Correnti in Pressione, Idraulica

CORRENTI IN PRESSIONE

• Generalità
• Moto laminare (in pressione)
• Moto turbolento (in pressione)
• Sforzi tangenziali viscosi e turbolenti
• Moto uniformemente turbolento
• Perdite di carico localizzate (che si verificano in punti singolari di una condotta)
• Progetto e verifica di condotte

Parlare del moto uniforme → (in senso stazionario) se in tutti i campi del moto il vettore velocità ha lo stesso modulo, direzione e verso.

D'altra parte Abbiamo appena riconosciuto che in un fluido tale esso è una azione dovuta alla viscosità, che i dati che i diagrammi della velocità non possono essere uniformi all'interno di una tubazione. Vi sono sforzi tangenziali che tendono a frenare il moto e quindi a ridurre la velocità in prossimità delle pareti.

Ragion per cui sia quando parliamo di moto laminare uniforme, o moto turbolento uniforme → parliamo di moto uniforme in senso debole, ovvero riteniamo che la velocità mantenga costanti su ogni traiettoria pur potendo variare da traiettoria a traiettoria.

Tutte queste condizioni di moto uniforme, che per potersi svolgere e ha assoluto bisogno di una condotta cilindrica (certamente non è possibile) rendono per la costanza della portata se l'area varia, variarebbe anche la velocità! quindi moto non potrebbe determinarsi

Lo studio del moto uniforme consiste essenzialmente nel trovare a dipendenza della cadente J

J = - _∂H/_∂s

perdita di energia per unità di peso di fluido per unità di percorso

Trovare questa cadente J come funzione dei parametri geometrici del condotto e della sua area, della sua forma e della sua scabrezza

Come funzione delle grandezze cinematiche della corrente (portata, velocità media)

Come funzione delle proprietà fisiche del fluido (viscosità, densità, comprimibilità)

Studiare il moto uniforme, significa dunque studiare queste dipendenze, che vanno particolarizzate nel caso del moto laminare e caso moto turbolento.

Se se moto è

UNIFORME

la velocità V è costante su ogni traiettoria

(Le velocità possono cambiare da traiettoria a traiettoria, ma su ogni traiettoria sono uguali a sé stesse.)

→

Se le velocità rimangono costanti → anche le DISTRIBUZIONI DELLE VELOCITÀ

RIMANGONO COSTANTI

→ naturalmente anche le distribuzione degli sforzi è costante

(_∂V/_∂n)

Il nostro elemento come area ha:

• Area 1 A₁
• Area 2 A₂
• Area A₀ (che è quella di contorno).

Ci sarà una normale all’area A₁.

n A₂, esisterà una

n A₂ e n A₀

Noi abbiamo calcolato il

dA

dtn

Vediamo che succede in A_x

Queste velocità variano rispetto ad A₁ ed A₂? Certamente no!

Le velocità variano dall’alto in basso

In orizzontale non variano, perché le velocità sono uguali in ogni traiettoria,

quindi

nella sezione d’ingresso e nella sezione d’uscita

A₁, A₂

V(h) = costante

=> 0

=> T = 0

questo integrale

T = μ

= 0

Naturalmente non vale questo ragionamento per A₀

da velocità varie

T = μ

nasce nell’alto

una forza T

Questa forza T la possiamo calcolare come abbiamo

calcolato l’azione di trascinamento. La geometria

del sistema è identica

Ora andiamo a guardare la condotta di raggio r₀ e vediamo se (come è distribuita la velocità) è distrib. in maniera simmetrica rispetto al centro, cioè tutti questi punti hanno la stessa velocità.

Avremo V₁ ≠ V₂ ≠ V₃ ≠ V₄ ma per simmetria sulla circonferenza le velocità sono tutte uguali.

Simmetria Radiale

• U = U₄
• U = U₂
• U = U₃
• U = U₄

Scendiamo a prendere l'area del cilindro, vedremo che lungo questo l'area la velocità è sempre uguale a sé stessa e inoltre lungo tutta l'area dV è sempre lo stesso.

(e quindi lo possiamo tirare fuori dall'integrale) perché costante.

Quindi possiamo scrivere:

T = γ_L w J = - μ _dv / _dr ∫_A0 dA

T = γ π r² L J = - μ _dv / _dr . 2π r L

fluido perfetto

V_media = ^Q⁄_A = ²⁄₃ * γ J * ^bh³⁄_2bh = ¹⁄₃ γ J * ^h²⁄_μ

che la dobbiamo confrontare con la velocità massima trovata prima

U_max = ^{γ J}⁄_{2 μ} h → V_med = ²⁄₃ U_max

Introducendo il raggio idraulico:

R = ^Area⁄_{contorno bagnato} = ^{b * zh}⁄_2b = h

Quindi V_media = ¹⁄₃ γ J * ^R²⁄_μ

Possiamo trarre conclusioni:

Per un condotto circolare V_medio = ¹⁄₂ γ J * ^R²⁄_μ

Per un moto piano indefinito V_media = ¹⁄₃ γ J * ^R²⁄_μ

In generale per un moto laminare V_med = α * γ J * ^R²⁄_μ

α = α funzione della forma

Deriviamo dal primo elemento dell'equazione globale, che è la spinta π

π = ∫_{A ϕn} dA

_ϕ è uno sforzo, lo possiamo pensare scomposto in uno

sforzo medio e in una componente di agitazione.

^-_ϕn = ^-_ϕ + ^'_ϕn

Perciò se vogliamo definire una spinta media dobbiamo

ridurre alla media temporale di questa quantità:

^-π = 1/T ∫₀^T dt ∫_{A ϕn} dA       SPINTA MEDIA

= 1/T ∫₀^T dt ∫_A (^-_ϕn + ^'_ϕn) dA

possiamo scambiare l'ordine d'integrazione perché i

limiti sono definiti, quindi:

^-π = ∫_A dA · 1/T ∫_T (^-_ϕn + ^'_ϕn) dt

^-_ϕn è una costante rispetto al tempo, quindi lo possiamo

tirar fuori

^-π = ∫_A ^-_ϕn dA + ∫_A dA · 1/T ∫_T ^'_ϕn dt

^'_ϕn vale zero perché

è la media di una compon.

di agitazione estesa al periodo

Principi di Analisi Dimensionale

Lo studio del moto turbolento è stato affrontato con l'approccio dell'analisi dimensionale

• Quando ragioniamo nella meccanica possiamo individuare le grandezze di interesse e esprimerle in funzione di grandezze che sono fondamentali
  • Lunghezza (nel S.I.)
  • Tempo
  • Massa

• Caratteristica delle grandezze fondamentali è di essere definite indipendentemente dalle altre.

Una qualsiasi grandezza può essere espressa in funzione di

[Q] = f (L, T, M)

L'equazione dimensionale deve essere del tipo

[Q] = L^α T^β M^δ

dove α, β, γ sono dei coefficienti i cui valori indicano anche la natura della grandezza Q.

• Ad esempio se Q è una velocità avremo (α=1, β=-1, γ=0)La velocità ha le dimensioni di metro al secondo

La quantità [Q] la definiamo dimensionale se almeno uno dei 3 elementi è diverso da zero. Diversamente, si definisce adimensionale.

• Grandezze derivate, dimensionale

• In funzione dei valori che assumono le 3 α, β, δ, possiamo qualificare le nostre grandezze:
  • Geometriche α ≠ 0 β = 0 γ = 0