Controlli automatici - analisi e sintesi dei modelli poveri

W W

transitorio e permanente) considerando al posto di :

e

k (k−i) i

t 1 d W (s)

e

X

ẽ (t) = c c =

r e,i e,i i

−

(k i)! i! ds s=0

i=0

Prop. Un sistema é di tipo k se e solo se: 6

c = c = . . . = c ; c = 0

e,0 e,1 e,k−1 e,k

k ẽ (t)

Dimostrazione. Il sistema é di tipo se e solo se é pari ad una costante,

r −

ẽ (t) k 1

finita e diversa da zero; ció si realizza se e solo se nell’espressione i

r

c

coefficienti della somma sono pari a zero, mentre l’ultimo é proprio finito,

e,k

costante e diverso da zero.

3.1.2 Condizioni di tipo

Teo. Un sistema é di tipo k se e solo se la funzione di trasferimento di trasfe-

W zero di ordine k

rimento dell’errore ha uno nell’origine.

e ẽ

Dimostrazione. (⇒) Se il sistema é di tipo k allora l’errore di regime é pari ad

r

una costante finita e diversa da zero, pertanto, per la proposizione precedente,

26

3.1. FEDELTÁ DI RISPOSTA A REGIME PERMANENTE

si puó scrivere: lim e(t) = ẽ (t) = c

r e,k

t→∞

Applicando il teorema del valor iniziale sul limite, si ha:

· ·

lim s E(s) = lim s W (s)

Ũ (s) = c

e e,k

s→0 s→0

Ricordando che si sta studiando il forzamento polinomiale, nel dominio della

ũ

variabile complessa la trasformata di Laplace di ha un’espressione ben precisa,

percui: W (s)

W (s) e

e

· = lim = c

lim s e,k

k+1 k

s s

s→0

s→0 c

Affiché il sistema sia di ordine k la quantitá deve essere una costante, e ció

e,k W (s)

si verifica, osservando il limite precendente, solo se ha esattamente uno

e

zero di ordine k nell’origine. W

(⇐) Se la funzione di trasferimento dell’errore ha uno zero di ordine k puó

e

essere scritta come: k

W (s) = s L(s)

e s = 0.

dove L é una funzione che non ha poli per Ció che occorre dimostrare é

c = c = . . . = c

che il sistema é di tipo k, verificando che i coefficienti e,0 e,1 e,k−1

6

c , k = 0

siano identicamente nulli e che e pari ad un valore costante. Ricordando

e W (s)

che il calcolo di questi coefficienti dipende da si ha:

e

i

d W (s)

1 e k

W (s) = s L(s)

c = e

e,i i

i! ds s=0

W

Il calcolo della derivata i-esima di é dato da:

e

i i i

d W (s) d k! d L(s)

e k k−i k

c = = (s L(s)) = L(s)s + s

e,i i i i

−

ds ds (k i)! ds

s=0 s=0 s=0

i < k c

Per la precendente quantitá va a zero, e cosí anche tutti i coefficienti e,i

i!

in quanto dipendenti direttamente da essa a meno del termine a divedere. Per

i = k, il secondo termine della somma precedente va comunque a zero per la

k k−k 0

s s = s = 1,

presenza del termine , mentre per il primo pertanto non si

annulla ed anzi si ha: k

d W (s)

e ·

= k! L(0)

k

ds s=0

cioé k

1 d W (s)

e

c = = L(0)

e,k k

k! ds s=0

L(s) s = 0,

Ricordando che non ha poli in abbiamo infine dimostrato come tutti

c i = k, L(0),

siano nulli eccetto l’ultimo per pari a e che dunque il sistema é

e,i 27

3.1. FEDELTÁ DI RISPOSTA A REGIME PERMANENTE

di tipo k.

3.1.3 Condizioni di tipo nei sistemi a controreazione

La trattazione dell’errore e del tipo di un sistema trova la sua naturale ap-

plicazione nei sistemi a controreazione. Questo schema di controllo conferisce

robustezza al sistema da controllare, con un controllore adeguatamente proget-

tato: la trattazione precedente consente di definirne alcune caratteristiche. A

tali sistemi, per effetto della retroazione negativa, si richiede, oltre la robustezza,

una elevata fedeltá di risposta, che a seconda del tipo di sistema, sono in grado

di inseguire rampe, parabole e in genere polinomi di grado minore o uguale al

tipo del sistema. Ovviamente, in un’ottica di sintesi del controllore, occorre tra-

W

durre le specifiche sulla funzione di trasferimento dell’errore sulla funzione

e

F

di trasferimento in catena aperta, , che abbiamo visto essere oggetto che viene

plasmato nella sintesi. r(·) y(·)

F (s)

− 1

k d

Figura 3.1

Secondo questo schema di controllo con guadagno in anello pari al reciproco del

k

coefficiente di proporzionalitá del comportamento desiderato moltiplicato per

d

F (s), si ha la seguente funzione di trasferimento in catena chiusa:

F (s) k F (s)

d

W (s) = =

F (s) k + F (s)

1+ d

k

d F (s)

Prop. Un sistema a controreazione con guadagno in anello pari a é un

k

d

F (s) polo di ordine k

sistema di tipo k se e solo se ha un nell’origine.

