Correnti in pressione - idraulica

CORRENTI IN PRESSIONE

Generalità: moto laminare, moto turbolento, forze tangenziali viscose e turbolenti, moto uniforme e turbolento, perdite di carico localizzate, progetto e verifica di condotte.

Parliamo di moto uniforme in senso stretto se in tutti i campi di moto del fluido il vettore velocità ha lo stesso modulo direzione e verso.

Nella trattazione della vicinanza di trascinamento però abbiamo riconosciuto che per un fluido reale esiste una azione dovuta alla viscosità che fa sì che i diagrammi della velocità non possono essere uniformi all'interno di una tubazione. Infatti vi sono sforzi tangenziali che tendono a frenare il moto e quindi a rallentare la velocità in prossimità delle pareti.

Ragion per cui quando parliamo di moto laminare uniforme o moto turbolento uniforme, parliamo di moto uniforme in senso debole, ovvero riteniamo che le velocità si mantengono costanti su ogni traiettoria pur potendo variare da una traiettoria ad un'altra.

Lo studio del moto uniforme consiste essenzialmente nell'individuare la relazione fra la costante J e le grandezze da cui essa può dipendere:

• a) relative al condotto - forma e forma della sezione, scabrezza
• b) grandezze cinematiche - portata, velocità media
• c) grandezze fisiche relative al fluido - densità, viscosità, comprimibilità.

J = - ΔH / Δs _{perdita di energia dell’unità di peso del fluido nell'unità di percorso}

Se il moto è uniforme → la velocità V è costante su ogni traiettoria → per cui anche le distribuzioni delle velocità sono costanti → così come è costante le distribuzioni degli sforzi e quindi della pressione.

Poiché parliamo di moto uniforme, diamo per scontato che la corrente sia lineare e cioè le traiettorie sono rettilinee e parallele per cui la distribuzione della pressione risulta essere idrostatica.

Quindi, lungo tutte le traiettorie sn ha costante e quindi anche una unica linea parametrica per l'intera curvette.

È allora facile vedere come un condotto cilindrico anulare, gli sforzi tangenziali variano linearmente lungo il raggio, essendo nulli in corrispondenza dell'asse e massimi presso la parete.

Esaminiamo il caso di moto laminare per trarre qual è la legge di distribuzione degli sforzi tangenziali al variare del raggio, che ci dimostra quanto affermato prima.

Per fare ciò basta applicare l'equazione globale dell'equilibrio dinamico ad un volume di liquido di raggio r₁ < r < r₂ (raggio della condotta)

[Equazioni e disegni]

Otteniamo lo sforzo un'perficie dividendo la resistenza del moto T per l'area della superficie laterale:

^r2⁄_{1r²lh 2}  ^r₂⁄₂

[Note manoscritte]

Otteniamo la portata Q

Q = ∫A μ dA = _8J/^4μ ∫ _b²/(^4μ)^b2−x2 2πx dx = _{8J 2π}/^4μ ∫ _b²−x² 2 = _8J/^2μ π ∫ _−b^b dx − 2 ∫ ₀^b x dx + ∫ ₀^b x³ dx =

= _8J/^2μπ [  2x|₀^b − 1/2 x² |₀^b + 1/4 x⁴ |₀^b  ] =

= _8J/^2μπ [  2b − 1/2 b² + 1/4 b⁴  ] =

= _8J/^2μ (b) − _8J/^4μ (b³) + _8J/^32μ (b⁵).

Quindi la velocità media V

V = Q/A = _π/^{128 μ} _8J (1) ^b4 / (π) (b/2)² = 1 _8J/^{128 μ} (1) ^b2 =

Cioè V = 1/2 V_max (la velocità media V risulta metà di quella massima).

Se anziché del diametro del tubo si considera il raggio idraulico R

V = 1/32 μ (4R)² _8J R² = ₁₆/^{32 μ} 8J R² = 1/2 _8J/^μ R²

N.B.

