Corso di Idrologia appunti delle lezioni

Introduzione al corso

Quando noi parliamo di una piena, si parla essenzialmente di un fenomeno di deflusso superficiale, generalmente causato da una pioggia intensa: è un deflusso che avviene in condizioni di saturazione del terreno, ovvero nel momento in cui l’intensità di precipitazione supera la capacità di infiltrazione del terreno. L’obiettivo è quello di valutare la portata definita come = 3 e misurata in [m /sec].

La precipitazione che genera la piena viene espressa in termini di altezza pluviometrica [mm] o intensità di precipitazione [mm/h]. Un bacino è il luogo dei punti per cui tutte le particelle che precipitano su di esso giungono in una stessa sezione di chiusura S. A partire da un bacino idrografico soggetto ad una precipitazione, l’obiettivo è quello di determinare la portata che giunge nella sezione di chiusura S.

Ci si rifà ai fenomeni di piena poiché, riferendoci alla portata ad essi collegata, è possibile intervenire in difesa del territorio. Sono a tal scopo necessarie opere adeguate come arginature, dighe, traverse; possono essere anche opere di convogliamento come le reti di fognatura pluviale. Se determiniamo tale portata, intesa come portata massima, ci troveremmo di fronte ad un valore abbastanza elevato, non direttamente utilizzabile: la progettazione contro tale portata non sarebbe economica e conveniente, in quanto la portata massima è molto rara.

In realtà il dimensionamento viene pertanto fatto con metodi probabilistici, che permettono di considerare solo quei valori di Q per cui sono soddisfatte determinate condizioni al livello di superamento degli stessi: è a tal scopo necessario il concetto di tempo di ritorno T, definito come il numero di anni che mediamente intercorre tra due superamenti del valore Q’ da parte della grandezza idrologica Q. A seconda del tipo di opera da realizzare, esso rappresenta la durata media dell’opera stessa; T(Q’) = media (τ1, τ2, τ3, ..) ad es. 15-20 anni per opere di fognatura fluviale a 10.000 anni e più per dighe: per queste T è più che altro legato ad un discorso di rischio idrogeologico, come il sormonto dell’opera da parte dell’onda di piena.

Il nostro problema è quello di determinare sostanzialmente Q(T); per rispondere a ciò vi sono diverse metodologie:

Metodologie per determinare Q(T)

1. Conoscere le precipitazioni P e ricavare da esse la curva di probabilità pluviometrica in funzione della durata e del tempo di ritorno (la più semplice); dopodiché applicare l’equazione del metodo razionale, ) = ( 3.6 dove:
   • Portata al colmo con tempo di ritorno T
   • “Coefficiente di deflusso”, Dipende dalle caratteristiche del bacino ℎ( ,)
   • Altezza di precipitazione con tempo di ritorno T e di durata t ,( , ) =
   • Area del bacino
   La formula di Giandotti per il calcolo del tempo di corrivazione (la più utilizzata in ambito nazionale) è stata definita con riferimento a bacini di superficie superiore a 50 km² e conduce per bacini imbriferi più piccoli a sottostime del reale tempo di corrivazione.
2. Il secondo e più efficiente metodo è quello secondo cui, disponendo di una serie storica di portate, identificando la legge di distribuzione di probabilità delle portate, essa è legata al tempo di ritorno tramite la relazione − 1 =. La struttura di tale relazione è dovuta al fatto che, non potendo la probabilità essere maggiore di 1, essa possa variare tra 0 ed 1 (esclusi). Conoscendo poi la legge di distribuzione è agevolmente ricavabile il valore della Q. Ad esempio, per la distribuzione di Gumbel la legge di distribuzione è −(−) −() = dove ed sono i parametri della distribuzione, entrambi funzione della media μ (leggi “mi”) e dello scarto quadratico σ medio della serie. Quindi X sarebbe la portata; avendo stimato ed , introducendo nella nostra relazione abbiamo che − 1 −(−) − = ; essendo dunque ed stimati e T un numero, l’unica variabile incognita è la X, cioè la portata. Per formula inversa (due volte il logaritmo) otteniamo la Q. L’importante sta nel dimostrare che il campione segue la legge di Gumbel: se ciò non si verifica, seguirà comunque un’altra legge di distribuzione, e il compito è determinare quale legge segua. Questo per le portate di piena.
3. Si può calcolare la Q con i metodi (o analisi) regionali: è comoda, in quanto una volta che si dispone delle relazioni per varie zone omogenee del territorio, si applica la relazione.
4. Un quarto metodo, che dipende dai dati su precipitazioni e portate a disposizione, è quello afflussi-deflussi: si tratta di un modello che permette di trasformare le precipitazioni in portate, come funzione della precipitazione P.

