Controlli automatici - analisi e sintesi dei modelli poveri

APPUNTI DI

CONTROLLI AUTOMATICI

PARTE 2

Luca A. Pettinari

Queste note sono state redatte dal corso di "Elementi di Controlli Auto-

matici" risalente all’ a.a. 2012/2013, tenute dal Prof. Tommaso Leo presso

l’Universitá Politecnica delle Marche. Tengo a sottolineare che queste note non

hanno, nella maniera piú assoluta, alcuna pretesa di sostituirsi ad un buon testo

di automatica: il loro unico scopo é quello di riassumere i principali argomenti

affrontati nella seconda parte del corso in un unico manoscritto, seguendone lo

svolgimento cronologico abbastanza fedelmente. Quest’opera non é gravata da

diritto d’autore, dunque é di libero uso e consultazione.

Segnalazioni su errori ed inconsistenze saranno piú che gradite, rivolgendovi a

me per posta elettronica all’indirizzo: regheliuk61@gmail.com.

i

Indice

1 Sistemi di controllo a controreazione 1

1.1 La controreazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Relazioni ingresso-uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Effetto della controreazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Stabilitá dei sistemi a controreazione 8

2.1 Criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Lemma del mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Percorso di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.3 Diagramma di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.4 Criterio di stabilitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.5 Casi critici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Sistemi a stabilitá regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Margini di stabilitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Fedeltá di risposta 23

3.1 Fedeltá di risposta a regime permanente . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Forzamento polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2 Condizioni di tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.3 Condizioni di tipo nei sistemi a controreazione . . . . . . 28

3.1.4 Caratterizzazione dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.5 Forzamento sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Fedeltá di risposta a disturbi additivi . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Sensibilitá alle variazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4 Comportamento a regime transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.1 Parametri globali nel dominio del tempo . . . . . . . . . . 42

3.4.2 Parametri globali nel dominio della frequenza . . . . . . . 47

ii

4 Sintesi nel dominio della frequenza 50

4.1 Specifiche di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.1 Specifiche univoche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.2 Specifiche lasche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Diagrammi di Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.1 Luoghi a modulo costante e luoghi a fase costante . . . . 55

4.2.2 Carta di Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Procedura di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3.1 Controllore di primo tentativo . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.2 Reti correttrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3.3 Verifica in catena chiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.4 Vantaggi e svantaggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4 Esempio di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 Sintesi nel dominio della variabile complessa 75

5.1 Luogo delle radici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.1 Regole di costruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1.2 Esempio di luogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2 Procedura di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.1 Specifiche lasche nel piano di Gauss . . . . . . . . . . . . 87

5.2.2 Reti correttrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2.3 Coefficiente di guadagno del controllore . . . . . . . . . . 91

5.2.4 Vantaggi e svantaggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3 Esempio di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

iii

Capitolo 1

Sistemi di controllo a

controreazione

Nello studio del problema del controllo, l’analisi degli aspetti comportamen-

tali é finalizzata al raggiungimento di criteri e tecniche che permettono il pro-

getto di un controllore che realizzi in un sistema da controllare un particolare

modelli poveri

comportamento desiderato. Visto che i d’informazione sono

quelli che tradizionalmente prevedono architetture di controllo piú semplici (so-

no modelli a rappresentazione IO, meno articolata della precedente ISO), d’ora

in poi la trattazione si occuperá dell’analisi e sintesi di sistemi di controllo SISO

controreazione,

(single-input,single-output), con architettura a come nella fi-

gura sottostante:

r(t) e(t) y

Controllore Processo

− Trasduttore

Figura 1.1

Per questa classe di sistemi non ha senso parlare di proprietá strutturali in

quanto non sono modelli corredati con lo stato, ma ha altresí senso trattare le

proprietá comportamentali, concentrando lo studio su l’unica informazione di-

funzione di trasferimento.

sponibile, ossia la Lo studio di tali proprietá, cioé

la stabilitá, il comportamento a regime, sensibilitá alle variazioni parametriche,

1

1.1. LA CONTROREAZIONE

condurranno a studiare il concetto di la fedeltá di risposta, ossia la proprietá di

un certo processo di avere un andamento desiderato della risposta.

