Appunti: controllo dei sistemi

LEZIONE I

I concetti che ci accingiamo a che fare sono sistemi a tempo continuo. I sistemi lineari tempo continui sono descritti attraverso sistemi di equazioni differenziali e sono definiti in uno spazio che rappresenta il numero in cui lo stato del sistema evolve nel tempo. A partire dallo stato del sistema si definiscono delle uscite y(t) che sono ottenute manipolando opportunamente di stato del sistema ed eventualmente gli ingressi.

dx/dt = A(t)x(t) + B(t)u(t)

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)

• x(t) è un vettore.
• u(t) è l'input del sistema. Anch'esso è un vettore.
• y(t) è l'uscita del sistema anche esso un vettore.

I sistemi sono caratterizzati dalle 4 matrici:

• A(t) B(t), C(t), e D(t)

• A(t) è detta matrice dinamica del sistema.
• B(t) è la matrice degli ingressi.
• C(t) è la matrice delle uscite.
• D(t) mette in relazione le uscite con gli ingressi.

Nei sistemi tempo invarianti queste matrici non dipendono dal tempo.

I sistemi dinamici tempo continuo sono in generale

di ordine n, con m ingressi, n stati e p uscite.

Le dimensioni delle matrici sono concordi con

le dimensioni degli stati, degli ingressi e delle uscite.

• A è una matrice quadrata N×N
• B " " N×N
• C " " P×N
• D " " P×M

Se B e D sono nulli e quindi gli ingressi non

hanno effetto sul sistema il sistema viene detto autonomo.

Se u(t) e y(t) sono scalari il sistema è SISO

se ci sono più ingressi e più uscite è MIMO

In generale in questo corso ci dedichiamo ai sistemi MIMO

L'equivalente ai sistemi tempo continuo sono i sistemi

tempo discreto in cui il tempo t Є Z varia

cioè in un insieme di numeri interi.

La struttura non cambia se non per il fatto

che non abbiamo più una sola equazione diferenziale

ma abbiamo equazioni che si chiamano

equazioni alle differenze

di vedere la differenza tra sistemi lineari e non lineari

la teoria dei sistemi

non lineari si basa sui sistemi lineari però!

approssimando un sistema non lineare con uno

Possiamo interpretare i coefficienti a_ij della matrice A come il guadagno tra il j-esimo input (x_j) e l'i-esimo output (y_i):

Se guardo la matrice A e prendo la i-esima riga della matrice A sto guardando alla “componente” i-esima di y

j-esima colonna di A invece ha relazione con gli imput.

y ∈ ℝ³ x ∈ ℝ⁶

la matrice A avrà dimensioni 3x6.

Se voglio sapere sull'uscita y_i tra i 6 input x_i...x₆ quale ha maggiore influenza, allora devo prendere la riga della matrice A corrispondente ad y_i (la i-esima riga relazione l'i-esimo output). Se prendo la colonna ho informazione su come un ingresso influenzia tutti gli output.

Supponiamo di avere una funzione f:

f: R^m → R^m

con f non lineare. Se ci mettiamo nell’intorno di un punto x_o in cui la funzione è differenziabile possiamo approssimare la funzione f(x) con:

f(x)_o + D [f(x)] (x-x_o)

Dove i termini della matrice Jacobiana sono le derivate delle componenti di f rispetto alle variabili x_j valutate in x_o.

La linearizzazione della funzione vale all’interno di questo punto.

Per piccoli valori la variazione della funzione può essere approssimata con le precedenti relazioni lineari.

Esprimere in Algebra

Supponiamo di avere A ∈ R^m×n, scriviamola in termini delle sue colonne:

A = [ a₁, a₂, ..., a_n ]

ciascuno di questi vettori (a₁, a₂, ..., a_n) formato da m elementi. Se leggo la matrice A per colonne la relazione:

y = Ax

Lezione II

05/03/2015

La prima nozione è quella di spazi vettoriali. Uno spazio vettoriale è uno spazio lineare rispetto all’insieme dei numeri reali. In realtà allo stesso definiamo si può dare anche all’insieme dei numeri complessi. Lo spazio vettoriale è inteso un insieme che noi chiamiamo con V. In questo insieme è definito l’operazione di somma V x V → V che ha denum di boniamo V x V → V un elemento appartenente a v e a

È definito il prodotto per uno scalare R x V → V e a suppore che esista l’elemento 0 che è un vettore e V.

