Complementi di analisi matematica per l'ingegneria informatica - Integrali curvilinei

Integrali curvilinei e potenziali

Definizione di curva regolare

Dato A insieme aperto di R^m, una curva regolare (δ ∈ C¹([a,b], R)) δ : [a,b] → A oppure una curva regolare a tratti, ossia: ∃t₁, t₂, ..., t_k ∈ ]a,b[: a < t₁ < t₂ < ... < t_k < b; δ ∈ C¹(([a,t₁]), δ ∈ C¹((t₁, ...

Esempi di curve regolari

Es. 1) Curva regolare: δ(t) = (x₀ + ut, y₀ + vt) δ'(t) = (u,v) (x₀, y₀), (u,v) ∈ R²

Es. 2) Curva regolare: δ(t) = (x₀ + r cos(t), y₀ + r sen(t)) δ'(t) = (- r sen(t), r cos(t))

Es. 3) Curva regolare a tratti: δ(t) = { (t + π, 0) - 2π ≤ t < 0 (cos t, π + t) 0 ≤ t < π δ : [-2, π] → R² δ continua e regolare a tratti Nel intervallo [-2, 0[ La curva è C¹ reg. In [0, π] invece si ha: δ'(t) = (-sen t, 1 - t + cos t)

Definizione di curva chiusa

Def. Se δ(b) = δ(a) diciamo che δ è una curva chiusa.

Definizione di integrali curvilinei

Dato A insieme aperto di R^m, una curva regolare (δ∈C¹([a,b],n)) δ: [a,b] → A oppure una curva regolare a tratti, ossia: ∃t,₁,...,t,_k∈]a,b[ a<t,₁, t,₂,...,t,_k<b δ∈C¹([a,t₁]), δ∈C¹([t₁,t₂]), ...

Esempi di curve regolari (altro)

Es. 1) Curva regolare: δ(t) = (x_o+u_t, y_o+v_t) δ'(t) = (u,v)(x_o,y_o), (u,v) ∈ R²

Es. 2) Curva regolare: δ(t) = (x_o+rsen(t), y_o+rcos(t)) δ'(t) = (-r cos(t), r sen(t))

Es. 3) Curva regolare a tratti: δ(t) =(t+π,0) -2π≤t<0(cos t, sen t) 0≤t≤πδ: [-2π,0] → R²δ continua e regolare a tratti Nel intervallo [-2π,0] la curva è reg. In [0,π] invece si ha: δ'(t) = (-sen t, cos t)

Definizione di integrale curvilineo

Def. Se \(\varphi: A \to \mathbb{R}\) continua, per definizione: \(\int_a^b f(\varphi(t)) \|\varphi'(t)\| dt \)

Se \(\gamma: I \to \mathbb{R}^n\) continua, per def.: \(\int_\gamma F = \int_a^b \langle F(\delta(t)), \delta'(t) \rangle dt \)

Esempio di integrale curvilineo

\(\delta\) regolare a tratti: \(\delta(t) = \begin{cases} (t+1, 0) & -2 \leq t \end{cases} \(\delta_1(t) = (t+1, 0) \quad t \in [-2, 0]\) \(\delta_2(t) = (\cos t, \sin t) \quad t \in [0, \pi]\) \(\delta(t) = \delta_1(t) + \delta_2(t)\)

Risulta: \(\int_\delta F = \int_{\delta_1} F + \int_{\delta_2} F\)

Infatti: \(\int_\gamma F = \int_{-2}^0 \langle F(\delta(t)), \delta'(t) \rangle dt + \int_{0}^{\pi} \langle F(\delta(t)), \delta'(t) \rangle dt = \int_{-2}^{\pi} \langle F(\delta(t)), \delta'(t) \rangle dt\)

Osservazione

Se \(\eta(t) = \delta(\varphi(t))\) si ha: \(\int_m^M \int_\eta F = \int_x^X \int_\delta F\)

Esempio di trasformazione tramite cambio di variabile

\(\delta(t) = (x_0 + x \cos t, y_0 + x \sin t), \quad 0 \)

\(\eta(t) = (x_0 + x \cos(\varphi(t)), y_0 + x \sin(2t)), \quad 0 \)

Infatti: \(\int_0^1 \int_\eta (x \eta(t)) \|\eta'(t)\| dt = \int_0^1 \int_\delta (\varphi(t)) \|\varphi'(t)\| dt = \int_{I} \langle F(\delta(\varphi(t))), \|\delta'(\varphi(t)) \varphi'(t) \|\) dt = \int_{J} \langle F(\delta(u)), \|\delta(u)' \| \) du\)

Lunghezza di una curva regolare

In particolare, se ^d⁄_d ≡ 3 si ha: (Lunghezza di una curva regolare) ^{∫_ab|δ'(t)|}dt = ^{∫_ab|δ'(t)|}dt = [Trovo la lunghezza di δ]

Esempi di calcolo della lunghezza di una curva

Es. 1) δ(t) = (x₀ + r⋅cos t, y₀ + r⋅sin t), 0 &leq; t &leq; 2π

II) δ(t) = (t, t²), 0 < t < T fissato

III) δ(t) = (t, t⋅cos(^π ⁄ ₄)⋅t, t⋅sin(^π ⁄ ₄)), 0 < t < πδ(0) = (0, 0, 0)

Calcolo della lunghezza delle curve

I) l(t) = ^{∫₀2π|δ'(t)|}dt = ^∫₀2πrdt = 2πr δ'(t) = (-r⋅sin t, r⋅cos t) |δ'(t)| = √(r²sin²t + r²cos²t) = r

II) l(t) = ^∫₀T|