Controllo dei Sistemi Meccanici - Appunti ed esercizi

Politecnico di Torino

Appunti, esercitazioni e temi d’esame

CONTROLLO DEI SISTEMI MECCANICI

Corso tenuto dal Prof. G. Jacazio Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale

Appunti di Cappo Matteo

ARGOMENTI TRATTATI

Parte 1 – Introduzione e fondamenti

• Definizione di sistema di controllo
• Modello matematico lineare e non lineare
• Trasformate di Laplace
• Funzione di trasferimento
• Schemi a blocchi
• Risposta in frequenza
• Integratori e derivatori
• Sistemi del 1^o ordine
• Sistemi del 2^o ordine
• Ritardatori e anticipatori
• Sistemi di ordine superiore
• Sistemi con ritardo di trasporto

Parte 2 – Sistemi di regolazione lineari

• Struttura di un sistema di regolazione
• Effetto dei disturbi
• Tipi di sistema: tipo zero, tipo uno, tipo due
• Stabilità dei sistemi
• Caratteristiche fondamentali dei sistemi di tipo zero, uno, due
• Leggi di regolazione: PI, PD, PID

Parte 3 – Servomeccanismi

• Definizione di servomeccanismo
• Motori elettrici
• Trasmissioni
• Servomeccanismo elettromeccanico
• Attuatori idraulici lineari e rotativi
• Valvole
• Servomeccanismo idraulico-meccanico e elettroidraulico

Seguono:

• Esercitazioni del corso ed esercizi svolti
• Prove d’esame svolte

A regime Curcic = Costante, w = cost.

Vogliamo accelerare si alimenta il motore a Tensione + alta.

Basta avere una tabella e ho un sistema di controllo molto grossolano.

“...nella realtà però non funziona così!”

La caratteristica meccanica varia a seconda delle condizioni operative!

(caldo, freddo, usura, lubrificazione, ...)

Perdita di accuratezza

Range di velocità angolari... noi ne vorremmo una precisa!

Serve un controllo + accurato

• X = grandezza da controllare

• Z = " _" da confrontare col comando

• e_- = errore utilizzato da un regolatore che genera un segnale di controllo che è tanto + grande quanto alto è l’errore.

V/F = G(s) = 1/c

[G(s)]_s→0 = G₀ Guadagno Statico

Perché si usano le trasformate di Laplace?

Osservando le (G(s)) si capisce come si comporta il sistema di controllo con diversi input.

Controllo dei Sistemi Meccanici 3/03/2015

Schemi a Blocchi

All'interno di ogni blocco si mette la funzione di trasferimento di un dato componente.

Riprendendo l'esempio di ieri:

F - cV = m dV/dt

V/F = 1/[ms+c]

Schemi a blocchi: esplicitare la derivata di ordine massimo:

(F - cV)/m = V̇

V/F = 1/[c + ms]

Open loop equivalente

Tutti questi procedimenti sono racchiusi nell'algebra dei blocchi, che sono visti in una esercitazione apposita.

Tip: Come costruirlo? 1. Esplicitare derivata di ordine massimo. 2. Trasformare

Sistemi del 1^o ordine

Osserviamo la funzione di trasferimento dell'esempio che abbiamo visto:

V = 1/C

• Costante
• Polinomio di 1^o grado in s

Ordine di un sistema = Grado del polinomio a denominatore

Denominatore → Caratteristiche della dinamica del sistema

ẋ — Go — ẏ / τs + 1

Impulsive response

ẋ = A

ẏ = A ^Go / (τs + 1)

Risposta nel dominio del tempo

• Prendiamo una tabella con le trasformate di Laplace e ci prendiamo l'anti trasfor

y(t) = ^{A Go} / _τ e^{-t / τ}

τ: Tempo caratteristico

del sistema di primo ordine / costante di tempo

→ Tempo impiegato del sistema x raggiungere il 63% del valore di regime

τ = Quanto rapidamente il sistema reagisce a un impulso

G(s) =

^G₀/_{(τ1s+1)(τ2s+1)} =

+ ^G₁₀/_(τ1s+1) + ^G₂₀/_(τ2s+1)

• COMBINAZIONE LINEARE DI 2 SISTEMI DEL 1° ORDINE
• RISPOSTA DI TIPO ESPONENZIALE

ξ < 1 SISTEMA SOTTO SMORZATO

Non ci sono radici reali nel DEN ma due complessi coniugati

→ RISPOSTA OSCILLATORIA SMORZATA

IMPULSIVE RESPONSE

γ̅ =

^{A G_o}/_{σn²+2ξσn+1}

y( t ) =

^{A G_o σ_n}/_{√(1−ξ²)} e^−ξσ_nt sen(σ_n√(1−ξ²)t)

COSTANTE

ESPONENZIALE DECRESCENTE

FATTORE OSCILLATORIO

σ = σ_n√1−ξ² PULSAZIONE PROPRIA

t =

^2π/_σ = ^2π/_{σn √(1−ξ²)} PERIODO OSCILLAZIONE

• L'ESPONENZIALE DECRESCE NEL TEMPO

CONTROLLO DEI SISTEMI MECCANICI 16/03/2015

Manca ultimo pezzo 2^o ordine

SISTEMI DI 2^o ORDINE CON POLINOMIO DI 1^o GRADO A NUM

• LA RISPOSTA DINAMICA DEL SISTEMA SI MODIFICA MA MANTIENE LE PROPRIETÀ FONDAMENTALI DEL SST. DEL 2^o ORDINE

È difficile che in una T.F. di un sistema fisico, il grado del NUM sia > grado del DEN.

• FREQUENCY RESPONSE

G(jω) = G_o (jωτ + 1) (1 - (ω² / ω_n²)) + j2ξω / ω_n

y_o = √(τ²ω² + 1) x_oG_o √( (1 - ω² / ω_n²)² + 4ξ²ω² / ω_n²)

Diagramma di Bode G(jω) = 20 log √1 + τ²ω² - 20 log √( (1 - ω² / ω_n²)² + 4ξ²ω² / ω_n²)

Oscillatorio dominante

Bisogna vedere chi è la parte dominante del sistema

Il numeratore decide l'importanza relativa

Funzione di trasferimento

[x + H_g] · G₁ + iG₀] G₂ = y

x G₁G₂ - y HG₁G₂ + iG₀G₂ = y

y (1 + HG₁G₂) = x G₁G₂ + i G₀G₂

\[ \bar{y} = \frac{x G_1 G_2}{1 + HG_1 G_2} + \frac{i G_0 G_2}{1 + HG_1 G_2} \]

Funzione di trasferimento a 2 input

• Si vorrebbe che la y fosse poco disturbata da i (G₂(s)).
• Funzione del sistema fisico
  • Parametro del sistema di azionamento
    • Il sistema fisico da controllore è quello che è
    • L'azionamento è scelto per dare una certa forza/coppia ecc... → indipendente dal controllo

H(λ): funzione di scala

• Voglio che a 100 mm di spostamento ci corrispondano 10 V di segnale

G₀(s):

• Funzione del sistema fisico dice come influisca il disturbo.

G₁(s):

• Funzione di trasferimento del regolatore ⇒ è pura elettronica!!
• Vogliamo un guadagno alto che renda trascurabile il disturbo!

\[ \bar{y} = x \frac{G_1 G_2}{1 + H G_1 G_2} + i \frac{G_0 G_2}{1 + H G_1 G_2} \]