Costruzioni di macchine

FATICA

La fatica è un fenomeno causato dalla ripetizione ciclica di una condizione di carico su un

componente meccanico. Ciò che ne consegue è una rottura del componente per carichi al

di sotto di quello di rottura, e quindi inspiegabile dal punto di vista della statica.

Il caso di riferimento per la fatica è la flessione alternata. (media nulla)

Questo tipo di carico ciclico lo si ritrova, ad esempio, in un albero rotante sottoposto ad

una sollecitazione fissa, derivante ad esempio da una cinghia. Considerando un punto della

sezione retta dell’albero, in questo punto si susseguiranno ciclicamente una tensione di

trazione e una di compressione.

La rottura è dovuta ad una non perfetta omogeneità del materiale. I danni microscopici nel

componente diventano, a seguito dei cicli di carico, danni macroscopici. In questi punti,

come fossero intagli, le tensioni si concentrano peggiorando il danno fino a rottura.

Consideriamo una flessione alternata. Sia la tensione, vista come semi-ampiezza della

sinusoide, e sia il numero di cicli. Sia poi la tensione media, che rappresenta il

precarico e che nella flessione alternata è nulla. Abbiamo che:

− +

= =

2 2

Il carico massimo sarà dato da:

= +

E’ possibile relazionare le tensioni con il numero di giri alla rottura del pezzo e generare

una curva. Individueremo tre fasi:

3

0 ≤ ≤ 10

- fase oligociclica 3 7

10 ≤ ≤ 10

- vita a termine 7

≥ 10

- vita infinita

Individuiamo i carichi limite delle tre fasi:

= =

- carico di rottura

=

- carico oligociclico

=

- limite di fatica, o anche, carico a vita infinita.

Definiamo limite di fatica quel valore di carico limite per cui il provino ha vita infinita.

Valgono, in assenza di altre informazioni, le seguenti relazioni:

= ( è graficato)

= 0,5

La fatica dipende da vari fattori come finitura, dimensioni,

corrosione ecc. Consideriamo quindi i cosiddetti

coefficienti di amplificazione (o riduzione) del limite di

fatica: ′

=

In cui:

- finitura esterna

- dimensione e forma

- tipo di carico

- temperatura

′

- carico ricavato dalla prova sperimentale sul provino

Va poi considerato l’effetto d’intaglio:

∆ ≤

Il diagramma presenta una curva esprimibile con una potenza. Per questo motivo, è

consuetudine rappresentarlo in scala logaritmica. La curva diventa una retta spezzata.

(In questo caso, sugli assi leggeremo “logaritmo di N” ecc.)

Carico sinusoidale con precarico ≠ 0.

Consideriamo ora un carico sinusoidale con media

Esistono diverse curve che indicano, sul piano , il limite entro cui il pezzo può

lavorare senza andare a snervamento o rottura.

Identifichiamo quattro curve:

→

- Sodeberg: retta

→

- Goodman: retta →

- Goodman modificata: Goodman limitata dalla retta

→

- Gerber: parabola con tangente orizzontale in

Espressioni analitiche:

+ =1 → = − + Sodeberg

+ =1 → = − + Goodman

2

2

+( ) =1 → = − + Gerber

2

+ ≤ → = − Limite allo snervamento

Nota: Se il precarico è di compressione, il suo effetto sulla vita

del pezzo si ritiene nullo.

Il limite per carichi negativi sarà quindi soltanto quello di

snervamento:

= +

Caso di vita a termine

Considerando anche la possibilità di vita a termine, si impone una condizione meno

restrittiva della vita infinita e, di conseguenza, le curve del piano si espandono

inglobando più punti di lavoro.

Criteri di sicurezza

Scegliamo una delle curve di sicurezza e siano, nel piano :

- punto di lavoro

- origine degli assi

- intersezione della retta passante per e con la curva scelta

Il grado di sicurezza potrebbe essere:

=

Potremmo scegliere una retta differente, ad esempio la verticale passante per e

′

intersecante la curva in . In questo caso non ammettiamo variabilità del precarico.

