Complementi di analisi per il flusso del campo elettrico

Complementi di analisi per il flusso del campo elettrico

Il flusso del campo elettrico è uguale al prodotto scalare fra vettore campo elettrico e parte infinitesimale di superficie. Dato che viene calcolato in base a una superficie limitata, si può scrivere anche così:

❑∬ ⃗ ⃗= Φ E ∙ d S⃗E S

Integrali doppi e tripli

Con un integrale doppio viene calcolato un volume in uno spazio a tre dimensioni, oppure una superficie se si integra la funzione (es. f(x, y) circonferenza). In particolare, data una funzione z=f(x, y), l'integrale calcolato su una specifica linea S è uguale al volume fra la funzione e il piano xy.

Data una funzione in due variabili f(x, y), definita su una linea H, il suo integrale doppio può essere scomposto in due integrali singoli, in due modi. Prima di tutto si può usare la decomposizione orizzontale, ossia si può partire dalla x, per calcolare in tal modo l'integrale, si dovranno avere le seguenti ipotesi:

• a ≤ x ≤ b
• α(x) ≤ y ≤ β(x)

Calcolo degli integrali doppi

Dato un dominio D normale rispetto all'asse delle ascisse, definito così:

• D = { (x, y) ∈ [a, b] × R² : α(x) ≤ y ≤ β(x) },

con alfa e beta funzioni continue e beta maggiore di alfa, l'area di una regione compresa fra le due funzioni è uguale a:

∫_a^b [β(x)−α(x)] dx

(analogamente si poteva fare con y).

Calcolo degli integrali tripli

Con gli integrali tripli, i procedimenti sono analoghi; l'insieme è normale rispetto alla variabile dalla quale si parte. Ecco un esempio:

• ∀ (x, y) ∈ [a, b] × [c, d] : γ(x, y) ≤ z ≤ δ(x, y)

Affinché si possa adoperare la tecnica di separazione in due integrali singoli, è necessario che l'insieme di definizione dei punti (sottoinsieme di R²) sia NORMALE [condizioni di sopra] (in questo caso rispetto sia a x che a y).

Esempio di calcolo

Ad esempio, se si prende la curva x² + y² = 1 e si prende solo la parte con le y positive, notiamo che è compresa fra 0 e 2, mentre la y è compresa fra 0 e la funzione y = √(2x - x²). Se vogliamo calcolare l'integrale della funzione z = xy entro questa linea specifica, si dovrà fare questo passaggio specifico (vanno scelte opportunamente le funzioni, ci si deve trovare dimensionalmente):

√(2x) - x