Complementi di analisi matematica per l'ingegneria informatica - Serie di potenze

Serie di Funzioni:

• Serie di Potenze: \(\sum_{m} a_m (x-c)^m\), \(a \in \mathbb{R}\) coeff. variabile
• Applicazioni: in algebra combinatoria e ingegneria elettrica/elettronica
• Serie di Taylor: \(\sum_{m} \frac{f^{(m)}(c)}{m!} (x-c)^m\)
• Caso particolare delle serie di potenze dove \(a_m = \frac{f^{(m)}(c)}{m!}\)
• Applicazioni: approssima la funzione nel punto c
• Serie di Fourier: \(\frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^{\infty} (a_m \cos(mx) + b_m \sin(mx))\)
• Applicazioni: approssima il comportamento di funzioni acustiche e ottiche

Serie di Potenze:

Def.

Si definisce serie di potenze di centro c la scrittura:

1. \(\sum_{m=0}^{\infty} a_m (x-c)^m\) con \(a_m, c\in \mathbb{R}\), \(\forall m \in \mathbb{N}\)

In particolare si dice serie di potenze di centro 0 (zero) la scrittura:

1. (*) \(\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m\) con \(a_m \in \mathbb{R}\), \(\forall m \in \mathbb{N}\)

Nota: Tutti i risultati che valgono per le serie di potenze centrate in \(x_0 = 0\) valgono anche per le serie di potenze centrate in \(x_0 = c\) poiché basta fare un cambio di variabile: \(x-c=t\)

Serie di Funzioni:

(Alcuni tipi)

Serie di Potenze:

∑_m a_m (x - c)^m a_m ∈ ℝ coeff. variabile

• Applicazione: inela combinatoria e ingegneria elettrica/elettronica

Serie di Taylor:

∑_m ^f(n)/n!(c) (x-c)^m

• Caso particolare delle serie di potenze dove a_m = (f⁽ⁿ⁾(c))/m!
• Applicazione: Approssima la funzione nel punto c

Serie di Fourier:

a_m/2 + ∑_m=1^∞ (a_mcos(mx) + b_msin(mx))

• Applicazione: Approssima il comportamento di funzioni acustiche e ottiche

Serie di Potenze:

Def.:

Si definisce serie di potenze di centro c la scrittura:

∑_m=0^∞ a_m (x - c)^m con a_m,c ∈ ℝ, ∀m ∈ ℕ

In particolare si dice serie di potenze di centro 0 (zero) la scrittura:

(*) ∑_m=0^∞ a_m x^m con a_m ∈ ℝ, ∀m ∈ ℕ

Nota:

Tutti i risultati che valgono per le serie di potenze centrate in x₀ = 0valgono anche per le serie di potenze centrate in x₀ = c poiché bastafare un cambio di variabile: x - c = t

Convergenza della Serie di Potenze:

Osservazione:

x=0 ⇔ _m=0^∞ ∑ aₘ xᵐ = ∑ aₘ 0ᵐ = a₀ ⇒ x∈X, ∑ aₘ xᵐ < +∞

Per la serie di potenze, l'insieme di convergenza X è sempre un intervallo (centrato in 0 o in c), la metà della lunghezza di questo intervallo è detta:

Raggio di convergenza R, R = (Sup X) (se centrato in 0)

Es.i: Serie Geometrica _m=0^∞ ∑ xᵐ

Proposizione:

∑ _m=0^∞ xᵐ = ^1-xm+1/_1-x per x≠1

Dim.:

Per induzione (Peano)

Cas.base: m=0: ∑ _k=0⁰ xᵏ = 1 = ^1-x0+1/_1-x; Vero

• Supponiamo che valga per un fissato m: ∑ _k=0^m xᵏ = ^1-xm+1/_1-x (Ipotesi Induttiva)
• Dimostro che la formula valga per m+1: ∑ _k=0^m+1 xᵏ = ^1-xm+2/_1-x (Tesi Induttiva)
• Se la T.I. Induttiva è verificata, allora l'Hp. Induttiva è vera ∀m∈ℕ
• Calcolo: ∑ _k=0^m+1 xᵏ = ∑ _k=0^m xᵏ + x^m+1 = ^1-xm+1/_1-x + x^m+1 = ^{(1-xm+1) + xm+1(1-x)}/_1-x = ^1-xm+2/_1-x; Vero
• Dato che la tesi è stata verificata ⇒ l'Ipotesi Induttiva vale ∀m∈ℕ

Osservazione:

Per x=1, si ha: ∑ _k=0^m 1ᵏ = m

Proposizione

La serie geometrica ha il seguente comportamento:

Converge per |x|<1

Diverge per x≥1

Indeterminata per x≤-1

Dim:

• Calcolo:
•  Se |x|<1 → ^m∑_k=0 x^k = ^1-xm+1/_1-x → ¹/_1-x
•  Se x≥1 → Diverge
•  Se x=-1 → S_m=1-1+1-1+···(-1)^m
•  Se x≤-1 → Indeterminata

Teorema A

• Hp: Se ^∑