Controllo non lineare

Controlli Non Lineari

Testo: Nonlinear Systems Third Edition

Autore: Hassan K. Khalil

Introduzione ai sistemi dinamici non lineari. I sistemi lineari sono semplici da usare (metodologia riferimento), mentre in quelli non lineari lo sviluppo è più complesso, sia con studio dei blocchi, sia devono essere eseguiti check per accettare della condizione chiusa. Sui sistemi non lineari (le onde non si stabiliscono dalla stabilità di sistemi a di stadi lineari è non potenza che prodotti con sistemi non lineari. A differenza dei sistemi lineari potremmo avere dei sistemi che attraversano un punto per uno multiplo cosa che non succede per lineari (avere all'infinito solo per -1+0j. Nei sistemi non lineari possono avere delle ambiguità o della socalità.

Un ₀ su ₁ si presenta in un grafo.

Un _{0 1}, esso non genera una _v stessa oscillazione ma non tracciando retta tra car e una sovrapposizione non disegno.

Accedi a un seno in ingresso un sistema lineare (feedback e un segnale in tutti lo stesse pulsazioni nei sist. non lineari si possa generare segnali in uscita che diverse pulsazione (la sotto multiple di quello di ingresso).

Tendenze del sistema non sarebbe frequentata sola da operatività situazioni e panache sviluppa degli stelle si sollevate caricamenti che andamento sarebbe modellata che un linguaggio uscita è dopo per sist. non lineari era generalizzazione vero è una punte dipendente dagli stili unici è dell'interpretele ecoglione.

Quindi adoperazione i _sui dove non lineari lo prendere una pietra saab comportamento del sistema tracciate alcuni (compositorezza non coppie passive tipo che è possibile sempre bene regolarmente.)

In alcuni casi controllo lineari, inzione vera per _{gm y} non hanno avere centro di via le tensione non avere ad un altro materia, della temperatura. Si ricerca sempre il controllo meno complesso senza comunque tra vita.

Modello autentici però sistemi non lineari.

Usare in modella in specie di stati con l'abbiano e aggiungi variabili al stato è ingressi, è uscite. Questi sono sistemi dinamici ci è non lineari richiede le domande.

x_i(t)=p_i(t,x₁,...,x_n,u₁,...,u_p)

x₂(t)=p₁(t,x₁,x_n,u₁,...,u_p)

x_n(t)=p_n(t,X,x_n,u₁,...,u_p)

x₁(t₀)=x₁₀...x_n(t₀)=x_n0

X=^T[x₁...x_n]

Y=^T[y₁...y_q]

U=^T[u₁...u_p]

con X∈Rⁿ Y∈R^q u∈R^p

P(t,x,u)=[p₁(t,x,u)...p_n(t,x,u)]

h(t,x)=[h₁(t,x)...h_q(t,x)]

x_i(t)=P(t,x,u)

x_i(t₀)=x₀

ẏ(t)=h(t,x)

Prod cartiano

XAϵIⁿ

La funzione ϱ è definita come:ϱ:_[0,∞)⊆D⊆Rⁿ

Esol continere Ω_u⊆Rⁿsystema X

Esempio

Supponare di avere x∈R³ u∈R² y∈R²

x̄₁=a₁₁x₁+a₂₁x₂+a₃₁x₃+a₄₁x,u₁+b₁₁₁u₂

Oscillatore a resistenza negativa

(esempio) - serve per generare oscillazioni.

Ciruito elettrico fatto così:

Nei punti in basso all'angolo

se si va approssimando con una retta, che avrebbe una inclinazione della retta con coefficiente angolare negativo e in particolare che h(u(t)) = u³/3 - u è vista sopra, dove u1 = 0 e u3 = ±√3 di queste funzioni, la derivata otteniamo h'(u) = du/dt

pendenza negativa

Ora consideriamo il circuito e scriviamo a partire dalle leggi dell'elettrotecnica applica Chier, Kirchoff sul nodo A:

i_L + i_C + i_R = 0 = dL/dt + di_C / dt + dL/dt = 0

Supporre che su un capacità var:M'_t(t) = du/dt

e inoltre L * dx_L/dt = i_L su 3 elementi sono in parallelo -> U_I = U_R = U

ddu/dt = i_C(t) / Cd_L x_L/dt = i_L(t)

Derivo la prima e ottengo

Lcd/dt + dL/dt = dL*

dL/dt = L du/dt - Ifrecand la sostituzione ottenga:

d²udt² + 1/c * d/dt+ 1/dt du/dt + di = 0

Devo calcoloti i punti di eq₀ = A x₀ + Bx ₀

x₁ = 2x₂

x₂ = 2x₁

x₂ = 2k

x₁ = 2x₁

infinite soluzioni

tutte le soluzioni chesono sulla retta k (x₂ = 2k)

La traiettoria che parte da un qualque punto sulla retta rimanelì e percio' non c’è evoluzione dei punti non converge nell'origineSe si prende un sistema più grande:

• x₁(t) = Ax con A^{0 1}
• Ax = 0
• X₁ = 0
• X₃ = 0
• x₃ = x₃ - k₃

Qui le soluzioni [=]

• x₁ = 0
• x₃ = 0

In R³ e l'equazione ossia il piano (x₂,x₃)x₃ = 2r in Rⁿ e in pianoossia il piano (x₁,x₂)

Il sistema x₃ e unaretta ossia la dire x₂

Qualuqn panti da oppuitio e x₁ è il punto di equilobrion in questocaso A_K² e un piano

A = ^{-3 1 1}

w (x n)

Le norme associate ad un punto dello spazio di R^n

La misura di tale punto si può definire anche in questo modo:

⋯x⋯₁ + ... + x_n⋯

Se 𝑧∈Rⁿ ho che:

• ∥𝑧∥₁ = ∧|x_i|
• ∥𝑧∥₂ = √|x₁² + x₂

Posso dire che:

• ∥𝑧∥₁ ≤ √|x₁² + x₂² + ... + x_n²|

Noterò che anche:

• ∥𝑧∥_∞ = max_{1…n}|x_i|, 𝑧∈Rⁿ

1. ⋯x⋯_∞ ⋙ ∥x₁⋯≤∥x₂⋯

Esempio

𝑧 = [4;3]

• ∥𝑧∥₀ = 1
• ∥𝑧∥₂ = √[16 + 9] = 5
• ∥𝑧∥_∞ = 7

𝑧 = [9]

• ∥𝑧∥₀ = 1 caso particolare
• ∥𝑧∥₂ = 9
• ∥𝑫∥₃

Si può definire la norma delle matrici Amx

• ∥A_mx∥ = √ (A^T . A)

Proprietà norma:

• 1) ⋯0⋯ = 0
• 2) ⋯𝑧.𝑨⋯≤⋯𝑧⋯⋯𝑨⋯
• 3) ⋯b . 𝑧⋯, ⇂ ∈ R |𝑧∥ |𝑧∥=|𝑧∥

Definizione

Supponiamo di avere 𝑧(x) = D^p ⋗Rⁿ un 𝑧∈ D diciamo che P

è continua m∈D se ∀Θʹ∃d_x≧0:

• ⋯x-y⋯≤δ_ε, allora 𝑧(x) - 𝑧(y)|𝑧(y)|≤ε

Definizione

Data P(x) ͬF; S ⋗ Rⁿ diciamo che P

è uniformemente continua in S se ∀εʹ∃δ_ε≧0:

• ⋯x-y⋯≤δ_ε 𝑧(x) |𝑧(y)⌈≤ε ∀χ𝑧𝑨∈S