Complementi di analisi matematica per l'ingegneria informatica - Serie di potenze

Serie Di Funzioni

Serie Di Potenze:

∑_m a_m (x - c)^m a_m ∈ R coeff. variabile

• Applicazioni: nella combinatoria e ingegneria elettrica/elettronica

Serie Di Taylor:

∑_m ^f(m)(c) a_m ^{(x - c)m}

• Caso particolare delle serie di potenze: dove a_m = ^f(m)(c) / m!
• Applicazioni: approssima la funzione nel punto c

Serie Di Fourier:

^a₀/2 + ∑_m=1^{[a_m cos(mωx) + b_m sin(mωx)]}

• Applicazioni: approssima il comportamento di funzioni acustiche e ottiche

Serie Di Potenze:

Def:

Si definisce Serie Di Potenze Di Centro C la scrittura:

∑_m=0 a_m (x - c)^m con a_m ∈ R   γ m ∈ N

In particolare si dice serie di potenze di centro 0 (zero) la scrittura:

(*) ∑_m=0 a_m x^m con a_m ∈ R   γ m ∈ N

Nota: Tutti i risultati che valgono per le serie di potenze centrate in x=0 valgono anche per le serie di potenze centrate in x=c poich; basta fare un cambi di variabile: x-c=t

Convergenza della serie di potenze

Osservazione

$$ x_{0} = \sum_{m=0}^{\infty} a_{m} x^{m} $$ $$ \sum_{m=0}^{\infty} a_{m} x^{n} < \infty $$

Per la serie di potenze, l'insieme di convergenza $X$ è sempre un intervallo (centrato in 0, in 0,0) a metà della lunghezza di questo intervallo è detta:

Raggio di convergenza $R$

$$ \left( R = sup X \right) $$ (Se centrato in 0)

E(s.): Serie geometrica

$$ \sum_{n=0}^{\infty} x^{m} $$ $$ \sum_{m=0}^{\infty} x^{m}= \frac{x^{m+1}}{1 - x} $$

Proposizione

Per y ≠ 1 $$ \sum_{m=0}^{\infty} x^{m} = \frac{1 - x^{m+1}}{1 - x} $$

Dim.: (per induzione (Peano))

• Caso base: $$m = 0$$; $ \sum_{m=0}^{0} x^{m} = 1 $; $$ \frac{1 - x^{0+1}}{1 - x}= \frac{1 - x}{1 - x}= 1 $$ , vero

Supponiamo che valga per un fissato $$m: \sum_{k=0}^{m} x^{k} = \frac{1 - x^{k+1}}{1 - x}$$ (ipotesi induttiva)

Dimostro che la formula valga per $$m + 1$$: $$ \sum_{k=0}^{m+1} x^{k} = \sum_{k=0}^{m} x^{k} + x^{m+1} = \frac{1 - x^{m+1}}{1 - x} + x^{m+1} = \frac{1 - x^{m+1}}{1 - x} + \frac{x^{m+1} (1 - x)}{1 - x} = \frac{1 - x^{m+2}}{1 - x}$$ Tesoro induttiva

Se la l.t. induttiva è verificata, allora l'ip. induttiva e vera $\forall$

Calcolo $$ \sum_{k=0}^{m+1} = \sum_{k=0}^{m} x^{k} + x^{m+1} x +\frac{1 - x^{m+1}}{1 - x} + \frac{x^{m+1}}{1 - x} = \frac{1 - x^{m+2}}{1 - x}$$ vero

Dato che la tesi è stata verificata $$\Rightarrow$$ l'ipotesi induttiva vale $$\forall$$

Osservazione:

Per $$x = 1$$, siha $$\sum_{k=0}^{k} 1^{k} = \sum$$

Metodi per Determinare il Raggio di Convergenza R:

Criterio di D'Alembert o del Rapporto:

Data Σ a_n xⁿ Serie di Potenze

Hp.: con a_m ≠ 0 ∀m ∈ ℕ

Pongo l_n = |a_n+1/a_n|

...

