21 Temi D'Esame dal 2008 al 2016, Controllo dei sistemi meccanici

Esercizio N. 2

Del sistema di regolazione rappresentato dallo schema a blocchi della

figura si conoscono i valori dei parametri di regolazione:

 -1

G = 8 s

τ

 = 0,05 s

1

τ

 = 0,01 s

2

Determinare i valori dei margini di fase e di guadagno

G y

e

x ( )( )

+ τ τ

+ +

s s 1 s 1

- 1 2

Esercizio N. 3

La risposta in frequenza ad anello aperto di un sistema di controllo

con retroazione unutaria è rappresentata approssimativamente dal diagram-

ma di Bode della figura sottostante. Determinare:

1) La funzione di trasferimento ad anello aperto del sistema

2) La funzione di trasferimento ad anello chiuso del sistema

20Log[G(s)]

-20 dB/decade

e

x y

G(s)

+ - 20

0 dB ω

0,5 [rad/s]

-40 dB/decade

ϕ

0° ω [rad/s]

-45°

-90°

-135°

-180°

Esercizio N. 4

Un servomeccanismo idraulico che controlla la velocità angolare di un

organo rotante ha il sistema di azionamento costituito da un motore

idraulico la cui portata è controllata da una valvola di regolazione. La

Δ 3

/giro e il suo momento d'i-

cilindrata del motore idraulico è = 20 cm

2

nerzia è I = 0,005 kgm . Il motore idraulico presenta trafilamenti in-

-12 5

= 4x10 m /sN (rapporto tra

terni caratterizzati da un coefficiente k L

portata di trafilamento e differenza di pressione tra ingresso e uscita

del motore idraulico). La valvola di regolazione è caratterizzata da un

2

= 0,8 m /s e da un guadagno in pressione G =

guadagno in portata G Q P

11 3

N/m ; il massimo valore dello spostamento x del cassetto della

2,5x10 v

valvola di regolazione è 2 mm. Ciascuno dei due tratti di condotto colle-

ganti una porta di uscita della valvola di regolazione con la corrispon-

3

; il modulo di

dente porta del motore idraulico ha un volume V = 30 cm

β

comprimibilità del fluido idraulico è = 900 MPa.

Determinare:

1) Il valore della capacità idraulica C di ciascuno dei due condotti tra

valvola di regolazione e motore idraulico.

2) Lo schema a blocchi del sistema di azionamento in cui la variabile di

del cassetto della valvola di regolazione e

ingresso è la posizione x v 

ϑ del motore idraulico;

la variabile di uscita è la velocità angolare

non si consideri la presenza di una coppia resistente agente sull'asse

motore. 

ϑ e x .

3) La funzione di trasferimento tra v

4) La velocità angolare del motore idraulico quando la valvola di regola-

zione è completamente aperta.

5) Il valore della frequenza di risonanza e del fattore di smorzamento

del sistema. Esame del 26 Giugno 2013

Esercizio N. 1

Un sistema rappresentabile con funzione di trasferimento del 2° ordi-

ne: y G 0

= 2

x s

s ζ 1

2 +

+

2 σ

σ n

n , la

quando la variabile di ingresso x varia con un gradino di ampiezza x o

variabile di uscita y ha una risposta nel tempo che presenta una so-

δy pari a 0,05x G e una frequenza di oscillazione con

vraelongazione M o 0

periodo T = 0,25 s.

Determinare i valori di rapporto delle ampiezze (in dB) e angolo di

fase tra variabili di uscita y e di ingresso x quando alla variabile di

ingresso venga dato un comando sinusoidale alla frequenza di 5 Hz.

[Si ricordi che la relazione fra ampiezza della sovraelongazione δy , am-

M

ζ

, guadagno G e fattore di smorzamento esiste la

piezza del gradino x o 0

δ

y 2

ζ

ζπ 1

M − −

e

=

relazione: ]

x G

o 0

Esercizio N. 2

Nel sistema di controllo della posizione rappresentato nello schema a

blocchi, y è la posizione regolata, espressa in metri, e x il segnale di

comando espresso in Volt. Si conoscono le grandezze G = 0,6 m/sV, H =

τ

40 V/m, = 0,02 s. Determinare la funzione di trasferimento ad anello





y

chiuso del sistema e il valore all'istante iniziale dell'accelerazione

della posizione controllata quando il segnale di comando varia con un

gradino di ampiezza x = 2 V.