Riassumendo

I vari metodi si differenziano nei dati di cui disponiamo:

• Se del bacino (naturale o artificiale) si dispone solo del dato precipitazioni P, ovvero altezze e durate, allora si applicherà l’1);
• Se si dispone solo di un numero cospicuo di portate registrate nel corso degli anni, si applicherà il 2);
• Se si dispone di entrambi, possiamo applicare il 4);
• Se non abbiamo nulla si può utilizzare comunque il 3), cioè formule precostituite messe appunto per l’area in questione da altri studi condotti, e quindi adattare all’area studiata queste formule.

Statistica elementare

Per statistica elementare si intende il calcolo dei parametri base, come misure di tendenza centrale e di variabilità. Essa può essere tradotta nella definizione di momento statistico da cui ricavare poi la media, varianza, lo scarto quadratico medio, il coefficiente di variazione (CoV), il Coefficiente di asimmetria, di Curtosi ecc…

Analisi di frequenza

La frequenza è l’anticamera della probabilità: l’operazione che si fa è passare dalla frequenza, traduzione analitica statistica del dato empirico, alla probabilità, che è una funzione continua ed una legge di variazione della frequenza. Com’è noto, a partire da alcuni dati si può risalire tramite una regressione alla curva che li sottende (es. a*t^n). L’operazione che noi facciamo con la probabilità è la stessa: tuttavia, mentre con la regressione stiamo facendo una stima ai minimi quadrati, cioè una regressione matematica che minimizza la distanza dei vari punti dalla curva ed esprime matematicamente la tendenza, con il discorso della probabilità non si trova una legge matematica ma una legge di variazione che esprime i dati e ne rappresenta la frequenza.

La serie di tutti gli eventi rappresenta la popolazione, il campione una parte. La distribuzione di probabilità non è valida solamente per i fenomeni di piena: i fenomeni di precipitazione meno intensi, che avvengono regolarmente nell’arco dell’anno, sono utili al fine di gestire la risorsa idrica; la differenza sta nel tipo di distribuzione di probabilità, nel caso del rischio idrologico (piena) generalmente non limitate superiormente; per la siccità se ne usano altre ancora.

Quindi nel primo step si valutano i parametri, poi la frequenza da cui la probabilità, nel terzo la distribuzione di probabilità, nel quarto gli elementi per scegliere quale distribuzione usare.

Bilancio idrologico

Nel caso del rischio idrologico, non si hanno chiaramente perdite, ma solo un deflusso superficiale in seguito alla saturazione del terreno; nel caso del bilancio idrologico si fa un bilancio tra le precipitazioni e le perdite in una determinata area. In questo caso si valuteranno tutte le perdite del bacino.

Calcolo della portata al colmo

Iniziamo a vedere il calcolo della portata in funzione del tempo di ritorno con metodi probabilistici. Dobbiamo inizialmente chiarire i dati di cui disponiamo; si ha una certa sezione di un corso d’acqua di altezza idrometrica nota, misurata con idrometro: si presti attenzione a non confondere l’altezza idrometrica H con quella di precipitazione h. Nel tempo si avrà un certo andamento (H1, H2, H3, ... , Hn). In un mulinello si misura la velocità v in questa sezione, che moltiplicato per l’area permette di ottenere Q1; lo stesso può essere effettuato fino a Hn. Mettendo in un grafico cartesiano, avremo n misure; effettuando una regressione, alla curva interpolante si può dare generalmente l’espressione monomia: Q = a(h-ho)^b con: h = quota del punto più depresso della sezione, a e b = parametri da determinare di volta in volta con le misure. Stabiliti dunque i parametri a e b, dalla precedente relazione è banale ottenere la portata. La sezione deve però necessariamente essere costante; inoltre, in zone a portate molto alte o molto basse non si presta benissimo.

