Computational Mechanics and inelastic structural analysis - Teoria

Principio degli spostamenti virtuali

Definiamo un sei equilibrato: \( F_i; F_i^*; \tau_{ij} \) che soddisfa le condizioni di equilibrio:

• \( f_i + \rho \ddot{u}_i = 0 \, in \, V \)
• \( \tau_{ij,j} + f_i = 0 \, su \, S_u \)

Definizione carico un sei compatibile

• \( \hat{S}_i, \hat{E}_{ij}, \hat{S}_i \) che soddisfa le condizioni di compatibilità:
• \( E_{ij} = \frac{1}{2} (\hat{S}_{i,j} + \hat{S}_{j,i}) \, in \, V \)
• \( \hat{S}_{i} = \hat{S}_{0i} \, su \, S_u \)

Introduciamo le definizioni di lavoro interno e lavoro esterno:

• \( L_i = \int_V \tau_{ij} E_{ij} \, dV \)
• \( L_e = \int_V F_i S_i \, dV + \int_{S_f} \tau_{ij} \hat{S}_i \, ds + \int_{S_u} \tau_{ij,j} \hat{S}_i \, ds \)

3 Proprietà:

• Se si prende un sistema equilibrato (*) e compatibile (Λ):
• Se \( L_i - L_e = 0 \), \( V \) campo compatibile (Λ); \( Α_i, \, I \, 0_0 \) (Α \rightarrow \) campo cinematico (Λ)
• Se \( L_i - L_e \neq 0 \) (V*) \rightarrow (\) campo cinematico (Λ)

CAMPO STATICO = equilibrio reale:

• \( \tau_{ij}; F_i \)

CAMPO CINEMATICO = variazione virtuale:

• \( \delta{e}_{ij} = \frac{1}{2} (\hat{S}_{i,j} + \hat{S}_{j,i}) \, in \, V \)

Variazione di sviluppo gli spostamenti e le deformazioni reali:

• \( \int_V S_i + S_j = S_i \)
• \( \int_V \tau_{ij,j} = 0 \, su \, S_u \)

Lavoro interno virtuale:

• \( L_i = \int_V \tau_{ij} E_{ij} \, dV \)

Lavoro esterno virtuale:

• \( L_e = \int_V f_i a_i dV + \int_{S_f} f_i^* a_i ds + o^o \, \text{(ipotesi − \, via su )} \)

Principio dei lavori virtuali per corpi deformabili:

• \( L_i - L_e = 0 \rightarrow \forall \, \delta S_i, \, S_j, e_i, \text{se il corpo statico è equilibrato anche per grandi deformazioni e spostamenti} \)

Principio delle forze virtuali:

• \( L_i = L^\Sigma + \dot{L}_e = \int_V \tau_{ij} E_{ij} \, dV \)
• \( L_i - \dot{L}_e = \omit{V} \, \psi \text{se compatibilità e rispettata sotto l'ipotesi di piccole deformazioni e spostamenti} \)

Dimostrazione Proprieta 1.

L_e = ∫_V Σ_ij Ē_ij dV + ∫_Sfe Σ_ij n_j Ŝ_i dS + ∫_Suu Σ_ij n_j Ŝ_i dS

+

∫_Sfe Ê_ij Σ_ij n_j Ŝ_i - ∫_V σ_ij Δη_ij dV = ∫ Σ_ij Ein_j dS

∫_V σ_ij Δη_ij dV

L_e = ∫_V σ_ij Σ_ij dV = ∫_V σ_ij Σ_ij dV

+

∫_V Ê_ij Σ_ij dV +

= 0 c.v.d.

Dimostrazione Proprieta 2.

L_e = 0 ∀ (V) => ∫_V σ_ij Ê_ij dV

0 = ∫_V σ_ij Σ_ij dV

+

∫_V σ_ij Σ_ij dV +

-∫_V σ_ij Δη_ij dV +

∫_V Ê_ij Σ_ij dV +

= 0 c.v.d.

Dimostrazione Proprieta 3.