0

e

x y

+ -

z H

Esercizio N. 3

Un sistema di regolazione della posizione di un organo meccanico è

rappresentato dallo schema a blocchi riportato in figura 1. Con riferi-

mento a questo schema a blocchi, il segnale di comando x è costituito da

una tensione elettrica compresa fra ± 10 V, mentre la corrispondente

grandezza regolata è la posizione y, compresa fra ± 100 mm. I guadagni

= 25, G = 12 mm/sV; la costante di tempo

del ramo di azione valgono G P A

τ vale 0,0125 s. Calcolare:

A

1) Il valore del guadagno ad anello aperto del sistema

2) L'ampiezza di oscillazione y della posizione quando sul ramo di re-

0 = 0,2 V e frequenza di

troazione agisce un disturbo d di ampiezza d 0

50 Hz

Per ridurre l'effetto del disturbo sul ramo di retroazione viene in-

τ

serito un filtro con costante di tempo = 0,00625 s (figura 2). Per

F

questo nuovo sistema si calcolino: per lo stesso distur-

3) Il nuovo valore dell'ampiezza di oscillazione y 0

bo del punto 2

4) Il ritardo di fase creato dal filtro alla frequenza corrispondente al

guadagno ad anello aperto Figura 2

Figura 1 y x y

x G

+

G

+ P

P -

- H

+

H

+ +

+ d

d

Esercizio N. 4

Il sistema di azionamento elettromeccanico di un servomeccanismo ad

alta velocità è costituito da un motore elettrico a corrente continua a

magnete permanente regolato in corrente il cui asse di uscita è collegato

direttamente ad una vite a circolazione di sfere, la cui madrevite trasla

muovendo un organo meccanico.

Di questo sistema si conoscono i seguenti parametri:

= 0,233 Nm/A

­ Costante di coppia: k t = 0,588 Ω

­ Resistenza d’armatura: R -4 2

= 1,64x10 kgm

­ Momento di inerzia del motore: I m -6 2

= 2x10 kgm

­ Momento di inerzia della vite a circolazione di sfere: I v

­ Massa traslante dell'organo meccanico regolato: m = 80 kg -4 Nms/rad

­ Coefficiente di resistenza meccanica del motore: c = 3,57x10

= 0,01 Nm

­ Coppia d’attrito interna del motore: C F

­ Passo della vite a circolazione di sfere: p = 6 mm/giro

η = 0,85

­ Rendimento della vite a circolazione di sfere: v

Nella condizione nominale di progetto viene richiesto di muovere la



di 5000 N alla velocità = 0,59

massa m contro una forza resistente F x

R

m/s. Calcolare per questa condizione la potenza elettrica richiesta.

Calcolare inoltre l'accelerazione della massa m allo spunto (velocità

nulla) in condizione di carico nullo quando al motore elettrico viene

= 40 A.

fornita dal regolatore di corrente una corrente elettrica i M

Esame del 12 Luglio 2013

Esercizio N. 1

Un motore elettrico fornisce una coppia motrice C funzione della

M 

 in base alla

tensione di alimentazione V e della velocità angolare m





 

C k V k

relazione: in cui k = 0,35 Nm/V, k = 0,005 Nms/rad.

M o m o m

Il motore trascina una macchina operatrice che ruota ad una velocità





angolare e durante il suo funzionamento crea una coppia resistente

r 





C k

pari a: , con k = 0,6 Nms/rad. Tra motore e macchina operatrice

R r r r  

 



r = 1/7.

è interposto un riduttore con un rapporto di trasmissione r m

Il momento di inerzia complessivo delle masse rotanti del motore e della

-3 2 -2

= 5x10 kgm e I = 6x10

macchina operatrice valgono rispettivamente: I m r

2

kgm .

Determinare:

1) Il valore a regime della velocità angolare della macchina operatrice

= 24 V

quando la tensione di alimentazione è V = V o 



 della velocità angola-

2) La funzione di trasferimento tra variazione r

re della macchina operatrice e variazione della tensione di alimenta-

zione δV del motore elettrico, e il valore della costante di tempo

del sistema

Esercizio N. 2

Un sistema di controllo della posizione di un organo meccanico ha lo

schema a blocchi indicato nella figura. Il segnale di ingresso x è co-

stituito da una tensione elettrica variabile nel campo ±10 V, alla quale

corrisponde uno spostamento y dell'organo regolato di ±200 mm. Si cono-

 

scono: G = 25 G = 16 mm/V, = 0,25 s, = 0,005 s.

