Compendio di Statistica Descrittiva, Probabilità e Inferenza - Appunti

K

1 (0 300) (1 500) (2 300) (3 100)

∑

= = =

x x n 1.583

k k

n 1200

=

k 1

NB. Questa è la famosa media ponderata, che si fa anche per i voti degli esami. Se un esame vale 4

crediti e uno 10, dovrò moltiplicare il voto d’esame per il suo “peso” in crediti e dividerlo per il

numero di crediti totale, per poter ottenere la media fra i due.

Media arimetica“ponderata” con le frequenze relative:

A questo punto, sapendo che n è la frequenza assoluta, e che la frequenza assoluta diviso il numero

k

totale di unità n è uguale alla frequenza relativa, si può concludere che:

K K K

n

1 ∑ ∑ ∑

= = =

k

x x n x x f

k k k k k

n n

= = =

k 1 k 1 k 1

Dove f frequenza relativa

k =

Quindi se abbiamo le frequenze non abbiamo bisogno di dividere per n, perché ogni singola

frequenza relativa non è altro che la frequenza assoluta diviso n stesso. In conclusione:

K

∑

=

media con frequenze relative x x f

k k

=

k 1 23

A cura di Andrea Alesiani e Gabriele Fabozzi

PROPRIETÀ DELLA MEDIA ARITMETICA:

La media aritmetica può essere rappresentata graficamente nel seguente modo.

Come è evidente, la media può essere rappresentata come una retta che passa attraverso la

distribuzione, quest’ultima rappresentata nel nostro grafico come una “nuvola di punti”.

Naturalmente esistono molte altre rette che posso passare attraverso questa nuvola, ma la media è la

retta che meglio “interpola” la distribuzione: possiamo dire che la media è l’unica retta che passa

esattamente in mezzo ai punti della distribuzione. Di conseguenza avrà una serie di proprietà che la

contraddistingueranno da altre rette. A seguire illustreremo solo le prime tre proprietà, mentre le

successive saranno illustrate più avanti.

Per illustrare le prime due proprietà ci sarà utile di mostrare il concetto di scarto, illustrato anche

nella figura precedente. Esso non è altro che la differenza fra un singolo elemento della

distribuzione e la media. Se la media dei miei voti è 27, i voti pari a 25 avranno uno scarto

(negativo) pari a -2. Un voto pari a 27, cioè uguale alla media stessa, sarà invece pari a 0.

−

( x x)

Definiamo matematicamente lo scarto come i

Prima proprietà: somma degli scarti nulla

La prima proprietà importante da introdurre è che la somma degli scarti positivi dalla media

aritmetica è uguale, in valore assoluto,a quella degli scarti negativi, e quindi la somma algebrica di

tutti gli scarti dalla media è uguale a zero.

In pratica la media, che come abbiamo passa “esattamente in mezzo” a tutti i punti, taglia la

distribuzione in modo così preciso da avere la stessa somma di scarti positivi e negativi.

Dunque, la somma degli scarti dalla media è sempre uguale a 0, e di conseguenza si può scrivere

che: 24

A cura di Andrea Alesiani e Gabriele Fabozzi

n

∑ − =

somma degli scarti ( x x) 0

i

=

i 1

Dunque, se si rappresentano graficamente le modalità e la media aritmetica fra le modalità, si ha la

seguente rappresentazione:

Se si misurasse la distanza fra ogni punto e la media (considerando misure negative per i punti sotto

la media) e poi si sommassero tutte insieme si otterrebbe SEMPRE zero come risultato.

è una retta che passa fra i punti del grafico. Questa retta sovrastima i punti

Si è visto dunque che x

sotto di essa e sottostima i punti sopra di essa.

Dimostrazione della prima proprietà:

n

∑ − =

( x x) 0

i

=

i 1  

trattandosi di una somma di differenze, posso "spezzare" la somma

n n n

∑ ∑ ∑

− = − =

( x x) x x  

i i  

in due somme diverse

= = =

i 1 i 1 i 1  

analizziamo nx: la "somma da 1 a n della media" non è altro che

 

"media + media + media ecc..." per n volte, ma sommare n volte

 

n

∑

= − =  

x nx lo stesso elemento equivale a moltiplicarlo per n.

i  

=

i 1 n

 

∑

Quindi è ovvio che x =nx

 

i

=

i 1

 

1 n n

= − = = ∑ ∑

n x n x 0 Se è vero che x x , è intuibile che x =

nx

 

i i

 

n = =

1 1

i i 25

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Seconda proprietà: interiorità

Altra proprietà importante della media è quella dell’interiorità. Essa ci dice che la media

aritmetica è sempre un valore compreso fra la modalità con il valore più basso e la modalità

con il valore più alto.Per intenderci, la media dei voti non può mai essere più alta di 30 e più bassa

di 18.