La dimostrazione 3 é analoga ma inversa della 2

Equilibrio + contorno

∂Sx/∂x + ∂Txy/∂y = -Fz(x,y)∂Tx/∂x + ∂Sy/∂y = 0∂Tx/∂x + ∂Ty/∂y = -f(x)Sx nx + Txy ny = fxTxy nx + Sy ny = fy

Legame costitutivo

Ex = 1/E * (Sx - νSy) - 1/E * εz(x,y)Ey = 1/E * (Sy - νSx) - 1/E * εz(x,y)εxy = 1/G * Txyεz = (Sx + Sy - νSx)/E

Congruenza

∂Sz/∂z = εz(x,y)∂Sz/∂z = εxy(x,y)Sy = εy(x,y)

La soluzione più generale del precedente sistema prevede che le componenti di spostamento siano espresse come:

Sx(x,y,z) = h(x,y) - bz = z_z zSy(x,y,z) = k(x,y) - cz = z_z zSz(x,y,z) = a + bx + cy + dz + exz + fyz - ω εz=dεx+fg

Non viene in gioco il soddisfare contemporaneamente le leggi costitutive e la congruenza, quanto un problema caratterizzato da approssimazione alle condizioni di congruenza. È conveniente trascurare la verticalità delle componenti di spostamento Sx e Sy rispetto a z, dato il piccolo spessore del corpo.

Sx = Sx(x,y)   Sy = Sy(x,y)

Matrici di rigidezza:

Problema deformazioni pianed = ⎡⎢⎣ λ+2G   λ+2G   0    0   0   G ⟧

Problema sforzi pianic = ⎡⎢⎣ 1/E   -ν   0    -ν   1   0    0   0   2/(1+ν) ⟧

ϵz = -ν/E (Sx + Sy)

Criterio di convergenza per il metodo agli elementi finiti

• classi delle funzioni spostamento S(x) c.a.
• seK(x), seA(x), seG(x) = soluzione esatta

• Ya: sottoclasse Rx ammissimibile delle funzioni spostamento nel quale si cerca la sol. per EE, sia rs(x), Ea(x), Ga(x) = soluzione ad elementi finiti

La risoluzione può essere vista come conseguenza dell'aggiunta di vincoli cinematici sul continuo reale, che comporta maggiore rigidezza della massa.

Caratteristiche della matrice di rigidezza assemblata:

• Simmetrica
• Nel caso di corpo vincolato, in assenza di moti rigidi, è definita positiva (non sing., invertibile.)
• In presenza di moti rigidi è singolare e quindi non invertibile.
• È sparsa e bandata: un riordinamento nodale fornisce matrice triangolare inferiore sotto la sua diagonale obliqua (secondo la numerazione nodi EE)

AC tendente all'infinito del numero di GDL, il modello discreto converge alla soluzione esatta. I gradi di libertà negli EF coincidono con gli spostamenti modellati; per aumentare il numero dei gradi di libertà possiamo:

1. Fitturare la dimensione dell'elemento infinito, infittendo la macchina.
2. Aumentare il grado dei polinomi che descrivono il campo degli spostamenti nei singoli elementi.

Condizioni sufficienti si basano su 2 criteri meccanici:

1. Cohesione: è la condizione per la quale il modello degli spostamenti riesce a rappresentare correttamente almeno i moti rigidi e gli stati di deformazione estorale dell'elemento e quindi delle complete.
2. Conformità e continuità: è la condizione per la quale il modello di spostamenti non consente lacerazioni e compenetrazioni tra all'interno dell'elemento e all'interfaccia di 2 elementi contigui. Sarò necessario un set di spostamenti cinematicamente compatibili e deformazioni integrate.

Si deve garantire continuità C^m all'interno dell'elemento e C^m−1 all'interfaccia tra elementi, dove m è il massimo ordine di derivazione dell'operato cinematicamente compatibile interno (nei problemi = pioni m − 2)

Comportamento Elasto-Plastico

Un materiale elastico spende tutta la sua energia quando raggiunge il limite di snervamento, nello quale tutti i materiali, senza dettagli di duttilità da maggiori risorse, se viene permalle di avere maggior deformazioni senza raggiungere tutti il limite di snervamento. Ritardando il punto di rottura del materiale, rimane deformazione irreversibile delle deformazioni plastiche. Fa capire che il legame può essere scritto solo in termini incrementali dove le deformazioni non possono più essere recepite dopo un certo punto.

Introduce la funzione di plasticizzazione

ψ = f(1 + (σ - σ_f))

• 1) ψ ≤ 0
• 2) dψ ≤ 0
• 3) λ ≥ 0 (Moltiplicatore Plastico)
• 4) R(λ) ≥ 0
• 5) dλ = 0
• 6) λ può essere costante (Elastici Puri) aulentare (Plasticità Perfetta)

L’assunzione N. 1 è accettabile solo se le deformazioni sono molto piccole.

Assunzione N.2: v̇ = E ė