1 2 a r

Calcolare:

1) Il valore del guadagno ad anello aperto del sistema

del sistema non smorzato (in

2) Frequenza propria di oscillazione σ n

rad/s) e fattore di smorzamento per la funzione di trasferimento ad

anello chiuso

3) Il valore dell'errore e, in condizioni statiche, quando la variabile

di ingresso x vale 5 V.

e

x y

G

G

+ 2

1

-  

s 1

a

z H

 

s 1

r

Esercizio N. 3

Un sistema di regolazione ha un regolatore con legge di regolazione

proporzionale e guadagno (adimensionato) pari a G = 5. Si vuole passare

P

ad una regolazione di tipo proporzionale + integrale mantenendo inaltera-

to il guadagno G e si vuole che l'angolo di fase determinato da questo

P

nuovo regolatore sia pari a -10° alla pulsazione ω = 20 rad/s.

Determinare il valore del guadagno G dell'integratore.

I

Esercizio N. 4

Un servomeccanismo idraulico che controlla la posizione di un organo

meccanico è costituito da una leva a tre centri, una valvola di regola-

zione della portata e un cilindro idraulico. Si conoscono le seguenti

2

grandezze: area attiva del cilindro idraulico A = 700 mm ; volume di olio

idraulico fra uscita controllata della valvola di regolazione e pistone

(uguale per ciascuna delle due camere del cilindro idraulico, assumendo

3

il pistone nella posizione centrale) V = 35 cm ; modulo di comprimibilità

dell'olio idraulico β = 840 MPa; guadagno in pressione della valvola di

regolazione G = 50 MPa/mm; guadagno in portata della valvola di regola-

P 3

zione G = 0,03 (m /s)/m; lunghezze dei bracci della leva a tre centri a =

Q

b = 100 mm. La massa traslante dell'organo meccanico più quella del pi-

stone è m = 50 kg.

Per la condizione di carico nullo agente sull'organo regolato, rispondere

ai seguenti quesiti:

1) Tracciare lo schema a blocchi del sistema

2) Calcolare i valori della frequenza di risonanza (in rad/s) e dello

smorzamento dell'azionamento idraulico (valvola di regolazione + ci-

lindro idraulico con l'elemento meccanico collegato)

3) Determinare l'espressione della funzione di trasferimento ad anello

aperto del sistema e calcolare il valore del guadagno ad anello aperto

4) Calcolare i valori dei margini di fase e di guadagno del sistema

x i

a R A R Valvola di

regolazione

b m y

p 2 Esame del 5 Settembre 2013

Esercizio N. 1

Sulla linea di mandata della pompa di un impianto idraulico viene po-

sto un accumulatore idropneumatico per ridurre le fluttuazioni di pres-

sione associate alle fluttuazioni di portata. L'accumulatore viene ini-

= 20 MPa (pressione di

zialmente precaricato con azoto alla pressione p 0 = 24 litri.

precarica), ed il corrispondente volume riempito dal gas è V 0

Quando l'impianto idraulico viene pressurizzato la pressione nella linea

= 28 MPa e, supponendo trascurabili le forze

di mandata sale al valore p 1

d'attrito fra pistone e cilindro, anche la pressione del gas sale al va-

. A causa della comprimibilità del gas, il volume di questo si

lore p 1

riduce ad un valore V ; poiché dopo un primo transitorio si stabilisce

1

una condizione di equilibrio termico, la trasformazione termodinamica del

gas può essere considerata isoterma (pV = costante).

Durante il successivo funzionamento dell'impianto idraulico, la por-

tata fornita dalla pompa è costante, mentre quella utilizzata varia pe-

riodicamente, rispetto al valore medio, con un'ampiezza di oscillazione

δQ = 2 l/min e periodo T = 1 s; poiché queste fluttuazioni sono rapide

0

rispetto alla costante di tempo termica del sistema, la corrispondente

γ =

evoluzione termodinamica del gas può essere considerata adiabatica (pV

γ

costante, con = 1,4 per l'azoto).

Determinare l’ampiezza della fluttuazione della pressione nell'im-

pianto.

Esercizio N. 2 s

τ 1

+

n

G s

( ) =

Di una compensazione anticipatrice y/x = si conoscono i

s

τ 1

+

d

τ

τ = 0,01 s e = 0,02 s. Calcolare il valore del guadagno (in

valori d n ω

dB) e dell'angolo di fase per la pulsazione = 60 rad/s, tracciare ap-

prossimativamente le curve di risposta in frequenza (guadagno e angolo di

fase). Tracciare inoltre approssimativamente la risposta in funzione del

tempo per un comando a gradino di ampiezza unitaria indicando il valore

della variabile di uscita y all'istante iniziale.

