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Flusso di efflusso sommerso battente
Si considera trascurabile la distanza tra la sezione contratta e il fondo del recipiente. Si crea una vena fluida, sempre con una sezione contratta. Applichiamo il teorema di Bernoulli alla traiettoria A-B:
Flusso di efflusso in atmosfera
In questo caso la distribuzione delle pressioni non è di tipo idrostatico. L'andamento della velocità è parabolico. Se il foro è molto più piccolo dell'altezza del recipiente, possiamo considerare una velocità media. Anche in questo caso la pressione nel punto B è quella atmosferica. Quindi la velocità varia in base all'altezza alla quale si trova il fluido.
Caso colonnina di fluido vs Caso efflusso in atmosfera
Equilibrio verticale: forza d'inerzia (caso colonnina di fluido) vs forza peso (caso efflusso in atmosfera). Quindi, se la pressione sul contorno della sezione contratta è quella atmosferica, siccome non...
c'è variazione di pressione con la quota z, anche all'interno del fluido la pressione sarà quella atmosferica.Potenza di una corrente: Quantità di energia che passa attraverso la sezione nell'unità di tempo. Tubo di flusso: Superficie tubolare che non è attraversata da fluido. Consideriamo un tubo di flusso di sezione dA: Portata attraverso il tubo di flusso. Carico totale (= energia meccanica totale) per unità di peso del fluido che attraversa la sezione. Peso del fluido che attraversa la sezione nell'unità di tempo. Potenza della corrente nel tubo di flusso. Per ottenere la potenza nell'intera corrente basta integrare: Introduciamo l'ipotesi di corrente lineare (o CGV): potenza cinetica della corrente. Possiamo definire un "coefficiente di ragguaglio" α: potenza cinetica di una corrente che ha la stessa portata.Estensione del teorema di Bernoulli alle correnti lineari (o CGV) (da una traiettoria ad una sezione)
A questo punto possiamo riscrivere la potenza cinetica:
Quindi la potenza della corrente sarà: energia specifica media del fluido nella sezione considerata
Quindi si può utilizzare il teorema di Bernoulli anche per una corrente gradualmente variata, a patto di correggere il carico della corrente con un coefficiente α che tiene conto del fatto che si sta sostituendo la distribuzione reale della velocità con una velocità media.
Moto turbolento:
Moto laminare:
Estensione del teorema di Bernoulli ai fluidi reali
Si elimina l'ipotesi di fluido ideale, cioè della conservazione dell'energia meccanica lungo il moto.
Con i fluidi reali c'è la presenza di sforzi tangenziali, che compiono un lavoro resistente al moto, che comporta una dissipazione di energia meccanica in calore.
Il carico totale quindi NON è più costante, ma va progressivamente
diminuendo.(serbatoi infiniti => pelo libero costante => y costante)moto permanente
Nel caso di fluido ideale la LCT e la LP sono orizzontali.
Nel caso di fluido reale, dato che nel condotto la portata e la sezione sono costanti, anche gli sforzi τ sono costanti.
Ma avere τ costante vuol dire che a pari percorsi, corrispondono pari diminuzioni di energia, quindi la lineapiezometrica è una retta con pendenza costante.
Dato che la velocità lungo il condotto è costante, la LCT è una retta parallela alla LP.questa è la derivata della velocità lungo n, non lungo s!!!
A questo punto possiamo definire: perdita di energia specifica del fluido nell'unità di percorso
Cadente:
Di fatto è la pendenza locale della LCT.
Se :- anche la pendenza della LCT è costante- LCT e LP sono parallele, quindi J sarà anche la pendenza locale della LP:se
Sia L la lunghezza del condotto, la LCT si abbassa complessivamente di una
quantità JL Quindi il dislivello y sarà: da questa scrittura è evidente come non tutta l'energia potenziale in ingresso si trasforma in energia cinetica, ma una parte (JL) si dissipa in calore. Le dissipazioni responsabili di una velocità inferiore rispetto al caso ideale sono chiamate "perdite di carico di tipo distribuito". Vediamo adesso le "perdite di carico di tipo localizzato". Si hanno ogni volta che viene meno la linearità della corrente. Per esempio in corrispondenza di imbocchi, sbocchi, curve a gomito, ecc, dove si ha una brusca perdita di energia localizzata. Carico in corrispondenza di una generica ascissa s: perdite localizzate che si incontrano lungo il percorso. Le perdite di carico localizzate sono proporzionali all'energia cinetica della corrente: Vediamo ancora lo stesso sistema, siamo in condizioni di fluido reale e pesante: Nel condotto la velocità è costante, quindi LCT e LP sono parallele.corrispondenza della sezione contratta invece si ha una velocità superiore, e quindi sarà maggiore la distanza tra LCT (uncino piezometrico) e LP. Allo sbocco invece la velocità diminuisce gradualmente. Nella sezione contratta in questo caso c'è anche α rispetto al caso precedente perché stiamo considerando tutta la corrente, non solo una traiettoria. Il nostro obiettivo è trovare la cadente J, per farlo però dobbiamo introdurre: Teorema π (o Teorema di Buckingham) Definizioni