F

Dimostrazione. Scriviamo la funzione di trasferimento in catena aperta come

N (s) D(s):

rapporto tra numeratore e denominatore

N (s)

F (s) = D(s)

D’altro canto, abbiamo visto che la funzione di trasferimento dell’errore é legata

U (s) Y (s), W (s),

alla funzione di trasferimento tra l’ingresso e l’uscita cioé come

28

3.1. FEDELTÁ DI RISPOSTA A REGIME PERMANENTE

segue: 2

−

k F (s) k (k + F (s)) k F (s) k

d d d d d

− −

W (s) = k W (s) = k = =

e d d k + F (s) k + F (s) k + F (s)

d d d

D’altra parte allora: 2 2 2

k k D(s)

k

d d d

W (s) = = =

e N (s)

k + F (s) k D(s) + N (s)

k +

d d

d D(s) W

Da qui si vede che gli zeri (contati con molteplicitá) della funzione sono gli

e

D(s).

zeri della funzione Ma essendo per definizione poli di una funzione gli zeri

W s = 0, F

del suo denominatore, se ha uno zero di ordine k in allora ha un

e

s = 0.

polo di ordine k in

Dunque vediamo come la trattazione dell’errore trovi la sua concreta ap-

plicazione nei sistemi a controreazione, che imprimono l’azione del controllore

basandosi sulla grandezza errore: per questi, oltre ad aver sviluppato un potente

criterio di stabilitá, abbiamo ora una condizione di tipo per inseguire con fedeltá

di risposta una classe fondamentale di ingressi canonici.

Oss. Gli ingressi canonici di controllo (polinomiali e sinusoidali) sono un idea-

lizzazione in quanto, anche per la sola presenza di rumore di fondo, questi non

sono esattamente riproducibili nella realtá nella forma analitica che conosciamo

su carta e penna. D’altra parte sono queste due classi i mattoni fondamentali

che compongono qualsiasi segnale o distribuzione, perció concentriamo gli sforzi

sullo studio di questi. Per tutti gli altri segnali di forma complessa é sempre

possibile applicare una sovrapposizione degli effetti, considerando che anche se-

gnali "complessi" possono essere sviluppati come serie di Fourier o sviluppi in

serie.

3.1.4 Caratterizzazione dell’errore

A seconda del tipo di sistema a ciclo chiuso che si vuole avere, l’errore,

specifica di progettazione

che viene data in sede di sintesi come assume

espressioni particolari. Osserviamo sinteticamente, dalla trattazione precedente,

che: W (s)

e

ẽ (t) = lim e(t) =

r k

s

t→∞ s=0

Consideriamo ora i possibili casi, cioé l’espressione dell’errore a seconda del tipo

di sistema richiesto, ricordando che questa specifica impone un numero di poli

·

F = G P

nell’origine di pari al tipo richiesto:

29

3.1. FEDELTÁ DI RISPOSTA A REGIME PERMANENTE

• k = 0,

se il sistema é di tipo 0, pertanto: 2 2

k k

W (s)

e d d

=

= W (s) =

ẽ (t) = e

r k

s k + F (s) k + k

s=0

s=0,k=0 s=0

d d F

k F

dove é il guadagno di Bode di .

F

• k = 1,

se il sistema é di tipo 1, pertanto: 2

2

1 k

W (s) k

e d

d

= =

ẽ (t) =

r 0

k

s s k + F (s) sk + F (s)

s=0 s=0 s=0

d d

0

F F

dove indica privata di un polo nell’origine, che ha comunque lo stesso

F

guadagno di Bode di . Si ottiene pertanto:

2 2

k k

d d

ẽ (t) = =

r ·

0 k + k k

d F F

• i, 0 < i < k,

se il sistema é, in generale, di tipo con si ha:

2 2

W (s) k k

e d d

ẽ (t) = = =

r 0

i i

s s k + F (s) k

s=0 s=0

d F

k, k > 0, ẽ

Quindi per sistemi di tipo con l’errore a regime assume sempre

r

la stessa forma.

Il tutto é ben riassunto nella seguente tabella, le cui caselle contengono l’errore

a regime del sistema a partire della riga e colonna corrispondente:

...

0 1 2

δ (t) c ...

0 0

−1 e,0

∞

δ (t)t c ...

0

−1 e,1

2 ∞ ∞

δ (t)t c ...

−1 e,1

.. .. .. .. .. .

. . . .

Tabella 3.1

É chiaro che basta avere un sistema retroazionato di tipo 1 per avere errore a

regime nullo almeno per segnali limitati nel tempo e errore a regime regolabile

k k

dai parametri e per segnali con andamenti come rampe. Generalmente

d F

essere un sistema di tipo 1 é una prerogativa di qualsiasi sistema di controllo a

controreazione. 30

3.1. FEDELTÁ DI RISPOSTA A REGIME PERMANENTE

3.1.5 Forzamento sinusoidale

Lo studio della fedeltá di risposta si puó effettuare considerando anche

ingressi sinusoidali, con il seguente ingresso canonico:

ũ(t) = sin(ωt)δ (t)

−1

Se esiste la risposta a regime permanente, per studiare le condizioni di tipo di

un sistema a controreazione in forzamento sinusoidale basta studiare la risposta

W (jω)

armonica del sistema a ciclo chiuso:

e jφ (ω)

W (jω) = M (ω)e e

e e

In particolare le condizioni di specifica si riferiscono all’errore di regime, sempre

a risposta sinusoidale, che si esprime coerentemente come:

ẽ (t) = M (ω)sin(ωt + φ (ω))

r e e

M φ W

Nell’espressione precedente le funzioni e dipendono da , di cui ricor-

e e e

diamo la relazione con la funzione di trasferimento in catena aperta:

2

k d

W (jω) =

e k + F (s) s=jω

d

É abituale limitare lo studio al solo modulo della funzione di trasferimento

dell’errore. Ció presuppone l’ipotesi che il sistema sia a fase minima.

Def. a fase minima

Di un sistema si dice che é se tutti sui zeri e poli si

trovano nel semipiano complesso a sinistra dell’asse immagina