Esercizio N. 3

Un sistema idraulico di regolazione della forza è rappresentabile me-

=

diante lo schema a blocchi della figura a, in cui si conoscono: G 1

τ τ

0,023 MPa/N; G = 304 N/MPa; = 0,011 s; = 0,07 s.

2 1 2

Determinare per questo sistema:

­ Il valore del guadagno ad anello aperto

­ Il margine di fase

Il sistema viene successivamente modificato facendo chiudere l'anello

di regolazione della forza da un microprocessore (figura b) che lavora

=

con una frequenza di campionamento f = 640 Hz e un tempo di calcolo t c

1 ms. Determinare la diminuzione di margine di fase causata dall'introdu-

zione del microprocessore.

F F F F

F F

e e

x x +

+ -

- Figura b

Figura a

Nota: Si ricordi che il ritardo di trasporto t introdotto da un mi-

R

croprocessore è mediamente pari al tempo di calcolo + metà del tempo di

campionamento

Esercizio N. 4

Un motore diesel è alimentato da un sistema di iniezione in cui la

quantità Q di combustibile fornita al motore per ogni ciclo è determinata

dalla posizione e dell'asta di regolazione, la quale è funzione della po-



ϑ

α

sizione dell'acceleratore e della velocità angolare del motore. Que-

sta viene rilevata mediante un dispositivo a masse centrifughe: la posi-

agente

zione r delle masse centrifughe è legata alla forza centrifuga F c

H

r = 2

su di esse mediante la funzione di trasferimento: ,

ζ

2

F s

s + +

c m

2 1

σ

σ 2 m

m

ζ σ

= 0,0432 mm/N, = 0,05 e = 190 rad/s.

dove H 2 m

m , per piccoli spostamenti attorno ad una posi-

La forza centrifuga F c

zione di equilibrio, è proporzionale alla velocità angolare del motore:



ϑ

=

F H , con H = 3,3 Ns/rad. La coppia fornita dal motore è esprimibi-

1

C 1 

ϑ

= −

C C k

le mediante la relazione , dove k = 3 Nms/rad e C è propor-

o

M o

zionale alla quantità di combustibile iniettata nel motore per ciclo:

= 3

C G Q , con G = 1 Nm/mm . La quantità Q è a sua volta proporzionale

M

o M 3

alla posizione dell'asta di regolazione: Q = G e, con G = 220 mm /mm.

F F α

La posizione e dell'asta di regolazione dipende dalla posizione

dell'acceleratore e dalla posizione r delle masse centrifughe secondo la:

α-G r, con G = 0,5 mm/° e G = 1,6 mm/mm. Il momento d'inerzia del

e = G α α

r r

2

.

motore è I = 3,9 kgm

Determinare:

­ Lo schema a blocchi del sistema

­ Il guadagno ad anello aperto del sistema

­ La funzione di trasferimento ad anello chiuso

­ L'errore di velocità angolare (in giri/min) in presenza di una coppia

δC = 100 Nm agente sul motore

resistente Ro Esame del 1 Luglio 2014

Esercizio N. 1

L'elemento di un sistema di regolazione ha una funzione di trasferi-

e costante di tempo Si

mento del primo ordine con guadagno statico G τ.

0

determini:

1) Quanto deve valere la costante di tempo affinché l'elemento generi

τ

un ritardo di fase di 35° alla frequenza di 10 Hz

affinché quando alla varia-

2) Quanto deve valere il guadagno statico G

0

bile di ingresso dell'elemento venga dato un comando a gradino di am-

piezza pari a 2, la variabile di uscita raggiunga il valore di 4 dopo

un tempo pari a 0,02 s.

