Controlli Automatici - Quaderno appunti definitivo 2016/2017

Controlli esempio 1: rete elettrica

Variabile che comanda:

tensione U(t) = V_L(t) + V_C2(t) + y(t)

i_in = i_L + i_C2(t)

i_L = V_L(t)/R

i_C2 = C₂ y(t)

quindi:

i_in = y(t)/R + C₂ dy(t)/dt

e poi:

Total derivative: dU_in/dt = dV_L/dt + dV_C2/dt + dy(t)/dt

Equalized: = L d²i_in/dt² + 1/C₂ i_in + 1/R y(t) / dt

Under condition: = L/R d²y(t)/dt + LC d²i_in/dt + 1/R

With substitutions: = LC₂ d²y(t)/dt

And final expression: = L/RC₂ y(t)

Modello ingresso/uscita lineare a coeff. costanti.

Controlli esempio 1: variabile che commuto internamente

U_e(t) = U_in + V_C1(t) + y(t)

i_in = i_L + i_C2 ↷

i_L = ^y(t)/_R

i_C2 = C₂ ^dy(t)/_dt

quindi:

i_L = ^y(t)/_R + C₂ ^dy(t)/_dt

e poi:

^dU_en/_dT = ^dU_L/_dT + ^JV_C1/_dT + ^dy(t)/_dt

= L ^d2i_en/_dT² + ¹/_C2 i_in + J^y(t)/_dt

= ^L/_R ^dy(t)/_dt - LC₂ ^d2y/_dt² + ¹/_RC2 y(t) - ^C_L/_C2 J^dy/_dt + ^dy/_dt

sostituiso:

= L C₂ ^d3y/_dt³ - ^d2y_in/_dt² + ¹/_R ^dy/_dt + ¹/_CL ^dy_in/_dt + ¹/_RC2 y(t)

Modello lineare ingresso/uscita lineare a coeffe costanti: (Tempo-invariato) proprio ordine max derivate di y >= ordine max derivate di U

Esempio 2: modello massa-molla-smorzatore

• M = massa
• K = coeff. elastica
• D = coeff. di viscosità dello smorzatore

F_k = -K · ΔY

Forza di richiamo elastica dove ΔY = variazione di lunghezza della molla

≡ variazione della quota della massa M

F_D = -D · d(Y_t)/dt

in condizione statiche F_D = 0 le uniche forze che agiscono sul sistema sono F_k e la forza peso Mg

Le forze F_k e Mg in condizione statiche si equilibrano perfettamente e indichiamo tale posizione verticale del centro di massa della M come origine del riferimento verticale (Y = 0)

Y(t)_t = posizione di M al tempo t (uscita, grandezza misurabile)

U(t)_t = Forza verticale applicata al tempo t

Per la legge di Newton:

M d²Y/dt² = U(t) - K · Y(t) - D · dY/dt

U(t) = M d²Y/dt² + D dY/dt + K Y(t)

Modello l/o lineare & tempo invariante proprio

Un modello più furbo di sospensione

Introduzione ai moduli I/O e loro analisi nel dominio OBL.

Un modello I/O (input/output) lineare tempo-invariante causale e proprio viene descritto da un'eq. differenziale lineare a coefs/costanti del tipo:

a_n ^dny/_dtⁿ + … + a₂ ^d2x/_dt² + a_o y = b_n ^dnu/_dtⁿ + … + b₁ ^du/_dt + b_o u

con a_i, b_i ∈ ℝ b_n ≠ 0, b_m ≠ 0, n ≥ m (se n > m parliamo di sistema strettamente proprio).

U rappresenta l'ingresso del sistema noto da t=0 in poi e supposto causale (ovvero nullo per t<0).

Y rappresenta l'uscita del sistema.

Per determinare la dinamica, ovvero l’uscita del sistema y(t), per t≥:

U(t) ≥ 0 (supposto causale)

Condizioni iniziali y(0), ^dy₁/_dt, …, ^dy_m(0)/_dt^m riferiscono allo stato del sistema prima che l'ingresso agisca in t=0.

Sfruttando la linearità del sistema (e quindi il principio di sovrapposizione degli effetti) posso osservare che ciascuna delle due cause da sola darebbe luogo ad uno specifico effetto e conseguentemente l'uscita y(t) per t≥0 in corrispondenza delle cause 1 e 2 può sempre essere scritta come somma dei due effetti:

y(t)