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Integrali Curvilinei & Potenziali:

Def.: Dato A insieme aperto di Rm, una curva regolare (δ ∈ C1 ([a,b],A))

Oppure una curva regolare a tratti, ossia:

  • t1, t2, ..., tk ∈ [a,b]: a < t1 < t2 < ... < tk < b, δ ∈ C1 ([a,t1]), δ ∈ C1 ((ti, ...

Es. 1) Curva regolare:

  • δ(t) = (x0 + ut, y0 + vt)
  • δ'(t) = (u,v)

Es. 2) Curva regolare:

  • δ(t) = (x0 + r cos(t), y0 + r sin(t))
  • δ'(t) = (-r sin(t), r cos(t))

Es. 3) Curva regolare a tratti:

  • δ(t) =
    • (t + 3, 0), -2 ≤ t < 0
    • (cos t, sin t), 0 ≤ t < π

Se δ(b) = δ(a) diciamo che δ è una curva chiusa.

Def:

Se $\gamma: A \rightarrow \mathbb{R}\$ continua, per definizione:

$\int_{a}^{b}f(\gamma(t))\cdot \left\|\gamma'(t)\right\|dt\$

Se $F: A \rightarrow \mathbb{R^{m}}\$ continua, per def.:

$\int_{\gamma} F = \int_{a}^{b} \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t) \rangle dt\$

Es.

$\gamma\$ regolare a tratti:

$\gamma(t)=\begin{cases}(t+1,0) & -2 \leq t < 0 \\ (cos t, sin t) & 0 \leq t \leq \pi \end{cases}\$

  • $\gamma_{1}(t)=(t+1,0)\$, $t \in [-2,0]\$
  • $\gamma_{2}(t)=(cos t, sin t)\$, $t \in [0,\pi]\$
  • $\gamma(t)=\gamma_{1}(t)+\gamma_{2}(t)\$
  • Risulta: $\int_{\gamma}F=\int_{\gamma_{1}}\\ F+\int_{\gamma_{2}}F\$
  • Infatti: $\int_{\gamma}F=\int_{a}^{b} \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle dt=\int_{-2}^{0} \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle dt+\int_{0}^{\pi} \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle dt\$

Osservazione:

Se $\eta(t)=\gamma(\phi(t))\$, si ha:

$\int_{\eta}f=\int_{\gamma}f=\int_{x}^{y}f(\gamma(\phi(t)))|\phi'(t)|dt=\int_{x}^{y}f(\eta(t))|dy|\$

Es.

$\gamma(t)=(x_{0}+xcos t, y_{0}+xsin t)\$, $0

Dettagli
Publisher
ZioEma
A.A. 2014-2015
45 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher ZioEma di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Complementi di analisi matematica per l'ingegneria informatica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia o del prof Polidoro Sergio.