1.1 La controreazione

La controreazione o retroazione negativa é la caratteristica di un sistema

misura

dinamico di tenere conto delle delle uscite per modificare le caratteri-

stiche del sistema stesso. Architetture di controllo che riportano lo schema in

controreazione presentano diversi vantaggi:

• Robustezza del sistema retroazionato, ovverosia margini di stabilitá piú

ampi anche per sistemi che in catena aperta presentano comportamenti

instabili.

• Fedeltá di risposta, cioé la capacitá intrinseca di questi sistemi di seguire

in uscita l’andamento di un ingresso impresso.

• Insensibilitá ai disturbi ed alle variazioni parametriche del sistema stesso.

Per questi ed altri motivi, le architetture di controllo che permettono di raggiun-

gere buoni risultati, e dunque le piú usate, sono proprio quelle che considerano

uno schema in controreazione:

Vedremo nei prossimi capitoli che la retroazione non é tutto, ma permette di

controllore,

realizzare il generalmente piazzato in serie al sistema da control-

lare, con tecniche ben precise che permettano il raggiungimento di particolari

richieste sul sistema. Ad esempio nella figura 1.2 si potrebbe desiderare che il

picco del transitorio sia tenuto piú basso possibile: lo schema in controreazione

permette di realizzare un controllore ben preciso che, coerentemente con il fat-

to di volere un inseguimento dell’uscita, abbassi anche il picco del transitorio.

In definitiva, baseremo le tecniche di sintesi sempre partendo da uno schema a

controreazione e mai in catena aperta.

1.1.1 Relazioni ingresso-uscita

I modelli poveri sono quei sistemi dinamici di cui non si conosce una descri-

zione coerente per mezzo di equazioni differenziali. Ad esempio é molto difficile

scrivere in termini equazioni la dinamica della pressione aortica, che dipende

dal miocardio, dotato di un proprio centro di innervazione dei tessuti, in cui

il compito di assegnare gli "ingressi" (stimoli elettrici che causano i potenziali

d’azione, dunque la contrazione) é devoluto ad un centro di innervazione proprio

del cuore (NSA, nodo seno-atriale). La teoria dei sistemi e del controllo offre

un ampio spettro di tecniche che permettono di ricavare realizzazioni del siste-

ma, ovverosia rappresentazioni ISO (input-state-output), ma in genere i modelli

2

1.1. LA CONTROREAZIONE

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Time (seconds)

Figura 1.2: In grigio l’ingresso; in blu, la risposta ad esso di un sistema

retroazionato.

poveri non sono sufficientemente noti (neanche a livello teorico) da consentire

qualsiasi indagine modellistica. L’unica cosa che si sa di questi sistemi é che

sono stabili, cioé hanno traiettorie in spazio di stato limitate ad un certo in-

oscilloscopio,

torno. Per questi allora é possibile determinare, per uso di un

la risposta armonica, forzando il sistema a riposo attraverso armoniche fonda-

mentali a frequenza crescente. Una volta ottenuta questa, si puó scrivere la

funzione di trasferimento del sistema e incominciare la sintesi di un controllore.

Anzi c’é di piú: per effettuare la sintesi del controllore analogico con la tecnica

di sintesi in frequenza, per la sua natura prettamente grafica, non occorrereb-

be nemmeno una descrizione matematica della funzione di trasferimento, ma

basterebbero soltanto i diagrammi di Bode della funzione di risposta armoni-

ca. Detto questo riportiamo la definizione di funzione di trasferimento di un

sistema, discutendone alcune caratteristiche. S

F (s)

Def. La funzione di trasferimento di un dato sistema si definisce come

la trasformata di Laplace della risposta impulsiva di tale sistema, a partire da

condizioni iniziali nulle.