Stima delle portate di massima piena

La stima delle portate di massima piena va condotta in relazione ad un assegnato rischio. Dovendo identificare un metodo, esso dovrebbe essere semplice come tipologia e come utilizzo, basato su dati facilmente reperibili e che sia utilizzabile in ogni contesto; tutto ciò si traduce in una stima affidabile e robusta, in modo che i dati sperimentali vengano statisticamente riprodotti in maniera più simile alla realtà possibile.

Un metodo del genere è chiaramente ideale, poiché più il metodo è semplice più esso è riferito a specifici contesti, in genere anche con scale spazio/temporali fissate; i modelli complessi sono invece molto difficili da comprendere ed usare; richiedono inoltre dati sperimentali molto accurati per funzionare. In tutto ciò poi, dati idrologici sono molto limitati e molto spesso assenti per la maggior parte delle applicazioni.

Tempo di ritorno

In realtà, l’approccio utilizzato è legato al rischio o tempo di ritorno, che intercorre tra il superamento medio temporale tra due valori di una stessa grandezza idrologica, come già anticipato. Attenzione: il fatto della ricorrenza del superamento non implica che tale tempo è sempre costante: poiché la grandezza è superata in maniera media, può accadere un certo squilibrio tra un intervallo ed un altro.

Riferendosi al rischio è più corretto parlare di probabilità di pericolo idrologico 1(Q’) ≠ 1 = 1 − e^−(Q’) che per valori di T ≫ N diventa: = dove N è la probabilità in N anni previsti per l’esercizio di un’opera idraulica: fissata la vita di un’opera idraulica, il tempo di ritorno è la probabilità che l’opera sia deficitaria nei confronti della sicurezza idrologica nel corso degli n anni previsti.

Molto spesso si possono in ogni caso verificare fenomeni di allagamento causati non da un evento estremo, ma da una cattiva manutenzione delle opere idrauliche.

Modelli idrologici

Disponiamo di metodi deterministici, che si basano su una relazione fisica sussistente tra le diverse variabili, come quella delle relazioni empiriche, o curve di inviluppo; questi però sono fortemente locali, poiché nel momento in cui si crea la relazione bisogna innanzitutto disporre di una serie di dati storici, e poi costruire il modello facendo uso di una serie di semplificazioni che derivano dalla morfologia del bacino idrografico. Tale modello è esportabile ad un altro bacino solo se è possibile adottare una similitudine idrologica, cioè se trovassi un altro bacino con caratteristiche molto simili sarebbe possibile impiegare lo stesso modello.

Più accurati sono invece i metodi statistici, che si suddividono in:

• Metodi a scala locale;
• Metodi a scala regionale;
• Formula razionale, se si dispone di precipitazioni e non di portate;
• Modelli afflussi-deflussi.

Analisi locale "at site"

L’analisi locale at site si basa su tre livelli, il primo dei quali è la scelta del dato; noi utilizzeremo i metodi POT (Peaks Over Threshold, si analizzano solo i valori oltre una certa soglia) o AFS (Annual Flood Series, i valori massimi delle piene massime annuali). Nel primo caso si ha un maggior numero di dati, ma tale analisi richiede dei dati di portata abbastanza copiosi; usando dati di questo tipo, inoltre, si è vincolati sulla scelta della distribuzione di probabilità, in genere più complessa analiticamente parlando. Ad ogni modo, si suole scegliere un’analisi AFS: se prendiamo le portate massime annuali, l’intervallo tra portate è annuale, fissa; considerando dati superiori ad una soglia, non è possibile saperlo a priori, per cui la scansione temporale è assolutamente casuale e causa di complicazione in fase di costruzione della distribuzione.

