Controlli Automatici Per Orale

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Author: varefaz

Revisionato il 22/06/2026

di varefaz

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Il file contiene una raccolta di domande e risposte che riguardano tutti gli argomenti del corso. Le domande sono state raccolte assistendo a molti esami orali e durante i ricevimenti con la …

Esame fondamenti di controlli automatici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Verdini Federica

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2020-2021

53 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

Soluzione del sistema lineare a bloccamatrice

Dato un sistema lineare a bloccamatrice di questo tipo:

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)

È possibile dimostrare che la soluzione del precedente sistema è:

x(t) = e^Atx₀ + ∫_t₀^t e^A(t-τ) Bu(τ)dτ
y(t) = Ce^Atx₀ + ∫_t₀^t (Ce^A(t-τ) B+D)u(τ)dτ

in cui ϕ(t) = e^At, H(t) = e^At B, Ψ(t) = Ce^At, W(t) = Ce^AtB + Dδ(t)

Soluzione del sistema lineare a parametro

Dato un sistema lineare a parametro di questo tipo:

\(\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)\)
\(y(t) = C x(t) + D u(t)\)

È possibile dimostrare che la soluzione del precedente sistema è:

\(x(t) = e^{At} x_0 + \int_{t_0}^{t} e^{A(t-\tau)} B u(\tau) d\tau\)
\(y(t) = C e^{At} x_0 + \int_{t_0}^{t} \left( C e^{A(t-\tau)} B + D \right) u(\tau) d\tau\)

in cui \(\Phi(t) = e^{At}\), \(H(t) = e^{At} B\), \(\Psi(t) = C e^{At}\), \(W(t) = C e^{At} B + D \delta(t)\)

Risposta libera e modi naturali

CASO 1: Autovalori distinti

Dati m autovalori distinti della matrice A. Siano _i con i = 1, ..., m gli autovalori della A. E siano definiti m autovettori sinistri v₂, ..., v_m e m autovettori destri u₁, ..., u_m tali che valga: [u₁, ..., u_m]^-1 = [v₁^T, ..., v_m^T]

Allora vale il seguente teorema: La matrice e^At puo essere scritta come

e^At = Σ_i=1^m e^λit u_i v_i^T

che prende il nome di rappresentazione spettrale. Possiamo allora trovare la risposta libera come:

χ(t) = Φ(t-t_o) χ(t_o) = e^A(t-t_o) χ(t_o)= Σ_i=1^m e^λi(t-t_o) u_i v_i^T χ(t_o)

dove posto V^Tx(t₀) = C_i

x_e(t) = ∑_i=1^m e^λ_i(t-t₀) u_i C_i

Quindi la risposta libera è composta da n termini chiamati modi naturali e ogni modo naturale segue l'andamento di un autovalore corrispondente. Se abbiamo presenti autovalori complessi coniugati conviene dividere la somma in due parti: una per gli autovalori reali e una per gli autovalori complessi. Quindi la risposta in evoluzione libera sarebbe costituita da termini del tipo:

Aperiodici: e^λ_it U_i C_i

Pseudoperiodici: 2 u_m,k e^{σ_k t} [cos (u_k t + φ_k) u_m,a - sin (u_k t + φ_k) u_m,b]

CASO 2: Autovalori non distinti

Dati m autovalori non distinti della matrice A. Siano λ_i con i = 1,...,h con h ≤ m gli autovalori di A per gli autovalori distinti, e siano m_i, i = 1...h le molteplicità geometriche degli autovalori distinti.

Allora vale la seguente proposizione: La risposta in evoluzione libera dello stato vale:

x(t) = ∑_i=1^h ∑_k=1^m_i (t^k-1 / (k-1)!) e^λ_it(A-λ_iI)^k-1c_i

Essi sono comunque chiamati modi naturali, ed è univoca e dipende solo dallo stato iniziale. Se quest'ultimo è scelto con Guitarsia è possibile far coincidere la risposta libera con uno solo dei modi stessi, per altro arbitrari.

Risposta forzata e modi naturali

Per quanto riguarda l'evoluzione forzata dello stato definita come H(t) = φ(t)_B, è facile capire come ogni colonna di H(t) sia composta da un modo naturale. Più precisamente, presa una colonna di H(t), essa è la somma dei modi eccitati da uno stato iniziale pari a bi. Se un modo assegnato è presente in almeno una colonna di H(t), può essere eccitato con impulsi in ingresso.

Il modo associato all'autovalore λ_i è eccitabile con impulsi di ingresso t se &#lowast;&#lowast;BPossiamo fare lo stesso ragionamento con la risposta forzata in uscita facendo riferimento alla matrice.

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