Corso completo di Matematica finanziaria

Tassi Equivalenti nel RIC

Vale per qualsiasi durata, per ogni t → 1 d(t) = 1 - (1+i)ˉᵗ.

Due tassi si dicono equivalenti nel RIC se, in corrispondenza dello stesso intervallo temporale, producono il medesimo montante per lo stesso regime finanziario. L'equazione deve risultare vera per il fattore di attualizzazione D, non per il tasso di sconto d(1+i) = (1+i1/m)ᵐ.

Quindi, se abbiamo i annuale, per calcolare i mensile non si divide per 12, si deve applicare la formula inversa: 5i1/m = (1+i)^1/m - 1.

Tasso nominale: dato la frazione di (1/m)-mo d'anno, è il tasso annuo di interesse convertibile m volte all'anno.

J(m) = m*i1/m

Rispetto a quello effettivo J(m) = m((1+i)^1/m - 1). Il TAN viene utilizzato per operazioni finanziarie in senso lato, il TAEG per operazioni di credito al consumo.

J(m) non è un tasso ma un'intensità (ha dimensione tˉ¹), infatti J(m) = (i1/m)/(1/m).

Regime dello Sconto Commerciale

Intensità Istantanea

d’Interesse: nel RIC dato un certo tasso annuo i, per ogni m>1 si ha J(m) = m*i^(1/m) < i e si dimostra che la successione {J(m), m =2,3,...} è decrescente. Il suo limite, per m→∞ (quindi un anno diviso in infiniti periodi) risulta (...) lim per m → ∞ di J(m) = ln(1+i)→ Che è chiamata impropriamente anche "tasso istantaneo d'interesse" e si denota con δ. 1+i = e^δ, Legge di capitalizzazione continua: dal δ si ottiene le funzioni del RIC sono r(t) = e^δt, v(t) = e^(-δt), i(t) = e^δt – 1, d(t) = 1 – e^(-δt). Intensità d'interesse in un generico regime finanziario: l'interesse prodotto tra te t+Dt da un capitale unitario investito al tempo 0 è: I(t,t+Dt) = r(t+Dt) – r(t) = ((r(t+Dt) – r(t))/r(t))*r(t). Assumendo che r(t) sia continua e derivabile, con derivata prima continua in tutto il dominio r(t0+Dt) = r(t0) + r'(t0)Dt + 0Dt, sostituendo

nell'equazione diprima diventa: I(t, t+Dt) = r(t)*(r'(t)/r(t))*Dt

Dove r'(t)/r(t) è δ(t), il tasso istantaneo (o "forza") d'interesse e misura il coefficiente di proporzionalità tra l'interesse maturato nell'intervallo [t, t+Dt] ed il capitale investito in r(t).

L'interesse in [t, t+Dt] è funzione lineare dell'ampiezza dell'intervallo Dt.

Nel RIC la forza d'interesse è costante e quindi gli interessi maturano istante per istante in base alla costante δ. Inoltre la forza d'interesse coincide col tasso istantaneo ed è indipendente dal periodo considerato. Quindi per l'interesse composto J(m) = m*i1/m = i e la forza d'interesse δ(t) = r'(t)/r(t) = i/(1+i*t) è decrescente (e non soddisfa il criterio di scindibilità).

Regime dello Sconto Commerciale (RSC): il fattore di attualizzazione è funzione del tasso di sconto d = i/(1+i) secondo una

La relazione lineare ("scontolineare") è v(t, t+r) = 1 - n*d, il vincolo rilevante per l'applicabilità del RSC è che r < 1/d. Se tale vincolo non fosse soddisfatto si avrebbe un valore attuale non positivo ar(t) fronte di una somma positiva esigibile a scadenza. Per qualsiasi t abbiamo v(t) = (1-td)^-1, i(t) = 1 - td, d(t) = td.ed = m*d1/m Δ(t) = r'(t)/r(t) = d/(1-td). Equivalenze nel RSC: e (+ confronto grafico).

