Appunti: controllo dei sistemi

Lezione II

I concetti con cui avremo a che fare sono i sistemi a tempo continuo. I sistemi lineari tempo continuo sono descritti attraverso sistemi di equazioni differenziali e sono distinti in una parte che rappresenta le modalità con cui lo stato del sistema evolve nel tempo. A partire dallo stato del sistema si determinano delle uscite y(t) che sono ottenute manipolando opportunamente lo stato del sistema ed eventualmente gli ingressi.

dx/dt = A(t)x(t) + B(t)u(t)
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)

x(t) è un vettore.

u(t) è l'input del sistema. Anch'esso è un vettore.

y(t) è l'uscita del sistema anche esso un vettore.

I sistemi sono caratterizzati dalle 4 matrici: A(t), B(t), C(t) e D(t).

• A(t) è detta matrice dinamica del sistema.
• B(t) è la matrice degli ingressi.
• C(t) è la matrice delle uscite.
• D(t) mette in relazione le uscite con gli ingressi.

Nei sistemi tempo invarianti queste matrici non dipendono dal tempo.

Lezione II

I concetti con cui avremo a che fare sono i sistemi a tempo continuo. I sistemi lineari tempo continuo sono descritti attraverso sistemi di equazioni differenziali e sono distinti in una parte che rappresenta il modo in cui lo stato del sistema evolve nel tempo. A partire dallo stato del sistema si determinano delle uscite y(t) che sono ottenute manipolando opportunamente lo stato del sistema ed eventualmente gli ingressi.

dx/dt = A(t) x(t) + B(t) u(t)
y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t)

x(t) è un vettore.

u(t) è l'input del sistema. Anch'esso è un vettore.

y(t) è l'uscita del sistema anche essa è un vettore.

I sistemi sono caratterizzati dalle 4 matrici: A(t) B(t), C(t) e D(t).

• A(t) è detta matrice dinamica del sistema.
• B(t) è la matrice degli ingressi.
• C(t) è la matrice delle uscite.
• D(t) mette in relazione le uscite con gli ingressi.

Nei sistemi tempo invarianti queste matrici non dipendono dal tempo.

Sistemi dinamici a tempo continuo

I sistemi dinamici tempo continuo sono in genere di tipo ad M-ingressi, N-stati e P-uscite.

Le dimensioni delle matrici sono concordi con le dimensioni degli stati, degli ingressi e delle uscite.

A è una matrice quadrata N×N
B " " N×N
C " " P×N
D " " P×M

Se B e D sono nulli e quindi gli ingressi non hanno effetto sul sistema il sistema viene detto autonomo.

Se u(t) e y(t) sono scalari, il sistema è SISO.

Se ci sono più ingressi e più uscite è MIMO.

In genere in questo corso ci dedichiamo ai sistemi MIMO.

Sistemi a tempo discreto

L'equivalente ai sistemi tempo continuo sono i sistemi tempo discreto in cui il tempo Є Z.

Esiste un insieme di numeri interi.

La struttura non cambia se non per il fatto che non abbiamo più una sola equazione differenziale ma alcune equazioni che si chiamano equazioni alle differenze.

Vedere la differenza tra minimo numero e non lineari.

La realtà è non lineare, però la teoria che potrà lavorare in fase di sistemi lineari verrà spesso approssimando un sistema non lineare con uno approssimato lineare, e dà molte informazioni anche su quello non lineare.

Esempio

Supponiamo un sistema autonomo:

ẋ = Ax, y = Cx

È anche tempo invariante perché A e C non dipendono dal tempo.

Supponendo: x(t) ∈ R¹⁶   16 stati
y(t) ∈ R   1 sola uscita.

Nel primo vediamo un'uscita molto irregolare a 350 secondi.

Nella seconda a 1000 secondi.

Guardando solo il grafico non avrebbe mai lineari.

In realtà le precedenti sono uscite del sistema lineare.

L'uscita dell'intera uscita dalla risposta ziono di 8 uscite legati a poli del sistema.

Sistema con ingressi e uscite

Supponiamo di avere il sistema:

.x = Ax + Bv
y = Cx ; x(0) = 0

Supponiamo che la matrice degli ingressi B sia 6 x 2, e lo stesso sistema precedente in cui poniamo aggiungiamo 2 ingressi al sistema e abbiamo 2 uscite. C ∈ ℝ^2x6

Supponiamo di volere un'uscita desiderata.

y_des = (1, -2)

Dobbiamo trovare una sequenza di ingressi appropriata per avere y_des. Un modo banale di risolvere il problema è quello di mettersi nella posizione statica.

.x = 0 = Ax + Bv_static, y = y_des = Cx
v_static = (-CA^-1B^-1) y_des = [-0,63 0,36]

Questa è la parte di introduzione all'algebra e ai sistemi lineari. In questa prima parte vedremo sistemi non dipendenti dal tempo.

Consideriamo un sistema di eq. lineari:

y₁ = a