Esercizio N. 2

La risposta in frequenza del componente di un sistema di controllo

viene misurata sperimentalmente ottenendo il risultato riportato nella

figure sottostante. Si ricava inoltre che il guadagno statico vale 12,04

dB. Guadagno

Angolo

di fase

Poiché la curva di risposta in frequenza corrisponde chiaramente a

quella di un sistema del 2° ordine sovrasmorzato, partendo dai dati della

e

curva di risposta in frequenza, ricavare i valori dei parametri G τ τ

0, 1 2

della funzione di trasferimento:

G

y = 0

( )( )

τ τ

+ +

x s 1 s 1

1 2

Esercizio N. 3

Un sistema di controllo della posizione ha una legge di regolazione

proporzionale-integrativa come indicato nello schema a blocchi della

figura. Si conoscono i valori dei parametri del sistema: K = 0,0025

-1

= 75 s , G = 30. Ricavare la funzione di tra-

m/sV, H = 0,1 V/mm, G

I P

sferimento ad anello aperto del sistema, calcolare il valore del guadagno

ad anello aperto, tracciare il diagramma di Bode e ricavare il margine di

fase. y

K

x e G +

+ I G s

P

- s H

Esercizio N. 4

Un piccolo servomeccanismo elettromeccanico con rapida risposta dina-

mica è costituto da un motore elettrico brushless che trascina diretta-

mente una vite a circolazione di sfere. Si conoscono:

Costante di coppia del motore: k = 0,015 Nm/A

- t -6

Coefficiente di resistenza meccanica del motore: c = 7x10 Nms/rad

- -6

Momento di inerzia del sistema ridotto all'asse motore: I = 3,5x10

- 2

kgm

Passo della vite: p = 2,5 mm/giro

- La posizione della vite a circolazione di sfere, che costitusce la

variabile di uscita del servomeccanismo, è misurata da un trasduttore di

= 0,5 V/mm, mentre la velocità angolare

posizione la cui sensitività è H

P

del motore è misurata da un trasduttore di velocità la cui sensitività è

H = 0,005 Vs/rad. L'errore di posizione e del servomeccanismo (diffe-

V 1

e segnale di retroazione z ) viene molti-

renza fra segnale di comando x

1 1

plicato per il guadagno G = 5 generando così il comando di velocità x .

1 2

Dalla differenza fra x e il segnale di retroazione della velocità ango-

2

lare del motore nasce l'errore di velocità e che viene moltiplicato per

2

= 35 A/V. Questo guadagno tiene globalmente conto delle

un guadagno K

2

caratteristiche dell'azionamento elettrico che genera la corrente elet-

trica agli avvolgimenti del motore.

1) Tracciare lo schema a blocchi del sistema trascurando l'effetto della

forza resistente agente sulla vite a circolazione di sfere

2) Determinare l'espressione della funzione di trasferimento del servo-

meccanismo (rapporto fra lo spostamento lineare y della vite a circo-

) ed il valore dei suoi para-

lazione di sfere e segnale di comando x

1

metri caratteristici (frequenza di risonanza e fattore di smorzamen-

to) Esame del 22 Luglio 2014

Esercizio N. 1

Un dispositivo a ugello e otturatore è utilizzato per regolare la

pressione p di un liquido in un volume chiuso. In questo dispositivo il

2

liquido attraversa un primo orifizio avente area di passaggio A = 2 mm ,

O

quindi un ugello di diametro d = 2 mm al quale è affacciato l'otturatore.

Variando la distanza x tra otturatore e ugello si varia l'area della co-

rona anulare di uscita del liquido. La pressione regolata p è quindi in-

termedia fra la pressione costante di monte p , pari a 18 MPa, e la pres-

O

sione ambiente, pari a zero. Variando la distanza x tra otturatore e

ugello si ottiene in definitiva una variazione della pressione p.

Ricordando che la caduta di pressione attraverso una strozzatura è

direttamente proporzionale al quadrato della portata e inversamente pro-

porzionale al quadrato dell'area di passaggio, si calcoli il guadagno del

dispositivo, ossia il rapporto fra variazione della pressione p e varia-

zione della distanza x nell'intorno del valore x = 0,25 mm.

A O

p d

O p x

Esercizio N. 2

Un sistema di controllo di posizione è rappresentato dallo schema a

-1

blocchi della figura. Il guadagno G è pari a 20 s , mentre il limite L

A

della saturazione vale 15 mm. Alla variabile di ingresso x viene dato un

comando sinusoidale; calcolare qual è la massima frequenza per la quale

la variabile di uscita y oscilla con ampiezza ±10 mm con un andamento

perfettamente sinusoidale. L y

x + - -L

Esercizio N. 3

L'elemento regolatore di sistema di controllo è del tipo

proporzionale + integrativo. Determinare i valori del guadagno

proporzionale e di quello integrativo in modo che alla frequenza di 5 Hz

il regolatore abbia un guadagno di 4 e un angolo di fase di -10°.