È una proprietà abbastanza intuitiva. Per dimostrarla algebricamente, notiamo che:

≤ ≤

x x x

min i max  

Applico la sommatoria a tutti gli elementi della

n n n

∑ ∑ ∑

≤ ≤

x x x  

min i max  

disuguaglianza

= = =

i 1 i 1 i 1

n n n

1 1 1 [ ]

∑ ∑ ∑

≤ ≤ a disuguaglianza per n

x x x Divido tutti i membri dell

min i max

n n n

= = =

i 1 i 1 i 1  

Come nella dimostrazione precedente la

 

sommatoria di una costante è uguale a n

n

1 1 1  

∑

≤ ≤

nx x nx  

min i max volte la costante. In questo caso parliamo

n n n

=

i 1  

di x e x

 

min m

ax

≤ ≤

x x x

min max

Dunque: ≤ ≤

x x x

min max

Quindi abbiamo dimostrato che la media si trova necessariamente fra la modalità minima e la

x

modalità massima della distribuzione.

Terza proprietà della media: minimi quadrati

Riprendiamo la rappresentazione grafica della media aritmetica. I segmenti verticali dai punti alla

media sono gli scarti. Consideriamo solo la loro lunghezza (quindi ignoriamo che alcuni scarti siano

negativi). Se li sommassimo tutti la loro somma sarebbe la più piccola rispetto alla somma degli

scarti da qualsiasi altro valore. Consideriamo la retta “a” pari a 4.5 subito sotto la media. Questo

−

( x a )

valore è vicinissimo alla media, ma se sommassimo gli scarti tra le modalità ed “a” i

otterremmo comunque un risultato più alto rispetto a prima.

Vogliamo dimostrarlo matematicamente, ma non possiamo usare gli scarti dalla media perché,

come abbiamo appena visto nella prima proprietà, sommandoli otteniamo 0. Elevando però tutti gli

scarti al quadrato, otteniamo tutti valori positivi e non abbiamo più questo problema. Quindi

consideriamo: − −

2 2

( x x) e ( x a )

i i 26

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è un valore preciso, “a” rappresenta qualsiasi retta. Vogliamo quindi dimostrare che la

Mentre x

somma degli scarti al quadrato dalla media è minore o uguale alla somma degli scarti al quadrato da

qualunque retta possibile. Dunque:

Enunciamo qui la terza proprietà della media:

n n

∑ ∑

− ≥ −

2 2

( x a ) ( x x)

i i

= =

i 1 i 1

e inoltre

n n

∑ ∑

− = − =

2 2

( x a ) ( x x) solo quando x a

i i

= =

i 1 i 1

La somma degli scarti al quadrato è rappresentativa di “quanto bene” una media aritmetica si

interpola fra le modalità in questione.

In pratica: che vuol dire che la media “sintetizza” una serie di numeri/valori?

Evidentemente, più è alto il quadrato degli scarti, più è indicativo del fatto che le unità hanno

. Viceversa, più il quadrato degli scarti è basso, più si avranno

modalità molto distanti da x

valori molto vicini alla media.

N.B. Il quadrato degli scarti non potrà mai avere un valore negativo, in quanto il quadrato di un

numero reale non produrrà mai un numero negativo. Sia 2 che -2 elevati al quadrato daranno 4.

Di fatto, non esiste alcun valore che sintetizzi le modalità meglio della media: dimostriamolo.

Dimostrazione:

Vogliamo dimostrare che la somma degli scarti al quadrato da “a” è SEMPRE maggiore o uguale

alla somma degli scarti al quadrato dalla media.

n

∑ − 2

Per fare questo rimaneggeremo la formula fino a scoprire un’interessante uguaglianza

( x a )

i

=

i 1

(che viene usata anche in alcuni esercizi). E’ una dimostrante relativamente più complessa delle

altre perché si fa usato di alcuni “artifici” matematici, che verranno spiegati passo passo.

n

∑ − =

2

( x a )

i

=

i 1  

Aggiungo e sommo x. Facendolo la mia equazione

n  

∑

= − + − =

2  

( x x x a ) avrà lo stesso risultato: immaginate che stiamo

 

i  

=

i 1 aggiungendo +5 e -5. Nulla cambierà

 

 

aggiungo e tratto questa equazione come se fosse

 

n [ ]

∑

= − + − =

2  

2

( x x ) ( x a ) un "quadrato di binomio", ovvero (a+b) che è

 

i  

=

i 1 2 2

 

b.

uguale a a +b +2a

  27

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n  

∑ Non abbiamo fatto altro che risolvere il quadrato

= − + − + − − =

 

2 2  

( x x ) ( x a ) 2( x x )( x a )

   

i i di binomio "creato" prima

 

=

i 1

n n n  

∑

∑ ∑ Come fatto in altre dimostraz

ioni, "spezzo" la

= − + − + − − =

2 2  

( x x ) ( x a ) 2 ( x x )( x a )  

i i sommatoria usando la proprietà commutativa

 

= = =

i i

1 1 i 1  

n

n n −

∑

∑ ∑ x x

( ) nel terzo membro è uguale

= − + − + =  

2 2 i

=

( x x ) ( x a ) 0 i 1

i  

= =  

i i

1 1 a zero: quindi si annulla tutto

n −

 

∑ ( x a ) è un valore costante e quindi vale la

= − + −

2 2  

( x x ) n ( x a )  

i solita regola: la sommatoria diventa n

 

=<