Computational Mechanics and inelastic structural analysis - Teoria

Principio degli spostamenti virtuali

Non dipende dalle leggi costitutive. Definiamo un set equilibrato ⁢: C_ij, Rⁱ, Fⁱ che soddisfa le condizioni di equilibrio:

• C_ij,j + f_i = 0 in V
• C_ij n_j = Fⁱ su S_F

Definiamo anche un set compatibile ˆ: Â_i, Ċ_ij, Ŝ_i che soddisfa le condizioni di compatibilità:

• E_ij = 1/2 (Â_i,j + Â_j,i) in V
• S_i = Â_i su S_u

Definizioni di lavoro interno ed esterno

Lavoro interno: L_i = ∫_V C_ij Ċ^ij dV

Lavoro esterno: L_e = ∫_V fⁱ Â_i dV + ∫_SF Fⁱ Ŝ_i dS + ∫_Su Ŝ_i n_j C_ij dS

3 Proprietà

• Se V prende un sistema equilibrato (*) e compatibile (Λ) → L_i = L_e
• Se L_i = L_e → V campo compatibile (Λ) ∪ (Λ comp. equilibrato (*) matrice Ż_{= 0})
• Se L_i = L_e - (*) → il campo cinematico è (Λ)

Campo statico e campo cinematico

Campo statico = quello reale: C_ij, fⁱ, Fⁱ

Campo cinematico: variazione virtuale:

• ₤_ij = 1/2 (δS_i,j + δS_j,i) in V (Compatibile con vincoli)

Variazioni che soddisfano gli spostamenti e la deformazione reali:

• S_i - Ŝ_i = δS_i
• S_i = Ŝ_i su S_u

Lavoro interno ed esterno virtuale

Lavoro interno virtuale: L_iv = ∫_V C_ij Ė^ij dV

Lavoro esterno virtuale: L_ev = ∫_V fⁱ Ẽ_i dV + ∫_SF Fⁱ Š_i dS + 0

Principio dei lavori virtuali per corpi deformabili

L_iv - L_ev = 0   ∀Š_i conv. Ŝ_i il campo statico è equilibrato anche per grandi deformazioni e spostamenti

Principio delle forze virtuali

L_iv - L_ev = 0   ∀Ė^ij Ċ^ij dV

∫_SF Č_ij n_j Š_i dS   L_iv - L_ev = 0 → ∀VŠ ⁢ ⁢ La compatibilità è rispettata sotto l'ipotesi di piccole deformazioni e spostamenti

1 Principio degli spostamenti virtuali

Definiamo un set equilibrato * = {t_i, f_i^t, t_ij^t} che soddisfa le condizioni di equilibrio:

• {t_ij,i + f_i^t = 0} in V
• {t_ij^t n_j = f_i^t} su S_e

Definiamo anche un set compatibile ∧ = {S_i^∧, E_ij^∧, S_i^∧} che soddisfa le condizioni di compatibilità:

• E_ij = 1/2(S_i,j^∧ + S_j,i^∧) in V
• S_i^∧ = 0 su S_u

Introduzione alle definizioni di lavoro interno ed esterno

Lavoro interno: L_i = ∫_v t_ij^t E_ij^∧ dV

Lavoro esterno: L_e = ∫_v f_i^t S_i^∧ dV + ∫_Se3

3 Proprietà

• Se si prende un sistema equilibrato (*) e compatibile (∧) → L_i = L_e
• Se L_i = L_e → {t_ij, f_i^t} V campo compatibile (∧) ∈!
• Se L_i = L_e → (*) + lo campo cinematico (∧)

Campo statico e campo cinematico

Campo statico = quello reale → {G_ij, f_i, t_ij}

Campo cinematico: variazione virtuale → {S_i^∧, S_i,j^∧} (compatibile con vincoli!)

Lavoro interno ed esterno virtuale

Lavoro interno virtuale: L_vi = ∫_v G_ij^t E_ij^∧ dV

Lavoro esterno virtuale: L_ve = ∫_v f_i^t S_i^∧ dV + ∫_{Se} fi Si^∧ ds + o}

Principio dei lavori virtuali per corpi deformabili

L_vi = L_ve = 0 → V {S_i^∧, S_i^∧} → lo campo statico e equilibrato anche per grandi deformazioni e spostamenti

Principio delle forze virtuali

L_vi = ∫_v E_ij^∧ dv L_ve = ∫_Se

L_vi - L_ve = 0 → V {t_ij, f_i^t} = la compatibilità è rispettata anche per grandi deformazioni e spostamenti