Come procedere

Fissato un punto di lavoro associamo al punto i rispettivi carichi:

̅̅̅ ̅̅̅̅

→

Geometricamente abbiamo che:

̅̅̅ ̅̅̅̅

→

= .

Scegliamo una delle curve, ad esempio, la Sodeberg. Poniamo

= .

In queso caso avremo che

Nel caso in cui si trovi al di sotto della curva, varrà la seguente espressione:

̅̅̅ ̅̅̅̅

+ <1

,

Moltiplicando i carichi associati a per il grado di sicurezza otteniamo i carichi relativi al

punto appartenente alla curva scelta, ovvero:

̅̅̅ ̅̅̅̅

∙ ∙

+ =1

.

Da questa relazione è possibile ricavare ̅̅̅ ̅̅̅̅

∙ ∙

Per capire: basta sostituire ad ed , nelle formule, e .

Consideriamo la goodman modificata. In questo caso, calcoliamo il grado di sicurezza sia

per la goodman normale che per la curva limite di snervamento e scegliamo fra i due

sempre quello minore.

Caso di più carichi applicati

Il caso più generico che posso avere, per un albero, è un campo di tensioni date da:

- componente media

- componente alternata

- componente media

- componente alternata

In questo caso si utilizza il criterio di Gough-Pollard che ha la forma:

2 2

( ) +( ) =1

=

Si ha che:

Per definire la :

- si sceglie un criterio di resistenza a fatica (sodeberg, goodman, gerber…)

)

- si calcola il (equivalente di

=

- avremo che:

Nel caso di Goodman:

1

+ =1 → = = = +

.

Si procede allo stesso modo per le In questo caso, però, non abbiamo conoscenza diretta

della e della . Di conseguenza dovremo ricavarle dalle relative attraverso uno dei

criteri fra Mohr e Von Mises:

1

Mohr: =

2 1

Von Mises: =

√3

Il criterio di Von Mises vale solo nel caso in cui le siano le uniche tensioni presenti.

Inoltre, la nel caso di Von Mises è impropriamente detta “di snervamento” ma

rappresentaa la massima tensione distorcente.

= =

Per capire: Calcolo la e la normalmente. Pongo poi e e seguo la

√3 √3

stessa procedura usata per le tensioni normali. Infine, applico Gough-Pollard.

Essenzialmente, prendendo ad esempio goodman, ho il criterio di goodman applicato alle

al quadrato più il criterio di goodman applicato alle al quadrato.

Caso di tensione pluriassiale

Vi sono due criteri che trattano il caso di un campo tensionale pluriassiale:

- criterio di Von Mises

- criterio di Sines

Criterio di Von Mises

Si calcolano la tensione alternata equivalente e la tensione media equivalente e

poi si applica uno dei criteri di resistenza a fatica. Questo criterio non è molto esatto.

2 2 2

= √ + + ⋯ + 3 = √

2

2 2 2

= √ + + ⋯ + 3 = √

2

Ipotizzando di applicare Goodman:

+ =1 → √ + ℎ √ =

2 2

In cui le tensioni limite sono date.

Criterio di Sines

Facciamo le seguenti ipotesi:

- campo di tensioni pluriassiale

- direzioni principali fisse

2 2 2

= √ + + ⋯ + 3 = √

2

= + + =

1

Ipotizzando di applicare Goodman:

+ =1 → √ + = ′

2 1

Fatica: andamento ciclico a cicli raggruppabili

Consideriamo un generico andamento ciclico di carico e consideriamo alcune ipotesi:

- caratterizziamo il ciclo per i suoi massimi e minimi

- sia la frequenza ininfluente rispetto alla resistenza a fatica

- dividiamo lo sforzo ciclico in gruppi di cicli

- consideriamo nullo l’effetto della sequenza

La legge di Palmgren Miner (di cumulo del danno) afferma che:

Ogni gruppo di cicli corrisponde ad una quota di danneggiamento del materiale

Sia il danneggiamento:

= 0

- il materiale è intatto

= 1

- il materiale è completamente danneggiato

Nota: le pause fra i ci