Esercizio N. 4

Un servomeccanismo idraulico che controlla la posizione di un organo

meccanico è costituito da una leva a tre centri, una valvola di regola-

zione della portata e un cilindro idraulico. Si conoscono le seguenti

2

grandezze: area attiva del cilindro idraulico A = 700 mm ; capacità

-14

idraulica di ciascuna delle due camere del cilindro idraulico C = 2x10

5 11 3

m /N; guadagno in pressione della valvola di regolazione G = 2x10 N/m ;

P

2

guadagno in portata della valvola di regolazione G = 0,3 m /s; lunghezze

Q

dei bracci della leva a tre centri a = b = 100 mm. La massa traslante

dell'organo meccanico più quella del pistone è m = 12 kg ed il coeffi-

ciente di smorzamento meccanico dell'insieme pistone + massa è f = 2000

Ns/m.

Rispondere ai seguenti quesiti:

1) Tracciare lo schema a blocchi del sistema

2) Calcolare i valori della frequenza di risonanza (in rad/s) e dello

smorzamento dell'azionamento idraulico (valvola di regolazione + ci-

lindro idraulico con l'elemento meccanico collegato)

3) Determinare l'espressione della funzione di trasferimento ad anello

chiuso del sistema

4) Calcolare i valori della rigidezza statica del sistema (rapporto fra

forza esterna R agente sulla massa m e spostamento y a comando x = 0)

i

e calcolare il valore della rigidezza dinamica quando la forza esterna

R varia sinusoidalmente nel tempo alla frequenza di 10 Hz.

x i

a R A R Valvola di

regolazione

b m y

p 2 Esame del 2 Settembre 2014

Esercizio N. 1

Ricavare l’espressione della funzione di trasferimento del sistema

rappresentato dallo schema a blocchi della figura. Determinare inoltre

il valore del guadagno statico del sistema. y

x + K

+ -

- s a

Esercizio N. 2

Un serbatoio di olio avente volume V = 40 l è attraversato da una

portata costante Q = 6 l/min. L’olio entra a una temperatura T = -10 °C;

i

all’interno del serbatoio vi è un riscaldatore che porta la temperatura

dell’olio al valore T = 15 °C. Si conoscono la densità dell’olio ρ =

u

3

890 kg/m e il suo calore specifico c = 1800 J/kg°C; determinare:

1) Il valore della potenza termica H del riscaldatore per ottenere

l’incremento di temperatura da T a T .

i u

necessario per avere un ulteriore

2) L’incremento di potenza termica δH o

incremento di temperatura dell’olio in serbatoio da 15 °C a 20 °C.

3) La funzione di trasferimento fra potenza termica H introdotta e tem-

peratura T dell’olio nel serbatoio, e il valore della costante di

u

tempo del sistema.

4) Se la potenza termica introdotta viene fatta variare con un gradino

avente l’ampiezza δH calcolata al punto 2, qual è il rateo di incre-

o

mento della temperatura dell’olio in serbatoio (dT /dt) all’istante

u

immediatamente successivo all’applicazione del gradino di potenza

termica.

Esercizio N. 3

La funzione di trasferimento ad anello aperto di un sistema di con-

 

-1

K

trollo è: in cui = 10 s , = 0,05 s, = 0,005 s.

K 1 2

  

 

 

1 1

s s s

1 2

Tracciare il diagramma di Bode della funzione di trasferimento e de-

terminare i valori dei margini di fase e di guadagno del sistema.

Esercizio N. 4

Un servomeccanismo elettromeccanico che controlla la velocità angola-

re di una tavola rotante ha lo schema a blocchi rappresentato in figura.

Si conoscono le seguenti grandezze:

k = costante di coppia del motore elettrico = 3,5 Nm/A

t

 = costante di tempo elettrica = 0,004 s

e

k = coefficiente di resistenza meccanica del motore = 0,1Nms/rad

m -3 2

I = momento di inerzia del motore = 1,5x10 kgm

m 2

I = momento di inerzia della tavola rotante = 0,1 kgm

u

r = rapporto di trasmissione fra motore e tavola rotante = 1/12

H = guadagno del ramo di retroazione = 0,0125 Vs/rad

Determinare per questo sistema:

1) Il valore del momento di inerzia equivalente del sistema (I nello

schema a blocchi).

2) Il valore del guadagno G del regolatore affinchè il margine di fase

1

sia pari a 60°.