Se consideriamo il fluido perfetto μ = 0, J = 0

dv/dx = 0 sarebbe impossibile trovare la distribuzione degli velocità.

∫_1/2^−1/2

Coefficiente di scambio kd = ₁/⁴_2π/^dx

d = 2

Moto Turbolento

• Caratteristiche del moto turbolento

Fissando l'attenzione su un punto notiamo che per effetto del moto di agitazione il vettore velocità cambia istante per istante.

Considerando un intervallo di tempo t₀, possiamo calcolare il valore medio temporale di v in t₀.

Al variare dell'intervallo di tempo varia anche il valore della velocità media fino a quando non si arriva ad un intervallo di tempo T sufficientemente ampio per il quale il valore medio di v in T rimane costante.

Per cui possiamo definire la velocità media temporale:

v̅ = ¹/_T ∫ v dt

Quindi possiamo definire la velocità istantanea v come la somma di un valore medio costante v̅ più un valore v' (componente di agitazione) che varia istante per istante.

v = v̅ + v'

v' gode della proprietà di avere il suo valore medio temporale nullo

v'̅ = ¹/_T ∫ v' dt = ¹/_T ∫ (v - v̅) dt = v - v̅ = 0

In termini fisici ciò vuol dire che le componenti di agitazione non danno alcun contributo al movimento di trasporto.

Strato limite viscoso

La distribuzione dello sforzo tangenziale è analoga che nel moto turbolento.

Esiste uno strato viscoso a contatto con la parte in cui si hanno solo sforzi di tipo viscoso.

Abbiamo detto che il moto turbolento dipende dalla velocità (maggiore è la v, maggiore è il grado di turbolenza) e dalle proprietà fisiche del liquido (viscosità μ e densità ρ), ma dobbiamo aggiungere anche la dipendenza dalla scabrezza delle parete, in quanto l'agitazione è tanto più intensa quanto più pronunciate sono le asperità delle parete.

• Andamento della velocità (media temporale) nel moto turbolento

τ = χ Πα z₂ = μ dv/dz + φ u'v'

dt/dξ = (χ Πα z/2μ) + (φ u'v'/μ')

Procedo ad integrare ottenendo:

u' = ∫ [(χ Πα z/2μ₂) + (φ u'v'/μ')] dz = ∫ (χ Πα z/2μ) dz + ∫ (φ u'v') dz/μ'

= ((δS z₂/16μ₂) + (φ/μ₁) ∫ (u'v') dz + C_nst

C_nst? Se fiamo con le condizioni di contorno {ξ=0, z=0/z?}

((δS z/8)/(4μ) - (φ u'v')/8 = ∫ (u'v'/μ₂) dz

Distribuzione velocità

Somma = 0

Indice di resistenza

Vincolo alle pareti

Di fatto, nel moto turbolento, è sempre minore che nel moto laminare ed infatti si ottengono i più perfetti

Applicazioni della A.D. al caso di moto assolutamente turbolento in tubo liscio. Numero di Reynolds.

z₀ = f(D, V, ρ)

z₀ = λ ⋅ D^-1 ⋅ V² ⋅ ρ⁰

z₀ [M L^-1 T^-2]   N = k_g⋅m/s²   1/m²   k_g/mL s²

D [L]   m V [L T^-1]   m/s ρ [M L^-3]   k_g/m³

M   1 = δ

L   -1 = α¹ ⋅ β¹ - 3δ

T   -2 = -β¹

δ = 1 d = 0 β = 2

α¹ = 0 ; β = 2 ; δ = 1

z₀ = λ₁ ⋅ D^-1 ⋅ V²

La teoria in questo caso non ci è in grado di fornire il valore di λ₁. In questo bisogna fare ricorso all'esperienza ed anche questa volta elemento controbilanciato. Basta una sola prova per determinare λ₁! Bisogna dire però che tale prova nella realtà non può essere compiuta per tubo liscio (molto piccolo in tal caso) poiché ancora non si è verificato il moto assolutamente turbolento in questo tubo.