Nel calcolo dei giorni nei problemi di matematica finanziaria va considerato il giorno in cui si investe ma non quello in cui si disinveste. Inoltre si considera l'anno commerciale (ogni mese vale 30 giorni).

"trimestri canonici" Nei (al 30 Marzo/Giugno/Settembre/Dicembre) c'è sempre la capitalizzazione degli interessi. Stessa cosa si ha la capitalizzazione quando c'è la frase "e in ogni caso al 31 Dicembre".

7- Bisogna cercare tra le 4

Capitalizzazioni quella più vicina alla nostra data di disinvestimento. I(0, 1, 2) significa l'interesse che viene dato all'anno zero (ora), vale a partire dall'anno 1 e terminerà nell'anno 2.

Se non si ha scindibilità allora c'è una situazione di arbitraggio (guadagno senza rischio). Rendita "Insieme di prestazioni finanziarie esigibili in epoche diverse prefissate". Il periodo durata è l'intervallo di tempo fra due pagamenti consecutivi, la invece misura l'intervallo di tempo fra l'inizio del primo periodo e la fine dell'ultimo. Siamo in RIC e la legge finanziaria è scindibile.

Una rendita può essere:

• periodica o non periodica;
• costante o variabile;
• intera o frazionata;
• continua;
• temporanea o perpetua;
• anticipata o posticipata;
• immediata o differita.

Se T (epoca di valutazione) è < t1, il valore attuale Vָ = Σᵑ Rts*v(T, ts), se s=1 invece T

t1, il montante Wָ = Σᵑ Rts*r(ts, T). Inoltre per ogni epoca t1 < Ts=1< tn Vָ = Σᵀ Rts*r(ts, T) + Σᵑ Rts*v(T, ts)s=1 s = t+1

Valore attuale di una rendita periodica costante unitaria (in t=0):V = (…) = (1-(1+i)ˉᵑ)/i dove (1-(1+i)ˉᵑ)/i si chiama “a figurato n al tasso i”.

Montante di una rendita periodica costante unitaria (in t=n):W = (…) = ((1+i)ᵑ-1)/i dove ((1+i)ᵑ-1)/i si chiama “δ figurato n al tasso i”.

Mutuo

Nel caso la rendita sia costante/periodica/intera/immediata/anticipata etemporanea si ha che V = Σᵑˉ¹ R*(1+i)^-s = R(1+i)*(a figurato n al tasso i).0 s=0

Nel caso invece sia posticipata e perpetua V = (…) = R*(a figurato n al tasso0i). in questo caso a figurato n al tasso i è uguale al limite per noo di a figuraton al tasso i che è uguale a 1/i, quindi:V = R/i0

Essendo ciò, il valore di una rendita futura non si distribuisce in modo uniforme ma

Nei primi 20 anni si concentra l'85% di esso. È per questo che di solito si affitta ad esempio una casa al 20° anno o 30° anno e si propone all'affittuario l'acquisto definitivo di essa (di solito ad un prezzo agevolato). Infatti dopo il 30° anno comincia a dover essere ristrutturata e rende meno.

Se il tasso della rendita si abbassa, la distribuzione della rendita diventa più uniforme.

Differimento di K: il valore attuale di una rendita differita di k periodi è uguale al valore della corrispondente rendita immediata moltiplicata per (1+k)^-k.

V = (...) = R(1+i)^-k * (a differito n al tasso i)0

Se invece dell'anno usiamo frazioni di esso ("m-esimi"), V = (...) = R(1-0(1+i )^-nm)/i = R*(a figurato nm al tasso i ).

Quando la rendita è anticipata, a figurato n al tasso i si scrive con due puntini sopra.