3) Qual è l’errore di velocità angolare della tavola rotante se la cop-

pia resistente agente su di essa è C = 50 Nm.

r C r

r  



C 

i +

e

V mo 1

G k m r

c +

+ 1 t -

 

- s 1 Is

e k m

V z H

Esame del 30 Giugno 2015

Esercizio N. 1

Il regolatore di un dato sistema presenta lo schema a blocchi indicato

in figura. Tracciare in un diagramma l’andamento nel tempo della varia-

bile di uscita y(t) quando la variabile di ingresso x(t) varia,

all’istante t = 0, con un impulso di ampiezza A.

-sT

[Si ricordi che F(s)e è la trasfor- y

mata di Laplace della funzione del + -

tempo f(t-T)] x

Esercizio N. 2

Un motore elettrico a corrente continua a magnete permanente, regolato

in tensione, fornisce una coppia motrice funzione della tensione di ali-





mentazione V e della velocità angolare in base alla relazione:



C k V k 

  , in cui k = 0,1 Nm/V, k = 0,002 Nms/rad.

o m

M o m

Il motore trascina una macchina operatrice che durante il suo funzio-



C k 



namento crea una coppia resistente pari a: , con k = 0,008 Nms/rad.

r

R r

Il momento di inerzia complessivo delle masse rotanti del motore e della

macchina operatrice vale I = 0,0008 kgm .

2

Determinare:

1) La funzione di trasferimento fra tensione di alimentazione e velocità

angolare.

2) Il valore a regime della velocità angolare del gruppo motore/macchina

operatrice, sapendo che in questa condizione la tensione di alimenta-

= 24 V.

zione è V = V o

3) Il valore della costante di tempo del sistema.

4) Qual è il valore della massima diminuzione della velocità angolare

nell’ipotesi che, partendo dalle condizioni del punto 2, si abbia man-

canza di tensione di alimentazione per un tempo δt = 20 ms.

Esercizio N. 3

Il controllo d'assetto di un satellite basato su un motore elettrico e

ruota di reazione consente di sviluppare sul satellite una coppia propor-

zionale all'errore angolare pari a G = 0,012 Nm/rad. Il momento d'inerzia

0

del satellite rispetto all'asse controllato è I = 6000 kgm . Poichè il

2

sistema di regolazione risulta essere di tipo 2, per rendere il sistema

sufficientemente stabile l'errore di posizione angolare θ viene moltipli-

e

cato per la funzione di trasferimento G (s) = (τ s+1), con τ = 1000 s.

1 N N

Determinare:

1) La funzione di trasferimento ad anello aperto

2) Il valore del guadagno ad anello aperto

3) Il diagramma di Bode

4) Il valore del margine di fase Coppia

θ θ θ

Inerzia

Sistema di

c e G (s)

+ 1 satellite

azionamento

-

Esercizio N. 4

Il sistema di controllo rappresentato dallo schema a blocchi della

figura regola la posizione angolare di un organo meccanico. Il segnale di

comando x è una tensione elettrica (misurata in V), mentre il segnale di



uscita è una posizione angolare (misurata in °). Il regolatore ha una

legge di regolazione proporzionale + integrale, più una compensazione an-

ticipatrice sul comando avente guadagno G . Si conoscono i valori G = 50,

F P

G = 800 s , G = 2,5 °/sV, H = 0,2 V/°.

-1

I A

Determinare:

1) L'espressione della funzione di trasferimento ad anello chiuso del si-

stema in modo che la risposta in frequenza del

2) Il valore del guadagno G F

sistema presenti alla frequenza di risonanza un'amplificazione di 2,5

dB

Tracciare infine i diagrammi approssimati della risposta in frequenza

(ampiezza e angolo di fase). + 

x + 

+ - H

Esame del 21 Luglio 2015

Esercizio N. 1

Una valvola di regolazione viene sottoposta ad una prova sperimentale

in cui viene misurata la sua risposta in frequenza a due diversi valori di

frequenza. Definite x e y le variabili di ingresso e di uscita della

valvola, il guadagno è 0,35 dB a 20 Hz e 2,5 dB a 80 Hz; l'angolo di fase

è -12,5° a 20 Hz, -90° a 80 Hz.

Per descrivere la dinamica della valvola viene deciso di considerarla

in prima approssimazione come un sistema del 2° ordine i cui parametri

sono caratterizzati dalla risposta della valvola a 80 Hz. Determinare:

1) Il valore della pulsazione di risonanza e del fattore di smorzamento in

base appunto alla sua risposta in frequenza a 80 Hz

2) Quali sono gli errori per il guadagno e per l'angolo di fase a 20 Hz in

seguito all'assunzione fatta di rappresentare la valvola come un sistema

del 2° ordine e con i valori dei parametri caratteristici determinati

al punto precedente

Esercizio N. 2

Un servomeccanismo di posizione è rappresentato dallo schema a blocchi

indicato in figura. La corsa massima y = ±50 mm dell'elemento regolato è

M

ottenuta in corrispondenza di una tensione di comando V = ±10 V. Il

M

guadagno G del ramo di azione vale 60 mm/Vs; le costanti di tempo della

funzione di trasferimento del ramo di azione valgono: τ = 0,025 s; τ =

1 2

0,01 s.

