Corso completo meccanica dei fluidi

prodotto scalare a · b = a_i b_i

prodotto tensoriale a_i b_j = a_i b_j (tensore colonna)

prodotto misto a · (b × c) = a_i b_j c_k (tensore colonna)

∇ = (d/dx_i, d/dy_j, d/dz_k) operatore nabla

∇a = d_i d_j gradiente di un vero scalare ⇒ vettore

(∇a)_i = d_i gradiente di un vettore ⇒ tensore

∇ · a = d_i a_i divergenza di un tensore ⇒ scalare

∇ · a = d_i a_i divergenza di un tensore ⇒ vettore

TEO DIVERGENZA

∫_W ∇ · a dw = ∫_W d_i a dw = - ∫_A a_i n ⁱ dA = - ∫_A (∇a) · n dA ⇒ scalare

TEO GRADIENTE

∫_W ∇a dw = ∫_W d_i aⁱ dw = - ∫_A a_i nⁱ dA = - ∫_A a n dA ⇒ vettore

MECCANICA DEL CONTINUO

punto ai vincoli solo _{vel\_vin \ _corrente \ \sigma, (a \ \pi)\, \theta} vincoli fissi, \ c \r _{vel \_relative}. punto ai vincoli

equilibrio dinamico ⇒ Σ forze interne = Σ forze nel sistema = Σ superfici

a = quiete o moto uniforme = ma = inerzia ("proporzionale")

vettore normale, consensoiment con una espicente, nel sistema fisico.

sforzo F_n = lim (dA→0) AFS/d_s dA

• frizo normale (iversiazatti i vincoli)
• frizo tangenziale

fs = ∫_A Φn dA

β = D compressione o "dilazione"

la componente rotazione degli assi locali viene chiamata tensione g, non dipende da orientamento superfici punti reso comportamento in atto e adizioni spaziali.

Proprietà dei fluidi

densità ρ_H2O = 1000 ^kg/_m³

ρ = ρ(p,T) ρ = ^M / _V [^kg/_m³]

ρ = cost. ⇒ fluido incomprimibile

gas perfetti pV=nRT ma n = ^M/_Mmol ⇒ ρ = ^{p M_mol} / _RT

peso specifico peso (= forza peso) specifico al volume

γ = ρ g [^N/_m³]

Comprimibilità

proprietà del fluido di cambiare volume (densità) se variate alcune sollecitazione

Δp ⇒ ΔW (^Pa = ^N/_m²)

se T = cost. (condizioni isoterme) ΔW = -¹/_ε · ΔpW

ε (Mpa)

ε → +∞ ⇒ fluido incomprimibile

dW/_W = -^Δp/_ε

comunicazione isobara ρW=cost d(ρW) = 0 = ρdW + Wdρ

se ε → +∞ ⇒ dp = 0 ⇒ ρ = cost

cambio variazione densità comparare variazione densità

per esercizi ε rivelatore accanto

per gas perfetti β = ^{p M_mol} / _RT

df/ρ = ƒ/ε = ƒ/ε ⇒ ρ = ε

1 atm = 105 Pa

Legge di Stevino

Relazioni incomprimibili:

\(\rho = \text{cost}\)

\(\nabla \left( \frac{\tilde{t} + f}{\gamma} \right) = 0\)

\(\tilde{t} = \text{quota piezometrica}\)

Pl. = \text{altezza piezometrica}\)

\(\tilde{z} + Pl\)

\(\tilde{z} \approx t_{pa}\)

gas \(\upgamma \approx\phi \Rightarrow p = \text{cost}\)

pressione idrostatica \(p = P^* - P_{\text{atm}}\)

\(P = \gamma (\tilde{\zeta} - \tilde{t_i})\)

Relazioni incomprimibili:

\(\nabla P = - \rho \nabla \tilde{\zeta}\)

pressione \(p = P_{\text{0}}\)

\(R = R_{\text{M}}\)