L’operazione di somma gode delle proprietà: - commutativa - associativa

Il vettore nullo è tale per cui sommato ad un qualsiasi vettore dello spazio vettoriale restituisce il vettore stesso. Esiste il vettore opposto, cioè la somma di un vettore per il suo opposto restituisce il vettore nullo.

L’operazione di moltiplicazione per uno scalare è un’operazione associativa, mentre per l’operazione di somma.

rintratto, il vettore nullo.

Una seconda definizione di che i vettori ortogonali alle righe di A

Se vettrori sono ortogonali quando il loro prodotto scalare è zero.

Se puntiamo all'applicazione y = Ax

Il nullo della matrica A pone ambiguità: ossia se y = Ax prendo un vettore

z che appartiene al nullo di A allora naturalmente anche A(x + z) sarà eguale a y.

Se A ha un nullo non banale (cioè costituito da un insieme di vettori) allora possiamo interpretare il nullo di A in modi diversi:

• cause l'insieme di vettori che sommati a x portano il vettore nello stesso valore di y.
• cause date due relazioni y = Ax e y = Ax allora la differenza tra x e x deve necessariamente appartenere al nullo di A

Può accadere che A abbia il nullo costituito da vettore nulla. In questo caso il vettore x può essere sempre unicamente determinato. Non ci sono percentuali di ripetizione.

AI: Stiamo considerando A una quadrata questo

avrà un nullo banale comporto che A abbia un inverso. Sua sinistra (in generale su

Quando il rango di A corrisponde a tutto lo spazio, allora si può dire che il sistema

y = Ax

ha sicuramente soluzione. Lo span delle colonne di A coincide con ℝⁿ. La matrice A ha un'inversa destra (B ∈ ℝ^n×m) tale per cui AB=I.

Le righe di A sono indipendenti e il det(AA^T) ≠ 0.

Supponiamo due vettori

v ∈ R(A), w ∉ R(A).

Se consideriamo y = Ax come sistema di misure.

• y = v è un vettore di misura consistente (possibile).
• y = w è un vettore di misura inconsistente, e

impossibile. Non esiste un versore x corrispondente che abbia prodotto le misure y, perché:

w ∉ R(A).

Se consideriamo il sistema d'ingresso e inizio:

• v è un possibile output

Se ho A che è scomponibile come il prodotto B.C, A ha dimensioni mxm e le 2 matrici sono B di dimensioni mxr e C rxm, allora m ed r non sono bloccati. Quello che loro conosciamo è r.

Se posso esprimere A = B.C allora il rank(A) è certamente minore o uguale a r. Se rank(A) è esattamente a r allora possiamo pensare A = B.C, x rappresenta il numero minimo di informazioni di cui abbiamo bisogno per ricostruire y dato x.

Sappiamo A ∈ R^m×m con m = 1000. Sappiamo che r sia molto minore di m.

r = 3

Possiamo suddividere:

A = B.c

_B → 1000×3

_C → 3×1000

Quando vado a scrivere:

y = A x.

Per calcolare questo prodotto devo fare:

1000 × 1000 = 1000000 operazioni.

Se consideriamo la scomposizione:

Sappiamo che il rango di ogni matrice è minore o uguale del minimo tra il numero di righe e il numero di colonne.

Il numero r che stiamo cercando:

r ≤ min { m, n }

Sappiamo di considerare il rango di B:

rank(B) ≤ min { m, n} ≤ r

e quindi per C:

rank(C) ≤ min { n, r } ≤ r

Il rango di A che è uguale a BC è:

rank(A) ≤ min {rank(B), rank(C)} ≤ r

rank(A) è uguale a r quando queste matrici sono a rango pieno.

Il prodotto scalare tra due vettori è detto anche prodotto scalare:

⟨x, y⟩ := x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_ny_n = x^Ty