Determinare:

- Il valore del guadagno ad anello aperto del sistema

- Il diagramma di Bode approssimato

- Il valore (approssimato) del margine di fase y

e

V + -

z H

Esercizio N. 3

La curva delle ampiezze della risposta in frequenza ad anello aperto di

un sistema di regolazione, misurata sperimentalmente, è approssimabile con

il seguente diagramma asintotico:

- Pendenza di -20 dB/decade fino alla pulsazione ω = 10 rad/s.

1

- Valore costante pari a - 4 dB dalla pulsazione ω alla pulsazione ω =

1 2

100 rad/s.

- Pendenza di -20 dB/decade per pulsazioni maggiori di ω .

2

Determinare l’espressione e i valori dei parametri della funzione ad

anello aperto del sistema.

Esercizio N. 4

Un servomeccanismo elettropneumatico per il comando delle alette di

guida di un missile è rappresentato dallo schema a blocchi della figura.

Il segnale di comando è costituito dalla tensione V , mentre C è la coppia

c R

resistente agente sulla aletta di guida. Si conoscono i valori dei seguenti

parametri:

- G = 1,5 rad/sV

A

- σ = 290 rad/s

p

- ζ = 0,1

p

- τ = 0,15 s

- r = 0,08 rad/Nms

Si conosce inoltre che la tensione V nel ramo di retroazione varia tra

z

± 10 V quando l’angolo θ dell’aletta varia tra ± 25°.

Determinare:

1) L’espressione della funzione di trasferimento del sistema.

/θ in condizioni statiche e nel caso in cui

2) Il valore della rigidezza C R

la coppia resistente abbia rapide oscillazioni periodiche con pulsa-

zione ω esattamente uguale a σ .

p

C R

 

 

r s 1 θ

V 1

c -

G +

+  

A 2

s s

 

-   

s 2 1

 

p 

 2

 

n

p

V z H

Esame del 1 Settembre 2015

Esercizio N. 1

Dallo schema a blocchi: H 3 y

-

x G + G + G G

+ 1 2 3 4

-

- H H

1 2

Ricavare la funzione di trasferimento y/x

Esercizio N. 2

Nel sistema di smorzamento laterale di un treno la carrozza, avente

massa m = 40 t, è collegata a ciascuno dei due carrelli (anteriore e

posteriore) mediante un dispositivo schematizzabile con una molla di ri-

gidezza k = 70 N/mm ed un ammortizzatore avente coefficiente di smorza-

mento c. L’ammortizzatore è costituito da un cilindro idraulico nel cui

pistone è praticato un foro in modo da creare l’azione smorzante dovuta al

passaggio dell’olio idraulico attraverso il foro in seguito al moto rela-

tivo fra cilindro e pistone. La relazione fra coefficiente di smorzamento

L

c e parametri fisici dell’ammortizzatore è:

y d

x

 

2



2e 2

D D D D

i

 

c 8 L i e

4

d

 = viscosità dell’olio idraulico = 30 cP = 0,03 Ns/m

dove: 2

L = lunghezza del pistone in cui è praticato il foro = 20 mm

= diametro del cilindro = 80 mm

D

e

D = diametro dello stelo = 30 mm

i

d = diametro del foro di smorzamento

Determinare:

1) La funzione di trasferimento fra spostamento laterale y della carrozza

e spostamento laterale x dei carrelli.

2) La frequenza propria di oscillazione del sistema non smorzato.

3) Volendo che il fattore di smorzamento del sistema (massa dalle carrozza

+ molle + ammortizzatori) sia pari a 0,6, determinare quale deve essere

il diametro d del foro di smorzamento.

4) Nell’ipotesi che in una certa condizione di marcia il serpeggio laterale

del carrello sia rappresentabile mediante una oscillazione sinusoidale

di ampiezza x = 2 mm e frequenza f = 1,5 Hz, determinare il valore

o

dell’ampiezza di oscillazione dell’accelerazione laterale della car-

rozza.