Controlli Automatici - Quaderno appunti definitivo 2016/2017

CONTROLLI

Esempio 1 [RETÈ ELETTRICA]

U_(t) = U_in + V_C2(t) + y_oy_(t)

i_in = i_e + i_C2, i_e = ^V_in/_R, i_C2 = C₂ ^dy_in/_dt

quindi:

i_e = ^y_in/_R + C₂ ^dy_in/_dt

e poi:

^dy_in/_dt = ^dV_u/_dt + J V_C2 + J ^dy_(t)/_dt

= L ^d2y_in/_dt² + ¹/_CL i_in + J ^dy_(t)/_dt

= ^L/_R ^dy_e/_dt - L C₂ ^dy/_dt + [sostituisco]

^L/_RC2 y_(t) + ^C_L/_C2 J ^dy/_dt =

= LC₂ ^d3y_in/_dt⁴ - ^L/_R ^d2y_in/_dt² + 1 J ^C₂/_CL ^dy_in/_dt + ¹/_RC2 y_(t)

Modello proprio ingresso/uscita lineare a coeff. Costanti (Temp: inv.

proprio ordine max derivate di y ≥ ordine max derivate di U)

Esempio 2 [Modello massa-molla-smorzatore]

Quarticapi Model

• M = massa
• K = coeff. elastica
• D = coeff. di smorzatore

F_K = -K · ΔY

Dove ΔY = variazione U lunghezza delle molle ≡ variazione della quota della massa M

F_D = -D · d(Y)/dt

In condizioni statiche F_S = 0 le uniche forze che agiscono sul sistema sono F_K e la forza peso M·g.

Le forze F_K e M·g in condizioni statiche si equilibrano perfettamente e indichiamo tale posizione verticale del centro di massa della M come origine del riferimento verticale (Y=0)

Y(t) = posizione di M al tempo t (uscita grandezza misurabile) U(t) = forza verticale applicata al tempo t

Per la legge di Newton:

M · d²Y/dt² = U(t) - K · Y(t) - D · dY/dt

U(t) = M · d²Y/dt² + D · dY/dt + K · Y(t)

Modello 1/0 lineare &tempo invariante proprio

Le uguaglianze

\[ y_{i(0)} = y^{(0)} \] \[ \frac{d y_{i(0)}}{dt} = \frac{d y^{(0)}}{dt} \] \[ \frac{d^{r-1} y_{i(1)}}{dt^{r-1}} = \frac{d^{r-1} y^{(1)}}{dt^{r-1}} \]

Sistema di n equazioni nelle n incognite c_ik

Osservazioni

1. Il modo generico:

   \[ m(t) = e^{\lambda t} \cdot \frac{t^k}{k!}, \quad \lambda \in \mathbb{C}, \quad k \in \mathbb{Z}, \quad k \geq 0 \]

   Si può scrivere come:

   \[ e^{(\sigma - j \omega) t} \cdot \frac{t^k}{k!} = \] \[ = \left( e^{\sigma \frac{t^k}{k!}} \right) e^{j \omega t} \]

   Poiché \[ |e^{j \omega t}| = 1 \] \ ∀t ne consegue che il carattere limitato o divergente del modo m(t) dipende esclusivamente da σ = Re\{\lambda\} e da k. Precisamente m(t) convergente a zero \(\iff\) σ = Re\{\lambda\} < 0

   m(t) limitato \(\iff\) σ = Re\{\lambda\} ≤ 0 e qualora σ = 0 allora k = 0

   m(t) divergente in tutti gli altri casi.

PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE

1. LINEARITÀ

se V_i(s) = [v_i(t)], i=1,2, ∀ t, a₁, a₂ ∈ C

=> [a₁v₁(t) + a₂v₂(t)] = a₁V₁(s) + a₂V₂(s)

2. PROPRIETÀ DELLA DERIVATA

se V(s) [v(t)] => [dv(t)/dt] = s⋅V(s) - v(0^-)

Da cui si derìva che ∀k ∈ Z⁺ vale

[d^kv/dt^k] = s^kV(s)

3. PROPRIETÀ DELLO SPOSTAMENTO

se V₁ ⟺ [v₁] ∈ allora [e^αt v₁(t)] = V(5-α)

4. PROPRIETÀ DELLA DERIVATA DELLA TRASFORMATA

se V_s ⟺ y a(l) [v(s)] e k ∈ Z⁺ allora [t^k V(t)] = (-1)^k (d^kV₁ / dt^k)

5. PROPRIETÀ DI CONVOLUZIONE

se V_v1 e V_U1 TGR sono segnali causali e N(5, 7) ∈ V_t(t)

allora [V₁ * V₂(t)] = V_Is ⋅ V₂s

6. TEOREMA DEL VALORE FINALE

se JT [v(t)] e J [lim v(t)/t→α]

allora lim V(t)_t→∞ = lim s→0 s⋅V(s)

PASGSO 3

ANTITRASFORMAZIONE

V(s) = ^d∑_i=0 a_isⁱ = ^m∑_i=0 ∑_k=0 C_m / (s - λ_i)^k

V(t) = ^d∑_i=0 a_i dⁱ / dtⁱ + [t ∫^t-d+1∑_k=0 C_i e^λ_i b^k / k!]

5 Ottobre

STUDIO DEI MODELLI I/O NEL DOMINIO DELLE TRASFORMATE

Consideriamo un modello i/o, LTI, causale e proprio

ⁿ∑_i=0 a_i dⁱ / dtⁱ = ^m∑_i=0 b_i dⁱ / dtⁱ (*) con a,b ∈ R a_n, b_m ≠ 0 n > m

IPOTESI:

1. Condizioni iniziali yⁱ/dⁱ i = 0, 1, ..., n-1 (reali e note)
2. Ingresso u(t) nullo causale e dotato di trasforma di Laplace U(s) = Lap[U(t)]

Vogliamo determinare la trasformata di Laplace dell'uscita

Y(s) = Lap[y(t)]

Applico l'operatore Lap[.] ad entrambi i membri della eq. diff.le e sfrutto la proprietà di linearità:

ⁿ∑_i=0 a_i Lap[yⁱ / dtⁱ] = ^m∑_i=0 b_i Lap[uⁱ / dtⁱ]

Dalla proprietà della derivata segue:

STABILITÀ DEI MODELLI I/O

Definizioni: dato un modello I/O LTI, causale e proprio

Σ_i=0ⁿ a_i dⁱy/dtⁱ = Σ_i=0^m b_i dⁱu/dtⁱ, θ≥0 ω_h,p ≈0

diciamo che esso è:

• ASINTOTICAMENTE STABILE se ∀ scelta delle condizioni iniziali, y_(t) isgme la corrispondente evoluzione libera y_ℓ(t) converge a 0 per t→∞.
• BIBO STABILE se ad ogni ingresso l i/o causale e LIMITATO esso risponde con uscita forcsa y_(t) AGR causale e LIMITATA i.e., se ∃ Mù>0 T.C., |U(t)| ≤ Mù νV eso allora ∃ M&ups;>0 T.C., |ν_(t)nu