Corso completo meccanica dei fluidi

prodotti scalari

a·b = a_ib_i

prodotto vettoriale

\(\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b} = a_{i} b_{j} \hat{i} \hat{j} \hat{k}\) (vettore colonna)

prodotto misto

\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c} = a_{i} b_{j} c_{k} \hat{i} \hat{j} \hat{k}\) (vettore colonna)

\(\nabla = \left( \dfrac{d}{dx}, \dfrac{d}{dy}, \dfrac{d}{dt} \right)\) operatore nabla

\( \nabla a = \dfrac{da \hat{i}}{dx_{i}} \)

gradiendo di uno scalare → vettore

\( \nabla \cdot \overrightarrow{a} = \dfrac{da_{i}}{dx_{i}}\)

divergenza di un vettore → scalare

\((\nabla \overrightarrow{a})\text{:}\text{=}\sum \dfrac{da_{i}}{dx_{i}}\)

gradiendo di un vettore → tensore (elemento riga, colonna T)

\(\nabla \times \overrightarrow{a} = \dfrac{da_{i} \hat{j}}{dx_{i}}\)

divergenza di un tensore → vettore

Teo divergenza

\( \int_{W} \nabla \cdot \overrightarrow{a} \, dW = \int_{W} \dfrac{da_{i}}{dx_{i}} \, dW = -\int_{A} a_{i} \hat{n}_{i} \, dA = -\int_{A} \overrightarrow{a} \cdot \hat{n} \, dA =\) > scalare

Teo gradiente

\( \int_{W} \nabla a \, dW = \int_{W} \dfrac{da_{i} \hat{j}}{dx_{i}} \, dW = -\int_{A} a_{n} \hat{i} \hat{n}_{i} \, dA = -\int_{A} a \hat{n} \, dA =\) > vettore

Meccanica del continuo

Ogni punto di una fibra non è solo vuoto nel fluido, ogni punto di una matrice può essere definito da funzioni continue.

• pressione
• pelle
• per superficie

equilibrio dinamico

\(\Sigma F_{\text{premie}} = \Sigma F_{\text{volume}} + \Sigma F_{\text{superficie}}\)

a = 0

quieto o moto uniforme = ma = inerzia

\( ( \alpha = *'\rho'\text{in relazione)} \)

vettore normale \(\hat{n}\) convenzionalmente con il verso esterno nel volume fluido.

sforzo

\(T_{n} = \lim \dfrac{dF_{S}}{dA \to dA}= \)

1. sforzo normale
2. sforzo tangenziale

(sono le componenti dei vettori) (nate in alto sulle due)

prodotto scalare a̅·b̅ = a_ib_i

prodotto vettoriale a̅∧b̅ = a_ib_j^ijk (vettore colonna)

prodotto misto a̅·b̅ = a_ib_j^ijk (vettore colonna)

∇ = (d/dx , d/dy , d/dt) operatore nabla

∇a = da_i/dx_i gradiente di uno scalare -> vettore

∇·a̅ = da_i/dx_i divergenza di un vettore -> scalare

(∇a̅)_i= da_j/dx_i gradiente di un vettore -> tensore _{cerchiamo riga,colonna →}

∇·a̅ = da_i/dx_i divergenza di un tensore -> vettore

Teo Divergenza

∫_W ∇·a̅ dw = ∫_W da_i/dx_i dw = - ∫_A a_in_idA = - ∫_A a̅·n̂ dA -> scalare

Teo Gradiente

∫_W ∇a dw = ∫_W da_i/dx_i dw = - ∫_A a n^î'dA = - ∫_A ân̂ dA -> vettore

Meccanica del Continuo:

dal punto di vista fisico non ci sono vuoti nei fluidi, dal punto di vista matematico può essere descritto da funzioni continue.

_volume ^superficie

equilibrio dinamico -> ΣF_estn_e = ΣF_volume + ΣF_superficie

a = 0 quiete o moto uniforme = ma = inerzie_{(α* 1'propioscienza')'}

vettore normale n̂ concordemente con uno entrante nel volume fluido.

⟳ ^{frizo normale}

⟳ ^{frizo tangenziale}

sforzo F̅_n = lim ΔF_s/ΔA -> dA_{sconto le componenti (moi attori) nello sforzo}

_S=∫_AΦ_ndA

⃗ =D con pressione o "tensione" ( > 0 )

Le componenti isotropo degli effetti normali viene chiamata pressione

la cui azione da orientamento superficiale,

quindi non comportamento in tutte le direzioni spaziali.

PROPRIETÀ DEI FLUIDI

densità

_H2O=1000 Kg/m³

=(p,T)

= M/V [Kg/m³]

ρ=cost

massa costante (volume = densità)

=_mol/RT

gas perfetti V=nRT ma n=M/M_mol

peso specifico

γ=g [N/m³]

peso (=forza peso) specifico al volume

comprensibilità

proprietà del fluido di cambiare volume (densità) a variabile aurea pressione

E_H2O=2⋅10⁹ Pa

ΔP → ΔW (Pa=N/m²)

ε (MPa)

se T=con (condizioni isoterme) ΔW= -1/E ΔP W

∫→+∞ → fluido incomprensibile

dW/W = - dP/ε

d(V)=0 = ρdW+d

condizioni isorie ρW=con

se ε→