Nei sistemi LTI la forma della funzione di trasferimento non puó che essere

quella di funzione razionale fratta, e si puó scrivere come rapporto di due polino-

3

1.1. LA CONTROREAZIONE

N (s) D(s)

mi, detti (numeratore) e (denominatore). Questo perché sistemi del

genere sono retti da sistemi di equazioni differenziali, le cui trasformate di La-

place danno sempre funzioni algebriche. Si puó dimostrare banalmente che, data

F (s),

una funzione di trasferimento si ha la seguente relazione ingresso-uscita:

Y (s) = F (s)U (s)

Dove Y(s) e U(s) sono le trasformate di Laplace rispettivamente dell’ingresso e

dell’uscita. In merito alla funzione di trasferimento é bene soffermarsi sul grado

F

totale che puó avere .

F (s)

Def. Sia una funzione razionale fratta, espressa come:

m m−1

N (s) b s + b s + . . . + b

m m−1 0

F (s) = = n n−1

D(s) s + a s + . . . + a

n−1 0

F n > m. F n = m.

strettamente propria propria

si dice se si dice se

Osserviamo che il denominatore si puó scrivere sempre come polinomio mo-

N (s) D(s)

nico (coefficiente di grado massimo unitario) dividendo e per il coef-

ficiente di grado massimo del denominatore. Le funzioni trasferimento possono

essere al piú funzioni razionali proprie, altrimenti il sistema in considerazione

x(t)

sarebbe acausale. Ricordiamo infatti che l’evoluzione di un sistema (e quin-

t di separazione

di anche le uscite) al tempo é l’elemento tra storia passata e

futuro ed é noto a partire dalle condizioni iniziali che tengono conto del passato,

t

e dagli stimoli impressi conosciuti fino al tempo (t escluso) che permettono

di conoscere l’evoluzione esattamente in quell’istante. Noti quindi ingressi e

t

condizioni iniziali al tempo potremmo conoscere la dinamica del sistema solo

nell’istante immediatamente successivo. Come esempio, consideriamo una fun-

zione di trasferimento che sia non propria; allora potrá essere scritta in genere

nella seguente forma: l l−1

b s + b s + . . . + b

l l−1 0

m−n

F (s) = s + n n−1

s + a s + . . . + a

n−1 0

Per questo sistema, consideriamo la risposta al gradino, segnale definito nel

seguente modo:  ≤

0 t 0



δ (t) =

−1 1 t > 0



Per quanto detto prima, conveniamo sul fatto che qualsiasi sistema causale

t = 0.

inizierá a rispondere dopo l’istante Se la funzione di trasferimento non é

propria si entra in contraddizione con questo fatto. Consideriamo per semplicitá

4

1.1. LA CONTROREAZIONE

−

m n = 1, s

che e computiamo l’uscita nel dominio tramite F:

l l−1

b s + b s + . . . + b 1

l l−1 0 ·

Y (s) = F (s)U (s) = s + n n−1

s + a s + . . . + a s

n−1 0

l l−1

b s + b s + . . . + b

l l−1 0

= 1 + n+1 n−1

s + a s + . . . + a s

n 0

Dalla teoria delle trasformate di Laplace, é noto che l’antitrasformata dell’unitá

é pari all’impulso di Dirac nell’origine. Quindi antitrasformando la precedente

otteniamo un primo termine pari all’impulso piú l’antitrasformata del termine

secondo, che sará in genere una combinazione lineare di funzioni polinomiali,

esponenziali e sinusoidali. L’impulso nell’origine ci restituisce un valore ancor

prima che il segnale d’ingresso inizi ad assumere valori diversi da zero, cosa che

é sufficiente per attestare l’acausalitá di sistemi del genere.

1.1.2 Effetto della controreazione

Lo schema a blocchi tipico a cui si puó ricondurre un sistema dinamico

a controreazione, o retroazione negativa, é rappresentato nella seguente figura:

Considerando tutte le grandezze nel dominio della variabile complessa, abbiamo:

r e F (s)

−

v H(s)

Figura 1.3

• F (s): é la funzione di trasferimento del sistema, ed in essa puó essere in-

F

clusa anche quella del controllore: infatti generalmente con , che descrive

G(s),

nell’insieme il sistema controllato, si indica il prodotto in cascata di

P (s)

funzione di trasferimento del controllore, e funzione di trasferimento

del sistema da controllare (impianto/processo).

