Meccanica Computazionale delle Strutture - Introduzione al calcolo automatico delle strutture e alla stabilità dell'equilibrio elastico ed esercizi d'esame risolti

CALCOLO DELLE VARIABILI E INTEGRAZIONE NUMERICA

Calcolo delle variazioni:

Si definisce funzionale un'applicazione che ad ogni funzione u(x) definita su un intervallo [a, b] e tale da soddisfare determinate condizioni al contorno a e b (esempio: li) sulle funzioni u e sulle sue derivate u', u'', ... fa corrispondere un valore reale

T(u) = _a∫^b F(x,u,u',u'',...) dx

con x ∈ [a, b]. Alle funzioni u(x) possono essere imposte di soddisfare, come detto, alcune condizioni al contorno. Esempi:

u(0) = u₀, u(l) = u₁

Ad esempio, l'energia di deformazione elastica di una trave incastrata:

Φ_E = 1/2 ₀∫^e M x dx = 1/2 ₀∫^e EI (v'') dx

con:

M: momento

χ: circonferenza

Un altro esempio può essere il lavoro delle forze esterne su una trave incastrata:

L_e(v) = ₀∫^e q(x) v(x) dx

con q: carico

Definiamo poi la variazione della funzione u(x), come la funzione:

δu(x) = ũ(x) - u(x)

Variazione di u(x)

dove \( \tilde{u}(x) \) è una funzione anticanonica che

schivasti le stesse variazioni

schivasti le variazioni \( \delta u \)

condizioni

\( u \quad [\delta u(a) = \delta u(b) = 0] \)

Vediamo alcun proprietà dell'operatore

\hspace{1em}

\( i \) operatori di derivazione \((1)\) e variazione

\(\delta\) sono commutativi

\[ (\delta u)' = u' - u'(u + \delta u) + \delta u' - u' = \delta u \]

\( ii \) operatori di variazione \((1)\) e variazioni \(\delta\) agiscono allo

stessomonoinfatti

\( \cdot (\delta(u + \delta u) = \delta u + \delta u + \delta u > u'(\delta u + \delta u)' = u' - \dot{\delta u} \)

\( (\delta u) \cdot 2 + u = r g(u \cdot r \cdot \delta u + s g u' \)

\hspace{2em}

Si definisce infine incremento del funzionale

\(\Delta \pi = \pi(u + \delta u) - \pi(u) \text{ (incremento di }\pi) \)

\[ \int{F(x, u, u'\delta u, u*\delta u'')} \cdot dx \]

Si ha quindi che

\(\pi\) assume un minimo in \(u \Leftrightarrow \pi(u + \delta u) \geq \pi(u)\)

cioè

\(\Delta \pi \geq 0\)

Studiamo la variazione che subisce il funzionale

passaggio

della funzione \(u\) della funzione variabile \(u + \delta u\)

supponiamo che \(u \cdot s g u\)

parte del valore di \(u\) se ha

\(F(x, u, u'\delta u, u*\delta \cdot dx \)

\(F(x, u, u'\delta u, u^2*\delta u'')\)

=

\(\cdot (F F u)' \cdot (\delta F \cdot s F) + \left. \dfrac{\partial \cdot F}{\partial \cdot s}\right|_{u'} < \left. \dfrac{\partial \cdot u' \cdot F}{\partial \cdot \delta u}\right|_{u''} + ...

Cerchiamo una approssimazione basata sui valori della funzione f in

m punti limitando l'errore di integrazione

I(f) ≌ _Σ^{m, i=1} W_i f(Ξ_i) = I_m(f)

dove W_i, detti pesi, Ξ_i sono punti di Gauss tali che..

... viene scelta in modo che la somma fornisca il valore esatto ...

... dell'integrale se f è un polinomio di grado ≤ 2m - 1.

Vediamo cosa succede quando m è un solo punto di Gauss m = 1

I_m=1: f(Ξ_i) = a₀ + a₁ Ξ_i

I₁(f) = W₁ f(Ξ_i)

...quindi deve essere... W₁(a₀ + a₁ Ξ_i) = 2a₀ ...

...da cui si ottiene la...

regola del punto medio

I₁(f) = 2f(0) regola del punto medio

... che fornisce il risultato esatto per funzioni lineari ed..

... antisimmiche ma non in generale...

...

Aumentiamo i punti di Gauss!

I_m=2:

...

I₂(f) = W₁ f(Ξ₁) + W₂ f(Ξ_i)

...

f(Ξ_i) = a₀ + a₁ Ξ_i + a₂ Ξ_i² + a₃ Ξ_i³

I₁f(Ξ_i) = 2a₀ + ²/₃a₁ ...

I₁(f) = W₁(a₀ + a₁ Ξ₁ + a₁ Ξ₁² + a₃ ...