(+ tabella di confronto rendita anticipata/posticipata)

Rendita a rate variabili in progressione geometrica (per/int/imm/post/temp).

con n rate crescenti): V = R((1+i)ˉ¹+q(1+i)ˉ²+ … + qⁿˉ¹(1+i)ˉⁿ) coefficiente di adeguamento della rata, q è il R = R *qt+1 t- se qv = 1 V = Rvn; 0- se qv ≠ 1 V = Rv((1-(qv)ⁿ)/(1-qv)). 0 Rendita a rate variabili in progressione aritmetica: valgono le stesse condizioni ma R = R + z.t+1 t V = Rv + (R+z)v² + … + [R+(n-1)z]vⁿ Moltiplicando entrambi i membri per (1+i) l’esponente viene diminuito di 1, sottraendo le due equazioni membro a membro infine viene: V = R(a figurato n al tasso i) + z((a figurato n al tasso i - nvⁿ)/i) Problemi Inversi: dato il valore attuale di una rendita bisogna determinare la rata R o il numero di rate n o il tasso i. considerando una rendita cost/per/int/imm/post/temp, R = V /a figurato n al tasso i = V i/(1-(1+i)ˉⁿ) n = -ln(1- V i/R)/ln(1+i) con V i/R < 10 Il calcolo di n è utile anche per capire quale mutuo ci convenga di più quando andiamo in banca. TIR di una rendita: altro

Il problema inverso è quello dell'"internal investment rate" all'inglese, che serve ad attualizzare le varie rate. Esistono 3 modi ma noi trattiamo solo quello del Calcolo con algoritmo iterativo: si ricavano due valori (uno positivo, maggiore e l'altro negativo, minore) dalla differenza tra I e la rendita, in mezzo ad essi c'è lo zero, in corrispondenza dello zero c'è il TIR esatto ma non potendo andare avanti all'infinito bisogna accontentarsi di un certo grado di accuratezza scelto inizialmente.

F(i) = -V + Σᵑ R /(1+i)^t, si cerca lo zero della funzione ponendo la derivata prima < 0.

Il mutuo è un contratto col quale una parte consegna all'altra una determinata quantità di denaro o di altre cose fungibili e l'altra si obbliga a restituire altrettante cose della stessa specie e qualità. - c'è un mutuante ed un mutuatario, un tasso tecnico, un

Il pianod'ammortamento (prospetto dei pagamenti), un valore residuo (valoreattuale = nuda proprietà + usufrutto, in base ad un tasso di valutazionedegli importi che il mutuatario deve ancora corrispondere) e un debitoresiduo (valore residuo*tasso tecnico).

La somma da ridare alla scadenza si calcola come R = X(1+i)ᵑ, il valore residuoall'epoca t invece è V = {R(1+i')^-(n-t) se 0 < t < n e 0 se t=n.ti' è il tasso di valutazione del prestito,- è un tasso che viene usato pervalutare il valore del contratto del mutuante ed è diverso da i (tassotecnico del prestito).

Prestiti con unica quota d'ammortamento alla scadenza e pagamento periodicodegli interessi: (formule R , V , d = i/(1+i) che è il tasso di sconto)t tIl debito residuo rimane costante e pari ad X fino all'ultima scadenza. R sonotgli interessi annui posticipati, invece per calcolare quelli anticipati (nel caso incui il mutuante dia X già

diminuito degli interessi):
(formule R , V )
t tAmmortamenti progressivi: spesso si può frazionare il rimborso, in tal caso il mutuo è uno scambio di un'importo X con una rendita periodica R con scadenze n. W = X(1+i)^t – Σ R (1+i)^(t-s)t s≤t sV = -Σ R (1+i)^-(s-t)t s<t sequa,
Se l'operazione è in t = 0 deve risultare W + V = 0. L'equità è 0 0 mantenuta in ogni data perché l'O.F. è scindibile. Quindi il debito residuo è pari W = Dal montante in t, (per ogni t).t t- il debito residuo è la somma delle quote ancora dovute.