Come studiare una funzione

Analisi 1

Come studiare una funzione

X_1/2= ^{-b ± √(b2 - 4ac)}/_2a

x² + px + q = 0

x + a - bf(x) = tan x

f(x) = Sin x

F: I → R, x → ∫_a^x f(t) dt

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Analisi 1

Come studiare una funzione

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021

Lezione 1

Unità

limite f x il limite

sx e il limite

lim h → 0 [f(x + h) - f(x)] / h

Punto di cuspide derivato DX e SX zero discontinuità le funzione non è continue

lim x → x₀ f(x) = f(x₀) e continuo

Lezione 1

f(x) = ¹⁄_x

f'(x) = -¹⁄_x²

x = 0

Denominatore ≠ 0

∫ ¹⁄_x dx = ln |x| + C

f(x) = x^-1

f'(x) = -¹⁄_x²

f(x) = x^m

f'(x) = m x^m-1

f^e(x) = ¹⁄_x

D: x ≠ 0

f'(x) = -¹⁄_x²

Lezione 1

Schema studio di funzione

Sia data una funzione f(x)

Step 1

Calcolo il dominio

# Casi:

1. Funzioni Reali, polinomi: e^x2 + b x => D: R
2. Funzione Frazionaria: ^f(x)/_g(x) \: D: g ≠ 0 Es. e^1/x -> D: x ≠ 0
3. Funzione Composita: ln(1/x) \: D: x ≠ 0
4. Funzione Logaritmica -> argomento Occorre.. Es. composto > 0
5. Razionale -> √f(x) \: D: f(x) ≥ 0

Lezione 1

Il logaritmo è l'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento. logₑ(2) → logaritmo a → argomento lu 1 → logₑ 1 e → base 1 → argomento 0 → esponente e⁰ = 1 log₁₀ (a) = logaritmo 0 → esponente e → esponente b → base e → esponente b = a logₑ b (a) = el u → base numerica 1 → ln(e) esponente ln(x) - ln(z) == ln(x/z) ln(x) + ln(z) = ln(2x) ln (x+z) ≠ ln(x) + ln(z) e = 1/z con e⁻¹ = z

Lezione 1

Step 2

Parità e disparità

Vedo il dominio e mi chiedo: Se il dominio è simmetrico? Se è simmetrico → verifico le proprietà eventuali di simmetria.

PARI → f(x) = f(-x) → x → -x sostituzione

DISPARI → f(x) = -f(x) rispetto origine

Positività

Pongo f(x) > 0 f(x) è positivo x < 0 f(x) è positivo x > 1 f(x) è negativo per 0 < x < 1

Lezione 1

Limiti

f(x) → verificare l'andamento della funzione nei punti: o non esistenti e che in genere sono gli estremi, o punti di discontinuità

Discontinuità

x → 0 f(x) è adiacente a zero sopra più I SPECIE ALTO INFINITO II SPECIE x ≠ PUNTO

Lezione 1

Derivata

f(x) → DERIVATA f'(x) f'(x) → Dominio: o Le stesse regole applicate a f(x) Studio del segno della derivata f'(x) > 0 x₁ ( x₂ ) x₃ x₂ > x₁ f(x₂) < f(x₁) DECRESCENTE Punto minimo

Lezione 1

x₁ ∈ D → f(x₁) Min (x_min, y_min) y_min = f(x₁) x_min = x₁ Sostituiamo x₁ in f(x) f(x) = x² → f'(x) = 2x ⩾ 0 x > 0 f(0) = 0 → Min (0, 0) x₁ ∈ D→ Anche x_loci trovato un minimo Se non fa parte del dominio → Non è un minimo