Tensione Superficiale

γ_T [N/m]     forza per unità ai superficie che si oppone

applicare tangenzialmente a una superficie di interfaccia

per mantenere in equilibrio

UAS

vorrei vedere

∑_y = γW     π_Ty = ρi 2 sin (ψ/2) l

A = 2π r sin (ψ/2) l

     → ∑_F = ρ 2π r sin (ψ/2) l

∑₀ + ∑₈ + √ = √

i_i - ρe = γT/r = Δp

Δp = γ_T (1/r₁ + 1/r₂)

eq Laplace

EQ GLOBALE CONTINUITÀ

∫ (∂ρ/∂t + ∇·(ρv̅)) dW = 0

∫_W (∂ρ/∂t) dW + ∫_W d·(ρv̅) dW =

-∫_A ρv̅·n̂ dA = -∫_A ρv̅·n̂ dA

Corrente

Q_e = Q_u portate

fasci di linee di corrente non possono "convette"

piano in media alzare delle campaniti tfg eleosag

Unione baricentro inifinita visi triumphi essa volume

asse della colometa - artificio envi arclima cine linea

FLUIDI IDEALI

Flussi di tubi attali in dinamica

^{(V = cost)} => P̅ = ρ

TEOREMA DI BERNOULLI

Ip:

• Fluido ideale
• Fluido reale

EQ. EULERO

_{(V̅ = 0)}

=> ∇φ = dφ_i/dx_i = φp

dφ/dt + p ∇(ρv̅) = 0

=> ρ dV_t/dt⁺ ρ V²/r = -∇_t

Fluido incomprimibile

1/ρ dV₁/dt + 1/r V² = -∇_t - ∇(f/ρ) = ...

• Proietto lungo ^bⁿ (normale) => d/σ^{(ζ̅ + P/ρ)} = 0
• Proietto lungo ^n̅
• Proietto lungo t̅
• d/σ (^{ζ̅ + P/ρ}) = -1/ρ dν/dt

V_L = √2gℓ Q = A_c√2gℓ

A_c = C_cπd_c²/4     C_c = coeff di contrazione    Q_eff = C_cC_ve1πd₁²/4 √2gℓ

C_v ≈ 0.98    C_e ≈ 1.0, foro ordinario nel muso

-∇p = ϱ (ā - ǿ) = 0 ρ = 0    ∀_t ≥ t₂

V_L = √2gℓ

Q = A_c√2gℓ     Q_eff = C_vC_cπd²/4 √2gℓ

Efflusso sotto battente

ź₁ + P₁/γ + V₁²/2g = t₂ + P₂/γ + V₂²/2g .z_o

ź

ź₂ + P₂/γ = ź_c ź_o - ź_c = δ

V_L = √2g δ Q = C_cπd²/4 √2gδ Q_eff = C_vC_cπd₁²/4 √2gδ

Efflusso da parete

ź₂ + P₂/γ = ź_o ź_o - ź_e = (l - C_cā)

V_L = √2g (l - C_cā) Q = C_cC_c√2g (l - C_cā) Q_eff = C_vQ

MOTO TURBOLENTO

λ = λ (Re, R/D)

R / D → 0 autosimilarit^a limite ed uniforme relativa, ovvia R/D non influenza più le voci di λ

¹⁄_√λ = -2_log ^(2,51)⁄_{(Re √λ)} PRANDTL-VON KARMAN PER TUBI LISCI

C_f è una formula implicita, fidati, ti impone software e metodi iterativi

4000 < Re < 10000 formula Benius λ = 0,316 Re^-0,25

TUBI SCABRI

Re → +∞ autosimilarità incompleta o regredisce, ovvia Re non influenza più le voci di λ

MOTO ASSOLUTAMENTE (MAT) TURBOLENTO

¹⁄_√λ = -2_log ⁽¹⁾⁄_{(3,71 R / D)} PRANDTL-VON KARMAN PER TUBI SCABRI

C_f è una formula implicita, 1 ∞ = (-2_log ⁽¹⁾⁄_{(3,71 R / D)})^-2

MOTO TURBOLENTO A TRANSIZIONE

λ = λ (Re, R/D)

NIKURADSE = D sabbione uniforme ⁄ D solido tubi commerciali = D sabbione disuniforme R / D λ ricorre

C_b comprovamento differisce 1 al valore Re nella zona critica = D R = sabbione equivalente