Meccanica Computazionale delle Strutture - Introduzione al calcolo automatico delle strutture e alla stabilità dell'equilibrio elastico ed esercizi d'esame risolti

Calcolo delle variazioni

Si definisce funzionale un'applicazione che ad ogni funzione u(x) definita su un intervallo [a, b] e tale da soddisfare determinate condizioni al contorno a e b (essenzialmente) sulle funzioni u o sulle sue derivate u', u''... fa corrispondere un valore reale:

Π(u t) = ∫_a^b F(x, u, u', u'', ...) dx con x ∈ [a, b].

Alla funzione u può essere richiesto di soddisfare, come detto, alcune condizioni al contorno:

• u(0) = u_o, u(l) = u_c
• per ⎨u(a) = u_a, u(b) = u_b

Esempi di applicazione

Ad esempio, l’energia di deformazione elastica di una trave incastrata è:

Φ_e = 1/2 ∫₀^l Mx dx = 1/2 ∫₀^l EI(v'') dx

con ⎨M momento = -EI v'', Χ curvatura = v''

v'(0) = 0 [spostamento nullo α 0]

v'(Θ) = 0 [rotazione nulla in 0]

Un altro esempio può essere il lavoro delle forze esterne su una trave incastrata

L_e (v) = ∫₀^l q(x) v(x) dx con q carico

Variazione della funzione

Definiamo poi la variazione della funzione u(x) come la δu(x) = ũ(x) - u(x) variazione di u(x)

Calcolo delle variabili e integrazione numerica

Si definisce funzionale un'applicazione che ad ogni funzione u(x) definito su un intervallo [a, b] e tale da soddisfare determinate condizioni al contorno a i b (essenzialmente) sulla funzione u e sulle sue derivate u',... fa corrispondere un valore reale:

π(u+)∫_a^bF(x, u, u, u',...) dx ∀u: u(a) = u_a, u(b) = u_b con x ε [a, b].

Alla funzione u può essere richiesto di soddisfare, come detto, alcune condizioni al contorno:

• u(0) = u_o, u(l) = u_l

Ad esempio, c'energia di deformazione elastica di una trave incastrata:

Φ_e = 1/2 ∫₀^lMX dx = 1/2 ∫₀^lE I (v'') dx con M = momento = E I v'' X = derivata della curvatura = v''

Lavoro delle forze esterne

Un altro esempio può essere il lavoro delle forze esterne su una trave incastrata:

L_e(v) = ∫₀^lq(x) v(x) dx con q = carico

Definiamo poi la variazione della funzione u(x) come la funzione:

δu(x) = ũ(x) - u(x) variazione di u(x) dove ũ(x) è una funzione ammissibile che soddisfa le stesse condizioni del contorno richieste per u(x) → la variazione δu soddisfa le forma omogenea delle condizioni richieste per u [δu(a)=δu(b)=0]

Proprietà dell'operatore di variazione

Vediamo alcune proprietà dell'operatore di variazione δ che seguono della sostituzione:

• (1) Gli operatori di derivazione (') e di variazione δ sono commutativi: (δu)'=δu'-u*'+δu*'+μ'*i'=δu'
• (2) Gli operatori di derivazione (') e variazione δ agiscono allo stesso modo infatti δ(u+i)=u-u' δu+i+j+v=u' δu + i+v δ(u*i)=u-u'*u+u'Lu*δu+i(δui)-u'Li+u'Li δ(∫u dx)=∫u*δu dx=∫u d∞ ∫δu dx

Incremento del funzionale

Si definisce inoltre l'incremento del funzionale π la quantità:

Δπ=π(u+δu)-π(u) incremento di π=[∫F(x,u+δu,u*+δu*,u,u*'...) dx - ∫F(x,u,u,u*'...) dx]

Se da gamma di π assume un minimo in u ⇔ π(u+δu)>π(u),

Stianamo la variazione che subisce il funzionale π nel passaggio dalla funzione u alla funzione variata u+δu, supponiamo che F sia sviluppata in serie di Taylor la funzione F a partire dal valore in u, si ha:

∫(F(x,u+δu,u*+δu*u*+δu*'...)) - ∫F(x,u,u,u',''...) = [∫δF/δu + δF/δu*' δF/δu* + [1/2₂ δF/δu'(δu')] + δ F/δu'i (δu*i) + δF/δu*i' + δF/δu*' δu* + δF/δu*' dδu* +

Quindi:

Δπ = ∫_a^b (∂F/∂u' δu + ∂F/∂u δu' + … ) dx + ∫_a^b ( ∂F/∂u δu δu' + ∂F/∂u' dou' δu + ∂F/∂u' δu δu' ) dx + ...

Cioè:

Δπ = π + π' + ... dove π, π' sono rispettivamente le variabili prime e seconde del funzionale π. Poiché la variazione prima u non è definita in segno (infatti, se π >> 0 per una certa variazione u, allora basta considerare la variazione u = −