Meccanica delle strutture

La meccanica

La meccanica è il naturale proseguo del percorso della statica è uno studio comparato tra le matematiche e la fisica per scoprire cosa succede al corpo rigidi intorno a noi e anche all’interno delle fibre della materia.

Nella statica si devono conoscere:

• Calcolo delle reazioni vincolari (le RV sono dei vettori che tengono equilibrato una struttura rigida sottoposta ad azioni di forza esterna) ci si immagina un flusso di forze esterne chiamate carichi che impattano contro le strutture (i corpi). Affinché il corpo non ceda sotto le forze ci si immaginano delle contre forze che vadano ad annullare le forze esterne.
• I vincoli quei dispositivi applicati alle strutture che hanno il compito di impedire alcuni movimenti alle parti delle strutture.

Le reazioni vincolari si calcolano con il sistema di riferimento (il verso positivo nel sistema internazionale è antiorario).

Diagrammi della figura

Diagrammi della figura sono dei disegni che rappresentano l’andamento degli sforzi dentro le infinite sezioni di un corpo rigido. Sono ricavati numericamente dall’analisi degli sforzi: normali, taglio e momento, che prendono il nome di caratteristiche della sollecitazione. Per fare questo a livello si utilizza un altro sistema di riferimento chiamato concio elementare. È un cubetto normalmente rappresentato con un rettangolo che riquadra per noi le fibre tese, con le sezioni sulla quali sono applicate i versi della positività dei nostri sforzi:

• S normale i tratti che entrambi le direzioni.
• S taglio: quando imprime rispetto al fulcro, una rotazione oraria.
• Momentoflettente: quando tende le fibre inferiori.

In statica ci siamo limitati a dire che le forze esterne sono bilanciate da quelle interne, cioè la presenza di uno sforzo nel punto in cui si incontrano ma queli sforzi sono esterni fermi: noi si preoccupiamo quindi. La meccanica si chiede: cosa succede negli infinite sezioni della materia? (la propagazione di una sollecitazione derivate) la materia oppone una tensione che è la risposta della materia alla sollecitazione che può generare delle deformazioni. Quindi: dobbiamo conoscere oltre l'equilibrio, della famosa deformazione (ha due valenze: da una parte della deformazione vera è propria della materia (visiva), ma è anche intesa come spostamento infinitesimo di una struttura rigida. Noi impariamo a conoscere i parametri di spostamento che sono:

• ψ(φi) = δ(delta)
• σ - allungamento o accorciamento legato allo sforzo normale di trazione o compressione
• η - abbassamento o innalzamento

ψ(φi) è la rotazione elastica del nodo (dove per nodo si intende il punto che unisce l'asta con il vincolo, l'asta o comunque dove una forza è applicata su una struttura) -> %* rotazione dell'asta su se stessa

c'è anche la ψ(psi)

ma noi non la calceremo

La linea elastica rappresenta l'equazione della curva deformante del trattoria. Elastica perché si suppone che quando ci rimuovo il carico il materiale sia in grado di ritornare nella posizione precedente. La variabile fondamentale in matematica è x per cui andremo a trovare una funzione in x, trovando questa scopriremo nelle torri dove ci é il massimo affondamento (dove deve piegamento massimamente il schiavo) Fondamentale nella linea elastica è η(abbassamento transitivo si calcola in trevi torri progetto appositi

3) CALCOLO DELLA LINEA ELASTICA (passaggio di confine tra statica e meccanica) mi dice che la derivata seconda di Y è:

η'' = - M(x) / EI

Cosa sono E ed I? E ed I moltiplicati tra loro rappresentano la rigidità flessionale cioè la capacità che ha una trave o un'asta in base al materiale di cui è composta di flettersi.

E: si chiama modulo di Young ed è il modulo di elasticità lineare e rappresenta la capacità che ha ogni materiale di essere elastico rispetto alle sollecitazioni esterne (rimane sempre generalmente E, non lo espliciteremo)

I: momento di inerzia della sezione (lo ricaviamo dalla geometria della cosa di statica). Questo valore che si esprime in potenze alla quarta dipende dalla forma della sezione ☐ ▭ △ ◯

Moltiplicati mi dicono quanto si può flettere rigidezza flessionale.

Ritroviamo che linea elastica che per me è semplicemente Y e integriamo.

η'' = qx^2 / 2 - qLx + qL^2 / 2

EI

η'_de = ∫η'' dx = 1 / EI ∫(qx^2 / 2 - qLx + qL^2 / 2) dx = 1 / EI [qx^3 / 6 - qLx^2 / 2 + qL^2 x / 2]

∫xⁿ = xⁿ⁺¹ / n+1

Φ

η = ∫η' = 1 / EI [qx^4 / 24 - qLx^3 / 6 + qL^2 x^2 / 4 ] + C₁x + C₂

equazioni generali dell'abbassamento

η

In questo metodo posso calcolare solo le Φ e le Y, queste sono eq.uazioni generali non è ancora finita perché dobbiamo trovare altre relazioni per capire dove questa struttura è maggiormente sollecitata.

Linea elastica per iperstatiche

La parola iperstatico significa che ho una struttura che ha vincoli con troppa molteplicità, cioè ha più vincoli di quelli mossasse.

Quando le strutture sono iperstatiche dobbiamo risolverle in maniere differente, la linea elastica iperstatica va risolta con i concetti matematici di derivate e integrali.

Utilizzando le equazioni differenziali per permettere di trovare un legame tra gli spostamenti (parametri cinematici) e le reazioni vincolari (parametri statici) questo legame è dato dall'equazione differenziale dell'_II ordine, cioè se ho un vincolo con n=g, iperstatico è volta l'equazione di 4 ordine, si chiama η^IV.

η^IV = ^q/_EI

è sufficiente svolgere 4 integrali per arrivare ad η. Impostiamo una piramide di integrali che sarà la stessa per tutti gli iperstatici.

Di solito questa linea elastica si fa per travi piane con carico distributo (la forma dei prof con CD + carichi concentrati o solo cc, le forniremo in seguito).

FORMULE INVERSE:

T = M^IIIEI

H = -η^IIIEI

η^III = ^qx/_EI + C₁ = T

η^II = ^qx2/_2EI + C₁x + C₂ = M

η^I = ^qx3/_6EI + C₁x²/₂ + C₂x + C₃ = φ

η = ^qx4/_24EI + C₁x³/₆ + C₂x²/₂ + C₃x + C₄

Parametri cinematici

Ritorniamo da questo nella struttura iperstatica in cui si chiede la soluzione per linea elastica. Ho 4 incognite di costante d'integrazione φ e η ed in più M e T (momento e taglio).

Saltiamo i primi 3 passaggi dell'isostatico ed arriviamo ad:

C₁L³/6

9qL⁴/48EI

C₁L³/2

C₁L³/6 + 9qL⁴/24EI

C₁L³ - 3C₁L³/6 = -6L¹/2qEI

C₁ = -5qL⁴/8EI

C₂ = -9L²/2EI + 5qL²/8EI

C₂ = -9L²/8EI

C₃ = C₄ = 0

qB = qL³/6EI + L²/2(-5qL²/8EI) + (9L²/8EI)

= qL³/6EI 5qL³/16EI qL³/8EI

= 8 - 15 + 6/48EI qL³

A = M_A''' EI = -(C₁) EI = (-5qL/8EI) EI = 5/8 qL

B = M_B''' 1

= -(9L/8EI + C₁) EI = -qL + 5/8 qL = -3/8 qL

A = M_A'' EI = -(C₂) EI = -(-9L²/8EI) EI = -9L²/8

b=0

UDFINITIVA