... + W₂ (a₀ + a₁ Ξ₁ + a₁ Ξ_i ... )

...

Eguagliando i termini che moltiplicano le costanti...

...

[2m - 1] = 3

Il funzionale dell'EPT trasforma una funzione di m parametri e quindi semplifica, pertanto la ricerca delle cond. di stazionarietà. Trasformandosi nella semplice ricerca del punto di staz. di una funzione di m variabili.

È maggiore applicato nell'applicazione del metodo si nel riuscire a trovare in un insieme di funzioni che soddisfi a priori le condizioni al contorno essenziali (su u nel corso di domini

Forma generica: Alcuni insiemi di funzioni tra i più usati sono i polinomi, le funzioni trigonometriche ad esempio:

• 1, x, x², ..., x^m
• 1, cos(^{π · x}/_l), cos(^{2π · x}/_l), ..., cos(^{mπ · x}/_l)
• sen(^{π · x}/_l), sen(^{2π · x}/_l), ... sen(^{mπ · x}/_l)

È fondamentale per la convergenza alla soluzione esatta all'aumento del numero m di termini considerato che le funzioni formino un insieme completo cioè con tutti i termini da 0 ad m.

1. Vediamo ora la formulazione debole (soluzioni approssimate) metodi passaggi usando il metodo di Ritz

a) utilizzando il metodo di Ritz ed assumendo:

u₁(x) = a₁ x(9) (m=1)

che soddisfa la cond. al contorno essenziale u(θ)=0, si ha per quanto visto anche a pag. 9

π(u₁) = ^EA/₂ ∫₀^l (u'₁(x))² dx - ∫₀^l p_x x dx = ^{EA l}/₂ a₁² - p ^l2/₂ a₁

Imponendo la cond. di stazionarietà si ottiene

dπ/da₁ = 0 ⇒ EA l a₁ - p ^l2/₂ = 0 ⇒ a₁ = ^{p l}/_{2 EA}

a u₁ corrisponde la soluzione approssimata (vedere anche pag. 9)

s ono gli spostamenti del con

t ra e

v ettore degli spostamenti

(x) = (1 x) ( u_i(1) )

( u_i(2) )

(x) = (1 x) ( u_i(1) )

( u_i(2) )^T

t ubre della funzione forma

di campo che abbiamo apprezzato prima la somma forma N^T(x)u⁽ⁱ⁾(x) ovvero l'e⁽ⁱ⁾(x) funzione lineare del i⁽ⁱ⁾

N^T(x)u_e(x) spostamento dell'intero del'elemento i

campo di spostamenti all'interno dell'elemento i-esimo

del chimico stato de

⁽ⁱ⁾(x) = du_x = N'^T (x, u⁽ⁱ⁾)

u'⁽ⁱ⁾ (x)

deformazione dell'elemente

con

N⁽ⁱ⁾(x)^-1 = (1 )

c_e (1 )

f alto in die versa prima di l'in clo in catto sopra

Possiamo calcolare l'EPT dell'elemento i-esimo

X = 1/2 ∫₀^c_e EA_i (ε⁽ⁱ⁾)² dx - ∫₀^c_e p(x)u⁽ⁱ⁾(x) dx =

= 1/2 ∫₀^c_e EA_i (N'^T(x) u⁽ⁱ⁾(x))² dx - ∫₀^c_e p(x) N⁽ⁱ⁾(x)T u⁽ⁱ⁾(x) dx =

= 1/2 ∫₀^c_e EA_i (u⁽ⁱ⁾T N⁽ⁱ⁾(x) (N'^T(x) u⁽ⁱ⁾)(N'^T(x) u⁽ⁱ⁾)^Tu^c_e) dx - ∫₀^c_e p(x) N⁽ⁱ⁾(x)^T u⁽ⁱ⁾(x) dx

X = 1/2 u⁽ⁱ⁾T (EA_i ∫₀^c_e N'⁽ⁱ⁾(x) N'^T(x) dx - u⁽ⁱ⁾T ∫₀^c_e p(x) N⁽ⁱ⁾(x)^Tu⁽ⁱ⁾

Parlando fuerh delle integrali Termini che non dipendono da x, si ottiene

e [2 termine di tumi

r⁽ⁱ⁾u⁽ⁱ⁾T (1/2) u⁽ⁱ⁾T u⁽ⁱ⁾(x)f

(u⁽ⁱ⁾)

⁽ⁱ⁾Tu⁽ⁱ⁾

con

K⁽ⁱ⁾ = ∫₀¹ (x) = EA_i [1 -1] [2

c_i -1 1

I

massima di imparerà xa elemento è assima

I

Un e muntre i menzione e somme testa 0

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