

(n+1)log(n+1) > a_n

2 ^{n− ₂} log ⁻

• La nostra serie ha la stessa costante della serie armonica => diverge

Consideriamo a_n = 1/(log n)^p, con p∈ℚ, p>0

2^{na_2n = 2n 1/(nlog2)p = 1/n(log2)p}

Diverge 0 ≤ p ≤ 1

Converge p > 1