Corso completo di Matematica finanziaria

Introduzione

La formula statistica per il calcolo del peso ideale di un soggetto maschio (di 22anni) è: peso/(altezza)². L'altezza viene elevata al quadrato per distribuire il peso su un’area. Se il risultato è minore di 20, si è sottopeso; compreso tra 20 e 25, normopeso; e maggiore di 25, sovrappeso.

Metodologie

(Grafico che mette a confronto la razionalità della formula valutativa con la dimostrabilità del valore ricavando metodi finanziari → reddituali misti patrimoniali empirici e di mercato più si procede verso → → → l'angolo in basso a destra).

Benjamin Graham

Benjamin Graham, maestro di Warren Buffett e value investor, sostiene che bisogna investire in imprese che abbiano:

• Dimensione adeguata (no aziende < 100 milioni di fatturato/50 milioni di utilities);
• Forte situazione finanziaria (attività = 2*passività correnti per le imprese industriali e debito di utilities < 2*mezzi propri);
• Stabilità degli utili (positivi negli ultimi 5 anni);
• Dividendi regolari (pagati ininterrottamente per 20 anni);
• Crescita degli utili (tasso di crescita annuo medio di almeno il 2,9% negli ultimi 10 anni);
• Rapporto P/E basso (minore di 15 considerando gli utili medi degli ultimi 3 anni);
• Rapporto P/PN basso (minore di 1,5 volte il P/PN dell'ultimo bilancio).

Il PN viene chiamato in inglese "book value". In generale, Graham sostiene che un’impresa da comprare non debba avere P/E * P/PN > 22,5. Ma perché il P/E deve essere proprio minore di 15? All'epoca di Graham era plausibile un aumento di valore medio (per una ditta sana) del 7% annuo circa, il che avrebbe portato il valore della stessa a raddoppiare nel giro di 10 anni (visto che 1,07¹⁰ = 2), quindi l’inverso è 1/0,07 = 14 < 15.

Funzione logistica

La funzione logistica descrive l'andamento delle imprese/prodotti di successo, inizia in modo esponenziale fino ad arrivare a un punto di flesso in cui l'accelerazione delle vendite diminuisce sempre di più fino a che arrivano a un livello costante. Da qui può succedere che l'azienda non resti al passo dei concorrenti e quindi torni a zero, oppure, se riesce a conquistare altri mercati, avremo una doppia logistica. Anche il Covid è andato in modo logistico grazie alle manovre messe in atto in Italia, ma minacciava di restare esponenziale fino a raggiungere tutta la popolazione. L’equazione della funzione è Vt = k/(1+e^-at), ci sono 3 parametri (a, b e k) e una variabile dipendente (t).

Analisi tecnica

Questa funzione viene usata anche nel campo azionario, un'azione è da comprare all'inizio della crescita esponenziale e da vendere dopo il punto di flesso.

Attualizzazione e capitalizzazione

Prestazione/situazione finanziaria (S,t): S indica un importo (ad esempio in Euro) e t indica un’epoca in cui tale importo è disponibile. Un’operazione finanziaria semplice è il contratto di scambio della prestazione finanziaria (Pt1,t1) con (Mt2, t2). Si chiama operazione finanziaria d’investimento quella in cui, noto Pt1, l’importo Mt2 ("montante" al tempo 2) viene determinato contrattualmente. L'interesse I si assume positivo (per il postulato di rendimento del denaro) e si calcola come: I_t1,t2 = Mt2 – Pt1. L'operazione finanziaria di sconto/attualizzazione determina sempre Pt1 contrattualmente (noto solo Mt2). Il capitale viene anticipato alla data attuale rispetto a una data futura in cui sarà disponibile. Lo sconto D si calcola come Mt2 – Pt1 = D_t2,t1. Mt2 = f(t1, Pt1, t2) e Pt1 = g(t1, Mt2, t2). La funzione f è crescente rispetto a Pt1 e t2 e la funzione g è crescente rispetto a Mt2 e decrescente rispetto a t2. Insieme definiscono il rapporto di scambio.

Condizione d’indipendenza dell’importo

Assumendo che f e g siano omogenee di grado 1 rispetto al secondo argomento (valido solo entro certi limiti), f(t1, 1, t2) = r(t1, t2) e g(t1, 1, t2) = v(t1, t2).

Quindi per la stessa O.F. (operazione finanziaria): r(t1, t2) = v(t1, t2)^-1.

Capitalizzazione

Fattore di capitalizzazione: r(t1, t2) è il montante in t2 di un importo unitario investito in t1 (numero puro). In generale per Mt2, Pt1 = Mt2*v(t1, t2) e per il postulato di rendimento del denaro v(t1, t2) = Pt1/Mt2 < 1. Tasso d’interesse: i(t1, t2) = Mt2/Pt1 – 1 = r(t1, t2) – 1. Il TAN è il "tasso annuo nominale", il TAEG è il "tasso annuo effettivo globale" e considera anche i costi del finanziamento (ad esempio l’apertura della pratica…). Vennero introdotti per armonizzare i tempi di riferimento dei tassi delle case automobilistiche. Come per il tasso d’interesse lo stesso vale per il tasso di sconto, d(t1, t2) = D(t1, t2)/Mt2 = 1 – Pt1/Mt2, quindi d(t1, t2) = 1 – v(t1, t2). Quindi il fattore di attualizzazione v(d) = Pt1/Mt2 è diverso dal tasso di sconto d = 1 – v(d) (che si riferisce al semestre/periodo di riferimento, non all’anno!). Viceversa il tasso di sconto è semplicemente il tasso d’interesse attualizzato. Il tasso d’interesse è il tasso di sconto capitalizzato. d = i*v e i = d*r.

