Complementi di analisi per il flusso del campo elettrico

COMPLEMENTI DI ANALISI PER IL FLUSSO DEL CAMPO

ELETTRICO

Il flusso del campo elettrico è uguale al prodotto scalare fra vettore campo

elettrico e parte infinitesimale di superficie, dato che viene calcolato in base ad

una superficie limitata, si può scrivere anche così:

❑

∬ ⃗ ⃗

=

Φ E ∙ d S

⃗

E S

Con un integrale doppio viene calcolato un volume in uno spazio a tre

( ) =1

dimensioni, oppure una superficie se si integra la funzione (es.

f x , y

( )

circonferenza). In particolare data una funzione , l’integrale calcolato

z=f x , y

su una specifica linea S è uguale al volume fra la funzione e il piano .

xy

Data una funzione in due variabili , definita su una linea H, il suo

(x )

f , y

integrale doppio può essere scomposto in due integrali singoli, in due modi.

Prima di tutto si può usare la decomposizione orizzontale, ossia si può partire

dalla , per calcolare in tal modo l’integrale, si dovranno avere le seguenti

x

ipotesi: ( ) ( ) ∀ ∈[a ]

a ≤ x ≤ b ; α x ≤ y ≤ β x , x ,b

INTEGRALI DOPPI: dato un dominio D normale rispetto all’asse delle ascisse,

[ ]

( ) ( ) ( )

∈

2 }

sottoinsieme di definito così: con alfa e

D={ x , y a , b × R: α x ≤ y ≤ β x

R

beta funzioni continue e beta maggiore di alfa, l’area di una regione compresa

b

∫ ( ) ( )

fra le due funzioni è uguale a , con D insieme normale ad

−α x

β x x dx

a

(analogamente si poteva fare con y).

Con gli integrali tripli i procedimenti sono analoghi, l’insieme è normale rispetto

alla variabile dalla quale si parte, ecco un esempio:

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

∀ ∈ =D

a ≤ x ≤ b ; c ≤ y ≤ d , γ x , y ≤ z ≤ δ x , y , x , y a ,b × c , d

Affinché si possa adoperare la tecnica di separazione in due integrali singoli, è

2

necessario che l’insieme di definizione dei punti (sottoinsieme di ) sia

D R

NORMALE [condizioni di sopra] (in questo caso rispetto sia a che a ).

x y

2 2

Ad esempio, se si prende la curva e si prende solo la parte con le

( ) + =1

x−1 y

positive, notiamo che è compresa fra 0 e 2, mentre la è compresa

y x y

√

fra 0 e la funzione , se vogliamo calcolare l’integrale della funzione

2

y= 2 x−x

entro questa linea specifica, si dovrà fare questo passaggio specifico

z=xy

(vanno scelte opportunamente le funzioni, ci si deve trovare

dimensionalmente):

√ 2

2 2 x−x 2

❑ 1 2

∬ ∫ ∫ ∫ 2

= (2 −x )dx=

xydxdy dx xydy= x x

2 3

S 0 0 0

Si poteva partire anche da e considerare diversamente la funzione.

y