Seguono poi la scelta della distribuzione e la scelta dei parametri. L’analisi at site è consigliata solo se T ≤ 2-3·N, con N dimensione del campione sperimentale (numero di anni di dati a disposizione). L’analisi locale deve poggiare su un numero di parametri quanto possibile minore, 2 per la Gumbel e 3 per la GEV (distribuzione generalizzata del valore estremo). Le Gumbel (sinistra) sono rette, mentre le GEV (destra) sono curve: questo è il discriminante se usare una distribuzione od un’altra. La distribuzione da adottare è quella che si avvicina maggiormente all’andamento delle frequenze.

Analisi regionale

L’analisi regionale è adottabile in situazioni in cui dei modelli valgono anche su porzioni più ampie di territorio, stimando parametri noti: questo permette di conoscere il comportamento idrologico anche di quelle zone di cui non si dispone alcun dato, che è uno dei principali limiti dell’analisi at site; mentre per questa si dispone di portate, per quella regionale occorrono tre parametri:

• Tempo di ritorno;
• Area del bacino;
• Zona omogenea, ossia un territorio diviso in zone omogenee per le quali valgono determinate relazioni.

Il sistema ha comunque le sue incertezze, ma viene tuttora utilizzato dall’autorità di bacino per il calcolo della portata. Volendo poi essere più precisi, andrebbero adottati più metodi. L’analisi regionale, essendo riferita ad un territorio più ampio, viene verificata da studi condotti dagli enti territoriali preposti; per queste sono state usate distribuzioni con più parametri (=più accurate), pertanto le incertezze relative a tempi di ritorno più elevati son inferiori. Se il territorio fosse estremamente eterogeneo, l’analisi regionale non sarebbe in ogni caso utilizzabile.

Riassumendo

Abbiamo le due analisi:

• A scala locale: si prendono le serie di portate, che dovrebbero essere estremamente lunghe; si usano i dati do portate massima annuali, si trova la distribuzione di probabilità che meglio segue i dati osservati, si usano i parametri derivanti da tale distribuzione per calcolare la portata tramite formula inversa dalla relazione − 1() = =
• A scala regionale: usata per zone omogenee o se non si dispone di una serie storica sufficientemente lunga; è basata sulla portata indice, una sorta di portata media caratteristica per ciascuna zona omogenea da moltiplicare per un fattore funzione del tempo di ritorno, il cosiddetto fattore di crescita.

Formula razionale

Il terzo metodo, la formula razionale, è adottabile quando non si dispone di portate, bensì di dati di precipitazione: essa è data dalla relazione ∙ ℎ(, ) ∙ = , dove:

• È la portata al colmo al tempo di ritorno T;
• È il coefficiente di deflusso, funzione delle caratteristiche del bacino;
• h(τ,T) è l’altezza di precipitazione con tempo di ritorno T e di durata critica dell’evento di precipitazione .

La stessa formula può essere altresì riferita all’intensità di precipitazione anziché alla sua altezza: ∙ ∙ (,) = 3,6 dove il coefficiente 3,6 al denominatore è inserito per tener conto di una conversione dimensionale nel Sistema Metrico. La durata critica coincide in realtà col tempo di corrivazione del bacino, inteso come il tempo che impiega la particella idraulicamente più lontana per giungere nella sezione di chiusura. Il calcolo di questo tempo permette di determinare la durata critica, ma esso non è assolutamente agevole, comportando notevole incertezza, così come per il coefficiente di deflusso C: esso dipende da: a) un fattore di riduzione areale della pioggia, b) rifiuto del terreno (discorso di permeabilità e di scorrimento superficiale) e c) dispersione idrografica. Il coefficiente di deflusso, in altre parole, esprime la quantità di precipitazione che giunge nella sezione di chiusura. La valutazione di C non può prescindere dalla conoscenza approfondita del comportamento idrologico del terreno.

La formula razionale è analiticamente estremamente semplice, ma è delicata la stima dei parametri: il calcolo del tempo di corrivazione viene infatti effettuato con la già citata formula di Giandotti, ma è effettuato per bacini superiori a 50 km². Normalmente, la formula razionale tende a sovrastimare la portata.

Modelli afflussi-deflussi

Permettono di calcolare, con uno ietogramma di piena (andamento dell’intensità di precipitazione), la portata. Si parla di modelli...