Controlli Automatici Per Orale

Dato un sistema lineare a matrmonio di questo tipo:

é possibile dimostrare che la soluzione del presente sistema è:

in cui

Risposta Libera e Modi Naturali

Caso 1

1. Dato m autovalori distinti della matrice A, siamo λ_i con i = 1, ..., m gli autovalori di A. E siamo definiti m autovettori sinistri v₂, ..., v_m e m autovettori destri u₂, ..., u_m tale che valga:

   • [u₂, ..., u_m]^-1 = [ v₁^T ...v_m^T ]

   allora vale il seguente teorema: La matrice e^At può essere scritta come

   e^At = ∑_i=1^m e^λ_it u_i v_i^T

   che prende il nome di rappresentazione spettrale.

   Possiamo allora scrivere la risposta libera come:

   x_i(t) = Φ(t-t₀) x(t₀) = e^A(t-t0) x(t₀) = ∑_i=1^m e^λ_i(t-t0) u_i v_i x(t₀)

Risposta libera in uscita e modi naturali

La risposta libera in uscita è data da:

y_e(t) = C x_pi(t) = _m∑i=1 C_uiu_i+

+ 2m_xe^α_kt[cos(w_xt + φ_k)C_uxa-sin(w_kt + φ_k)C_uxb]

Quindi è presente un modo naturale aperiodico se:

C_ui≠0

Se ciò si verifica il modo è detto osservabile in uscita. Lo stesso discorso vale per i modi naturali pseudo-periodici.

Stabilità

Stati di equilibrio

È dato un sistema descritto dalla funzione di transizione di stato

x(t) = φ(t, t₀, x₀, u(·))

Uno stato xₑ si dice di equilibrio se, nell'evoluzione libera avente origine da xₑ, lo stato del sistema si mantiene costantemente pari ad xₑ.

xₑ = φ(t, t₀, xₑ, ∅), ∀t ≥ t₀

Stabilità di uno stato di equilibrio

Uno stato di equilibrio xₑ, si dice stabile se:

∀ε > 0 ∃δ(ε, t₀): ‖x(t) − xₑ‖ < δ(ε, t₀) ⇒ ‖x(t) − xₑ‖ < ε, ∀t ≥ t₀

Osservazioni:

Se è vera affermata la stabilità interna se asintotica allora il sistema è stabile esternamente. NON vale il contrario.

Infatti

si ha ovviamente

rango[R₁]

rango[R_m] ≤ rango[R_m+1]

con R_m = [B AB … A^m-1B]

Consideriamo però il caso c ≥ m con c = m + 1

allora scriverò che

R_i = R_m+1 = [B AB … A^mB]

Ma per il teorema di Cayley-Hamilton potrò scrivere A^mB come combinazione lineare

dei blocchi precedenti B ed è perciò ovvio che

rango[R_m] = rango[R_m+1]

Quindi il ragionamento può essere ripetuto per ogni altro

n

R_∞ = R_m

Poiché il sistema a ciclo chiuso è stabile se i poli della W(s) hanno parte reale negativa allora il sistema a ciclo chiuso è stabile se

N = Ø_p

per il lemma del mapping. Quindi se il numero di giri con c.i. attorno all'origine è uguale ed opposto al numero di poli della E(s) a parte reale positiva la W(s) (FDT a ciclo chiuso) è stabile e quindi il sistema a ciclo chiuso retroazionato è stabile esternamente.

Avvalendosi di questo Teorema

Fra il polinomio caratteristico a ciclo chiuso d_ch(s) e quello in catena diretta d_ap(s) sussiste la relazione:

d_ch(s)d_ap(s) = ¹⁄_{1 + F(s)}

Da tale teorema si può facilmente indurre che i poli della F(s) coincidono con i poli della E(s), poiché è conveniente porre il diagramma di Nyquist della F(s) e giri che devono contare non sono più attorno all'origine ma attorno al punto critico (-1÷j0) poiché il diagramma della F(s) e il grado è uguale a quello della E(s).

Se ciò non si verifica abbiamo che

Ψ_z = ^{k₁ k₂ k_y1}/_{1 + kc2 ky1} se G_f(s) non ha poli nell’origine

oppure Ψ_z = ¹/_{kc ky1} se G_f(s) ha poli nell'origine.

3) Per concludere è utile esaminare il DISTURBO ADDITIVO IN REAZIONE

In questo caso la FDT del disturbo vale

W_z(s) = ^{-(G(s) H(s))}/_{1 + (G(s) H(s))}

Poiché si deve escludere che G(s) ed H(s) abbiano uno zero nell'origine in quanto altrimenti il sistema non è asintotico la risposta ha un disturbo costante

Se il MQ >0 allora c'è stabilità a ciclo chiuso

Se il MQ <0 allora c'è instabilità a ciclo chiuso

Quindi c'è un'intersezione nel grafico a sinistra di (-1,50)

1) Margine di Guadagno

Def

Il margine di guadagno è definito come il reciproco del segmento OP espresso in dB. Pertanto MQ viene individuato in corrispondenza della pulsazione in quanto la fase vale -

Margine del Fase

È il segmento dell'asse orizzontale ODB che congiunge l'asse verticale a -180° ed il punto che corrisponde a tale margine è positivo se sta a destra dell'asse a -180° ed è negativo se sta a sinistra.

Margine di Guadagno

È il segmento dell'asse verticale a -180° che congiunge l'asse orizzontale a ODB ed è il punto che corrisponde alle condizioni (F.E.)=-180° tale margine è >0 se sta sotto l'asse a ODB negativo se sta sopra.

La carta di Nichols possiede la catena sincrona si informa in ciclo chiuso ed aperto. Vediamo i parametri a ciclo chiuso:

• Banda passante B₃
• Modulo alla risonanza Th

Banda Passante

da pulsioni in corrispondenza delle quali il modulo della risposta armonica a ciclo chiuso diminuisce di 3db rispetto al valore assunto in uso. Quindi nella.

PID

Premiamo in considerazione un controllo costituito da una funzione di trasferimento della forma:

G(s) = _K/_s ((1 + _s/_wp))/(1 + _s/_wa)

Con w_p >> 1.

Se il valore di w_p è elevato, risulta:

w_za