Calcolo: lim_m→+∞ l_m+1/l_m = |l| ×|x|

Se x ≠ fisso vale per il criterio del rapporto per le serie numeriche:

• < |x| < 1 converge |x|< 1 / l Σ a_n xⁿ converge
• |x| = 1 indeterminata => Se |x| ≠ 1/ l Σ a_n xⁿ
• |x| > 1 diverge Σ a_n xⁿ diverge

Ma dato che R = 1/l

• Se l = 0 ⇒ R → + ∞
• Se l → + ∞ ⇒ R → 0

Es. Studiare la serie Σ x^m / m! Verifico il criterio del rapporto:

lim_m→+∞ ((m + 1) / m!) = lim_m→+∞ m/(1·m!) = lim_m→+∞ 1/m = 0 = l

Dato che: R = 1/l = 1/0 ⇒ R → +/∞

Si ha allora che la serie conv. assolutamente in R e totalmente (assolutamente) in ogni intervallo chiuso e limitato di R. (vd. Teorema A)

Es:

Scrivere lo sviluppo in serie di Mac Laurin di:

f(x) = ¹/_{x² - 3x + 2} = ¹/_(x-1)(x-2)

Sol(x₀) = ℝ - {1, 2}

f(x) = ^A/_x-1 + ^B/_x-2

A(x-2) + B(x-1) / (x-1)(x-2) = (A + B)x - 2A - B / (x-1)(x-2)

A + B = 0

-2A - B = 1

Nota: 1 / 1 - x = Σ_m=0^+∞ x^m ͯ ∀x ∈ (-1, 1)

1 / 1 - x = Σ_m=0^+∞ x^m, ∀x ∈ (-1, 1) + 1 / 1 - x = Σ_m=0^+∞ (1/2)^m

=⇒ δ(x) = Σ_m=0^+∞ x^m - 1 / 2 Σ_m=0^+∞ (1/2)^m δ(x) = Σ_m=0^+∞ (1 / 2 + 1 )^m

Ex.

SIA DATO IL CAMPO VETTORIALE F_(x,y)(t):

F_(x,y)(t) = ( x² + y² / t, x·tg x / t, y + 4t + y² x² + y² / t ).

1. Determinare ∂(F).
2. Determinare l'insieme A contenente l'origine in cui F è conserv.
3. Determinare il potenziale di F su A.
4. Data la curva γ_(t) (1-t, 1 / t² + π / 4) con t Є [-1, +1] calcolare ∫ F( P) · dP

∂(F)= { ( x, y ) Є R² | x² + y² / t = π k π , k Є N} ⊆ { ( x, y ) Є R² x ⁺ y² z t + 4 k t k Є N }.

∂(F) = R² privato delle circonferenze di raggio √ 2 t + 4 π t. ∀k Є N

a) A = { ( x, y ) Є R² | x² + y² < 2 π }

- Poichè F è conserv. su ogni aperto semplic. connesso di ∂(F)

c) Poichè F è conservativo su A:

- ∃ ∇ U: A → R di classe c¹ / F( x, y ) = ∇ U( x, y )

∂U / ∂x = F₁( x, y ) = x tg x / t x² + y² / 4 ∂U ∂y. ₂ x_y + y + 4 y² + y.²x.²

x + y + 4· y²

• Fissato y, integriamo la I^a uguaglianza rispetto a x:

U(x, y )= ∫ xtg x x² y² dx = 2 ∫ xtg t dt = 2 ∫ xtg t cos t dt = = 2 log cos t dt + k( y )

= log 2 log cos x 2 y² dt · x² + y² x / 2

- log / log x² + y² 4 | x² + y² / t x² + y² .

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(*) = ∫∫∫3 sin u dr dθ r + 1.5 sen u d dθ r = 2∫_r³/1₃ ∫_2π⁰ (0.2π)

5/6π ∫₀^2π∫sin u r dr dθ = π /2   27 drdθ

= sθ ∫_π^5/6π sin u dz du = 54 ∫₀^π ∫₁² cos du du,

7π /12 ∫_π⁰ ₂u

cos 2u = cos²u - sin²u

/∫π² u = cos²u - cos 2u = 1 - cos 2u / 2

(*) = 1/π ∫_-π^π f(cs)D_N(t-s)ds

Ponendo s=t-σ, s=σ+t poiché S varia in [-π+σ+π] σ varia in [-π-t, π+t],

SI HA: (*) = 1/π ∫_-π-t^π+t f(t+σ) D_N(σ) dσ = 1/π ∫_-π-t^π-t f(t+σ)DN(σ) dσ

Se f è periodica e sommabile in [π,t] f è sommabile su ogni intervallo

Pertanto: ∫_α^α+2π f(cs) ds = ∫_α^π f(cs) ds

(*) = 1/π ∫_-π^π f(t+σ) D_N(σ) dσ = 1/π ∫₀^π f(t+σ) D_N(σ) dσ =

1/π ∫₀^π f(t-σ) D_N(σ) dσ + f(t+σ) D_N(σ) dσ =

1/π ∫₀^π f(t-(ts)) D_N(3) dσ + f(t+_σ)D_N(σ) dσ)

⁼ 1/π ∫₀^π (f(t-σ) + f(t+s)) D_N(s) ds

=2/π ∫₀^π f(t-s) + f(t+s)/2 D_N ds

C.V.Q.D