• H(s): é la funzione di trasferimento dell’anello di retroazione, e viene an-

che detta guadagno in retroazione: esprime l’azione del trasduttore che

é a tutti gli effetti un sistema dinamico. Infatti in questo blocco si con-

siderano condensati sia gli appositi sistemi di misurazione (senza i quali

la retroazione non é realizzabile) sia le linee di trasmissione del segnale,

che generalmente é una grandezza elettrica affinché possa essere confron-

tata ed elaborata in ingresso da sistemi elettronici, che nella stragrande

5

1.1. LA CONTROREAZIONE

maggioranza dei casi (sono un’eccezione ad esempio gli impianti petrolchi-

mici dove un contatto elettrico puó risultare fatale) hanno il compito di

imprimere l’azione di controllo.

• F (s)H(s): viene detta guadagno in anello.

• U (s): é il segnale di riferimento in ingresso (set-point). L’azione di con-

trollo viene impressa in base alla differenza fornita dall’uscita (successi-

u,

vamente trasdotta) e appunto il riferimento tramite un controllore che

sará, come vedremo, opportunamente progettato in base alle specifiche

offerte da questo schema di controllo.

• E(s): é il segnale di errore, dato della differenza tra il segnale di ingres-

u, V (s) =

so della catena diretta, cioé e il segnale di retroazione, cioé

H(s)Y (s).

• Y (s): F u

é il segnale d’uscita dal blocco rispetto al segnale quando il

sistema viene retroazionato.

L’effetto della controreazione cambia nettamente il comportamento di un siste-

F

ma, finora descritto dalla funzione ingresso-uscita , detta anche funzione di

catena aperta.

trasferimento in Esistono sistemi stabili che, se retroazionati

senza il progetto di un opportuno controllore, assumono comportamento insta-

bile. Matematicamente, tale effetto si traduce con il cambiamento della funzione

u y; F

di trasferimento tra e infatti non lega piú questi due, ma l’uscita con la

W

variabile errore. Sia pertanto la nuova funzione di trasferimento del sistema

una volta retroazionato: Y (s)

W (s) := U (s)

Si consideri la variabile d’errore: Y (s)

− ⇒ ⇒

E(s) = U (s) V (s) U (s) = E(s) + V (s) = + H(s)Y (s)

F (s)

1 + H(s)F (s)

U (s) = Y (s)

F (s)

W catena

Ricordando la definizione di , detta funzione di trasferimento in

chiusa, si ottiene infine: F (s)

W (s) = (1.1)

1 + F (s)H(s)

Quest’ultima é la forma che assume la nuova funzione di trasferimento una volta

H(s)

chiusa in anello di reazione. Inoltre, supponendo di riuscir a realizzare una

6

1.1. LA CONTROREAZIONE

W

di valore unitario, la funzione diventa semplicemente:

F (s)

W (s) = 1 + F (s)

7

Capitolo 2

Stabilitá dei sistemi a

controreazione

Il problema fondamentale che si presenta quando si progetta un dispositivo di

controllo é che complessivamente il sistema controllato che si ottiene abbia una

dinamica adeguata e dettata da specifiche comportamentali. La piú importante,

da cui discendono in maniera imprescindibile tutte le altre, é la stabilitá BIBO

(bounded-input, bounded-output) dei sistemi a controreazione. In relazione a

tale problema fondamentale, il criterio di Nyquist costituisce uno strumento

potente poiché consente di stabilire se un sistema, di cui si conosce la risposta

F (s),

armonica della funzione di trasferimento a ciclo aperto sia esternamente

stabile una volta chiuso con anello di retroazione. Il punto di forza di questo

criterio risiede nel fatto di essere sostanzialmente un metodo grafico, da cui é

possibile individuare immediatamente la stabilitá di un sistema a controreazione;

inoltre costituisce un’utile guida per giudicare l’efficacia dei possibili interventi

F (jω),

che, attraverso opportune modifiche della migliorino il comportamento

dinamico del corrispondente sistema retroazionato. A fronte di ció che si é

app