Codifica dei numeri: Appunti di Informatica

LA CODIFICA DEI NUMERI: NOTAZIONE POSIZIONALE

Dato un numero N₁₀ in base 10 contenente m cifre scritto come a_m-1a_m-2...a₀, questo corrisponde a:

• N₁₀ = a_m-1 × 10^m-1 + a_m-2 × 10^m-2 + ... + a₀ × 10⁰
• a_i × 10ⁱ;
• Con a_i ∈ A₁₀

Esempio: (3521)₁₀ = 3 × 10³ + 5 × 10² + 2 × 10¹ + 1 × 10⁰

Con m cifre in A₁₀ quanti numeri posso esprimere: 10^m

Con m cifre in notazione posizionale posso scrivere tutti i numeri tra [0, 10^m - 1]

Esempio con rappresentazioni posizionali in base p:

m = 3 e p = 7 capos [0,p⁷ - 1] cioe [0, 2400]

m = 2 e p = 13, capo [0, p¹³ - 1] cioe [0, 12]

m = 4 e p = 13, capo [0,13(⁴ - 1)] cioe [0, 28560]

Al crescere di p cresce il potere espressivo del dizionario.

ALTRE CODIFICHE

Codifica OTTICALE (in base 8)

A₈ = {0, 1, ... , 7}

Con m cifre in A₈ posso scrivere numeri da [0, 8^m - 1]

Codifica ESADECIMALE (in base 16)

A₁₆ = {0, 1, ... , 9, A, B, C, D, E, F}

Per la conversione: A₁₅ in base 10, F₁₆ = 15

Con m cifre in A₁₆ scrivo i numeri da [0, 16^m - 1]

CONVERSIONE BINARIO ⇒ DECIMALE

(101)₂ = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = (5)₁₀

(1000010)₂ = 1 × 2⁶ + 0 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 0 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 0 × 2⁰ = (39)₁₀

CONVERSIONE DECIMALE ⇒ BINARIO

1. 53 / 2 = 26 + 1
2. 26 / 2 = 13 + 0
3. 13 / 2 = 6 + 1
4. 6 / 2 = 3 + 0
5. 3 / 2 = 1 + 1
6. 1 / 2 = 0 + 1

Si comincia dal basso verso l'alto

=> (53)₁₀ = (110101)₂

⌃/2 cicli resto delle divisioni in inter

NB: L'ultimo resto è sempre = 1

CONVERSIONI OTTALE/ESADECIMALE → DECIMALE

(623)₈ → 6 × 8² + 2 × 8¹ + 3 × 8⁰ → 6 × 64 + 16 + 3 → (403)₁₀

(623)₁₆ → 6 × 16² + 2 × 16¹ + 3 × 16⁰ → 6 × 256 + 32 + 3 → (1541)₁₀

(A1F)₁₆ → A × 16² + 1 × 16¹ + F × 16⁰ → 10 × 256 + 16 + 15 → (4143)₁₀

CONVERSIONI DECIMALE → OTTALE/ESADECIMALE

$ Fanno le conversioni passando dalla rappresentazione binaria 

• Esprimere ogni sequenza di 3 numeri binari se è in base 8 (2³ = 8)

(1234)₁₀ → (10011010010)₂ = (010 011 001 010)₂

→ (1234)₁₀ = (2312)₈

• Esprimere ogni sequenza di 4 numeri binari se è in base 16 (2⁴ = 16)

(1234)₁₀ → (10011010010)₂ = (0100 1101 0010)₂

→ (1234)₁₀ = (4D2)₁₆

SOMMA TRA NUMERI BINARI

• Si esegue "in colonna" e si opera cifra per cifra.

0 + 0 = 0 riporto 0 1 + 0 = 1 riporto 0 0 + 1 = 1 riporto 0 1 + 1 = 0 riporto 1

Esempio:

0101 + 1001 = 1110

(5)₁₀ + (9)₁₀ = (14)₁₀

I NUMERI INTERI

• E' possibile dedicare il primo bit alla codifica del segno
• "1" il numero de segno e' negativo
• "0" il numero de segno e' positivo

• Con n cifre in binario e codifica modulo e segno posso rappresentare tutti i numeri nell'intervallo X ε [-2^n-1 + 1, 2^n-1 - 1]

Esempi:

01010 = +10

11101 = -13

-27 = 11100111

127 = 01111110

I NUMERI FRAZIONARI

S. rappresentano anteponendo zero al numero.

N_α: 0.α₁ α₂ α₃

α_i x p^-i, α_i ∈ α_p

α_i x p^-i = a_m x p^-m

Σ α_i x p^-i, α_i ∈ α_i

• In base 10 ==> 0,586 = 5 x 10^-1 + 8 x 10^-2 + 6 x 10^-3
• In base 2 ==> 0,(0,101)₂ = 1 x 2^-1 + 0 x 2^-2 + 1 x 2^-3 = 1/2 + 1/8 = (0,625)₁₀.

NB: Date n cifre in base p=2, posso rappresentare in sottoinsieme dell'intervallo continuo [0,1 - 2^-m] è l'errore di approssimazione sarà minore di 2^-m.

CONVERSIONE DECIMALE —> BINARIO SU FRAZIONI

L'algoritmo della moltiplicazione per convertire N_α ∈ [0,1]

1. Moltiplico N_α per 2.
2. La pare intera del risultato definisce una cifra della rappresentazione binaria finale.
3. La parte frazionaria viene moltiplicata per 2.
4. Si itera 1.3 fino a
   • ottenere parte frazionale nulla (rappresentazione esatta) oppure
   • Copri tutte le cifre binarie a disposizione (rappresentazione approssimata)
5. La cifra piú significativa (il coefficiente di 2^-1) è data dalla prima parte intera calcolata, quella meno significativa (il coefficiente di 2^-m) è data dall'ultima parte intera calcolata.

esempio:

• Conversione in binario 0.625 utilizzando m=3 bit

0,625 x 2 = 1 + 0,25

• Parte Intera + Parte frazionale

0,250 x 2 = 0 + 0,5

0,500 x 2 = 1 + 0

• Otteniamo (0,625)₁₀ = (0.101)₂
• (la parte intera definisce la rappresentazione binaria)