Complementi di analisi matematica per l'ingegneria informatica - Integrali curvilinei

Appunti di Complementi di analisi matematica per l'ingegneria informatica, corso Ingegneria informatica, tenuto dal professor Polidoro. Gli argomenti trattati sono i seguenti: gli integrali curvilinei, gli integrali multipli e il calcolo del potenziale.

Esame Complementi di analisi matematica per l'ingegneria informatica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Polidoro Sergio

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Publisher ZioEma

A.A. 2014-2015

45 pagine

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Integrali Curvilinei & Potenziali:

Def.: Dato A insieme aperto di R^m, una curva regolare (δ ∈ C¹ ([a,b],A))

Oppure una curva regolare a tratti, ossia:

t₁, t₂, ..., t_k ∈ [a,b]: a < t₁ < t₂ < ... < t_k < b, δ ∈ C¹ ([a,t₁]), δ ∈ C¹ ((t_i, ...

Es. 1) Curva regolare:

δ(t) = (x₀ + ut, y₀ + vt)
δ'(t) = (u,v)

Es. 2) Curva regolare:

δ(t) = (x₀ + r cos(t), y₀ + r sin(t))
δ'(t) = (-r sin(t), r cos(t))

Es. 3) Curva regolare a tratti:

δ(t) =
- (t + 3, 0), -2 ≤ t < 0
- (cos t, sin t), 0 ≤ t < π

Se δ(b) = δ(a) diciamo che δ è una curva chiusa.

Def:

Se $\gamma: A \rightarrow \mathbb{R}\$ continua, per definizione:

$\int_{a}^{b}f(\gamma(t))\cdot \left\|\gamma'(t)\right\|dt\$

Se $F: A \rightarrow \mathbb{R^{m}}\$ continua, per def.:

$\int_{\gamma} F = \int_{a}^{b} \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t) \rangle dt\$

Es.

$\gamma\$ regolare a tratti:

$\gamma(t)=\begin{cases}(t+1,0) & -2 \leq t < 0 \\ (cos t, sin t) & 0 \leq t \leq \pi \end{cases}\$

$\gamma_{1}(t)=(t+1,0)\$, $t \in [-2,0]\$
$\gamma_{2}(t)=(cos t, sin t)\$, $t \in [0,\pi]\$
$\gamma(t)=\gamma_{1}(t)+\gamma_{2}(t)\$

Risulta: $\int_{\gamma}F=\int_{\gamma_{1}}\\ F+\int_{\gamma_{2}}F\$
Infatti: $\int_{\gamma}F=\int_{a}^{b} \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle dt=\int_{-2}^{0} \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle dt+\int_{0}^{\pi} \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle dt\$

Osservazione:

Se $\eta(t)=\gamma(\phi(t))\$, si ha:

$\int_{\eta}f=\int_{\gamma}f=\int_{x}^{y}f(\gamma(\phi(t)))|\phi'(t)|dt=\int_{x}^{y}f(\eta(t))|dy|\$

Es.

$\gamma(t)=(x_{0}+xcos t, y_{0}+xsin t)\$, $0

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