preliminari: - Dimensione: misura (priva di valore numerico) di una quantità fisica - Unità di misura: modo per assegnare un numero alla dimensione 7 dimensioni fondamentali: tutte le altre dimensioni possono essere ottenute come combinazione di queste 7. Si può adimensionalizzare una qualsiasi variabile dividendo la per un gruppo di variabili il cui prodotto ha le stesse dimensioni della variabile originaria. Esempio: Prendiamo una qualsiasi variabile esupponiamo che esista un legame tra questa variabile ed n grandezze: variabili di controllo variabile di stato è la funzione che vogliamo determinare. Per determinarla ci sono diverse alternative: Un modo è la sperimentazione (in laboratorio) numero di esperimenti richiesti: Si fanno variare le variabili di controllo una alla volta, in questo modo è possibile valutare l'effetto della singola variabile di controllo sulla variabile di stato, per evitare problemi di sovrapposizione degli effetti. Il problema è che affinché si possa valutare l'effetto che una variabile di controllo ha su una variabile di stato, bisogna fare almeno 10 prove per ogni variabile. Per semplificare il problema si può passare da un sistema di unità di misura standard, ad un sistema di misura intrinseco al problema (si può fare perché il legame tra variabili di stato e di controllo sussiste indipendente dal sistema di misura). Per farlo si possonoadimensionalizzare le variabili. Si scelgono k grandezze (scelte tra le variabili di controllo del problema) che siano dimensionalmente indipendenti tra loro. Il numero k dipende dal numero di variabili del sistema. (In problemi meccanici k=3: terna base) Siano 3 variabili di controllo scelte come terna base allora adimensionalizzare le variabili di stato e di controllo in funzione di questa terna base significa che si può scrivere la generica variabile Πi: Dato che abbiamo detto che il legame fisico tra variabili non dipende dal sistema di unità di misura, allora si potrà scrivere: Le funzioni f e f1 sono diverse, perché è vero che il legame è lo stesso, ma la forma in cui questo si scrive dipende dal sistema di unità di misura. Vediamo adesso che: affinché num e den abbiano le stesse dimensioni, esiccome g1, g2 e g3 sono dimensionalmente indipendenti. Lo stesso vale per Π2 e Π3, quindi: Π0 non dipende più dalle prime tre.
variabili Ecco quindi che grazie al teorema di Buckingham, attraverso una scelta opportuna della terna base, si può ridurre il numero delle variabili di controllo di 3 unità. Vantaggi di applicare il teorema di Buckingham: - riduzione del numero di esperimenti necessari a valutare f - poter valutare l'influenza di un gruppo Π, modificando solo una delle quantità fisiche che lo compongono. Per esempio, qua bisognerebbe cambiare fluido per modificare μ e ρ, però si può far variare la velocità e il diametro per modificare il gruppo Πμ, quindi si può capire l'influenza di μ e ρ senza cambiare fluido, semplicemente facendo variare V e D - permette di confrontare sistemi tra loro simili, ovvero ricorrere alla "modellazione" Una volta che si è adimensionalizzato, si può sempre tornare alla funzione originale: Le variabili di controllo devono essere scelte utilizzando il buon senso el'esperienza.Se si sceglie una variabile di controllo errata non c'è problema, semplicemente g0 non varierà, quindi è facile accorgersene.Come si fa a scegliere? Bisogna mettere:- le caratteristiche del fluido (ρ=densità, μ=viscosità, ε=comprimibilità, s=tensione superficiale)- le caratteristiche dei materiali che compongono il sistema (r=rugosità/scabrezza)- le caratteristiche geometriche del sistema (L, θ)- le condizioni al contorno di tipo cinematico (V, a)- le forze esterne (di volume o di superficie) (p, g)Le variabili di controllo devono essere indipendentiPer esempio se si è inserita la portata e la superficie della sezione, non bisogna inserire anche la velocità.Un altro vantaggio del teorema π, è che:si possono combinare i gruppi adimensionali, purché se ne mantenga il numero e l'indipendenzaQuesto è comodo perché è più semplice
ricondursi ad alcuni gruppi adimensionali che sono significativi a livello fisico: - Determina la transizione tra motoforze d'inerzia: Numero di Reynolds - Laminare e moto turbolento: Forze viscose - Forze d'inerzia superfici libere (il peso è significativo): Numero di Froude - Forza peso: Forze d'inerzia fluidi comprimibili: Numero di Mach - Forze di comprimibilità: Forze d'inerzia sistemi con interfaccia tra due fluidi diversi: Numero di Weber - Forze di tensione superficiale: Forze d'inerzia locali moti periodici: Numero di Strouhal - Forze d'inerzia globali: Forze di pressione quando la pressione o il suo gradiente è significativo: Numero di Euler - Forze d'inerzia: Autosimilitudine In alcuni fenomeni può accadere che la dipendenza da una variabile di controllo svanisca, se la variabile di controllo assume valori molto grandi o molto piccoli. Data finita c'è "autosimilitudine" come in questo caso il fenomeno di.
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