Uniformità

Il montante prodotto dall’investimento di un capitale tra due date t0 e t1 non muta se le due date vengono traslate di un uguale intervallo Δt (legge del montante invariante per traslazioni): r(t0, t1) = r(t0+Δt, t1+Δt). Lo stesso vale anche per il fattore di attualizzazione.

Scindibilità

Il montante prodotto dall’investimento di un capitale tra t0 e t1 non muta se a una qualsiasi data intermedia t1 si disinveste il montante maturato fino ad allora e lo si reinveste immediatamente per il periodo [t1, t2]. r(t0, t1)*r(t1, t2) = r(t0, t2). La scindibilità rende irrilevante la scelta dell’epoca di valutazione se si devono confrontare prestazioni finanziarie diverse. Infatti, se la legge non è scindibile, esiste almeno un’epoca intermedia per cui le prestazioni finanziarie hanno diverso valore.

Regime dell'Interesse Composto (RIC)

Gli interessi sono capitalizzati alla fine di ogni anno; ovvero, gli interessi capitalizzati producono interessi. Il RIC esprime leggi finanziarie uniformi: M_t+n = M_t+n-1 + M_t+n-1*i = Pt(1+i)ⁿ. r(t) = (1+i)^t, v(t) = (1+i)^-t, i(t) = (1+i)^t-1. Vale per qualsiasi durata, per ogni t ≥ 1: d(t) = 1 – (1+i)^-t.

Tassi Equivalenti nel RIC

Due tassi si dicono equivalenti se, in corrispondenza dello stesso intervallo temporale, producono il medesimo montante per lo stesso regime finanziario. L’equazione deve risultare vera per il fattore di attualizzazione D, non per il tasso di sconto d. (1+i) = (1+i_1/m)^m. Quindi, se abbiamo i annuale, per calcolare i mensile non si divide per 12, si deve applicare la formula inversa: i_1/m = (1+i)^1/m – 1.

Tasso nominale

Data la frazione di (1/m)-mo d’anno, è il tasso annuo d’interesse convertibile m volte all’anno. J(m) = m*i_1/m. Rispetto a quello effettivo J(m) = m((1+i)^1/m – 1). Il TAN viene utilizzato per operazioni finanziarie in senso lato, il TAEG per operazioni di credito al consumo. J(m) non è un tasso ma un’intensità (ha dimensione t^-1), infatti J(m) = (i_1/m)/(1/m).

Regime dello Sconto Commerciale

Intensità istantanea d'Interesse

Nel RIC, dato un certo tasso annuo i, per ogni m>1 si ha J(m) = m*i_1/m < i e si dimostra che la successione {J(m), m = 2,3,…} è decrescente. Il suo limite, per m → ∞ (quindi un anno diviso in infiniti periodi) risulta lim per m → ∞ di J(m) = ln(1+i), che è chiamata impropriamente anche "tasso istantaneo d’interesse" e si denota con δ. 1+i = e^δ.

Legge di capitalizzazione continua

Dal δ si ottiene le funzioni del RIC: r(t) = e^δt, v(t) = e^-δt, i(t) = e^δt – 1, d(t) = 1 – e^-δt. Intensità d’interesse in un generico regime finanziario: l’interesse prodotto tra t e t+Δt da un capitale unitario investito al tempo 0 è: I(t,t+Δt) = r(t+Δt) – r(t) = ((r(t+Δt) – r(t))/r(t))*r(t). Assumendo che r(t) sia continua e derivabile, con derivata prima continua in tutto il dominio: r(t₀+Δt) = r(t₀) + r'(t₀)Δt + o(Δt), sostituendo nell’equazione di prima diventa: I(t, t+Δt) = r(t)*(r'(t)/r(t))*Δt dove r'(t)/r(t) è δ(t), il tasso istantaneo (o "forza") d’interesse e misura il coefficiente di proporzionalità tra l’interesse maturato nell’intervallo [t, t+Δt] ed il capitale investito in r(t).

L’interesse in [t, t+Δt] è funzione lineare dell’ampiezza dell’intervallo Δt. Nel RIC la forza d’interesse è costante e quindi gli interessi maturano istante per istante in base alla costante δ. Inoltre, la forza d’interesse coincide col tasso istantaneo ed è indipendente dal periodo considerato. Quindi per l’interesse composto J(m) = m*i_1/m = i e la forza d’interesse δ(t) = r'(t)/r(t) = i/(1+i*t) è decrescente (e non soddisfa il criterio di scindibilità).

Regime dello Sconto Commerciale (RSC)

Il fattore di attualizzazione funzione del tasso di sconto d = i/(1+i) secondo una relazione lineare ("sconto lineare") è v(t, t+r) = 1 - n*d. Il vincolo rilevante per l’applicabilità del RSC è che r < 1/d. Se tale vincolo non fosse soddisfatto, si avrebbe un valore attuale non positivo a fronte di una somma positiva esigibile a scadenza. Per qualsiasi t abbiamo r(t) = (1-td)^-1, v(t) = 1 – td, i(t) = (1-td)^-1 - 1 e d(t) = td. ed = m*d_1/m δ(t) = r'(t)/r(t) = d/(1-td).

Equivalenze nel RSC

Nelle equivalenze nel RSC (+ confronto grafico), nel calcolo dei giorni nei problemi di matematica finanziaria va considerato il giorno in cui si investe ma non quello in cui si disinveste. Inoltre si considera l’anno commerciale (ogni mese vale 30 giorni). "Trimestri canonici".